2023届河北省石家庄市高三质量检测（一）数学试题含解析

2023届河北省石家庄市高三质量检测（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解出集合、，利用并集的定义可求得集合.

【详解】因为，

，

因此，.

故选：B.

2．复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A．8 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义得复数，求出，再求即可.

【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数，所以，

则.

故选：C.

3．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】由题意建立平面直角坐标系，求得抛物线标准方程，即可求得顶点到焦点的距离.

【详解】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，

则设抛物线的方程为，

由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，

即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.

故选：A.

4．已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，可得出等比数列的通项公式，再利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.

【详解】设等比数列的公比为，则，，

整理可得，解得，所以，，

所以，.

故选：B.

5．“”是“圆：与圆：有公切线”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系确定的取值范围，即可判断充分必要性.

【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，

若两圆有公切线，则，即，解得或，

所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.

故选：A.

6．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（    ）

A．96 B．120 C．144 D．240

【答案】D

【分析】根据排列组合中的分组分配方法分析即可求得答案.

【详解】由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，

由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，

则分4组的情况有种方法数，再将4组人分配到4所学校有种方法数，

则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为.

故选：D.

7．设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.

【详解】设向量与的夹角为，，

由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，

即，根据题意整理得有解，

所以，

解得，

故选：C

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，求导确定函数单调性，通过单调性比较函数值大小，并结合指对互化关系，即可得结论.

【详解】令，则恒成立，

所以在上单调递增，则，即，所以，则；

则，即，所以，则，即，

所以，又，所以，则；

综上，.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查较复杂的指对幂比较大小问题，需要构造函数结合导数判断单调性，从而判断函数值大小.解决本题的关键是构造函数，确定该函数与所对应的函数关系，对于大小，需比较与的大小，而对于大小，需比较与的大小，并结合指对互化与分数放缩即可得出结论.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．一组数据、、、、、、、、、的第百分位数为

B．若随机变量，且，则

C．若随机变量，则方差

D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化

【答案】BC

【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断C选项；利用方差和期望的性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，该组数据共个数，且，

因此，该组数据的第百分位数为，A错；

对于B选项，若随机变量，且，

则，B对；

对于C选项，若随机变量，则，C对；

对于D选项，在随机变量的每个样本数据上都加个正数，

则得到的新数据对应的随机变量为，

由期望和方差的性质可得，，

因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会改变，但方差不变，D错.

故选：BC.

10．设函数（）的最小正周期为，则（    ）

A．

B．函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到

C．函数的图象关于点中心对称

D．函数在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】根据三角恒等变换化简，由其最小正周期确定解析式，利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案.

【详解】，由于的最小正周期，所以，故A正确；

则，函数的图象向左平移个长度单位得到函数，故B不正确；

对于函数，由于，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；

当时，，所以函数在区间上单调递增，故D正确.

故选：ACD.

11．已知正方体的棱长为2，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．

B．

C．平面截此正方体所得截面的周长为

D．三棱锥的体积为3

【答案】BC

【分析】建立坐标系，利用空间向量坐标的关系判定A,B选项的正误，把截面作出来，根据截面形状可求周长，利用等体积进行转化可求三棱锥的体积.

【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则;

,;

因为，所以与不平行，A不正确；

因为，所以，B正确；

如图，取的中点,取的中点，连接，

由正方体的性质可知，；

因为分别为的中点，所以，所以；

平面截正方体所得截面为梯形，

因为正方体的棱长为2，所以,

，

所以平面截此正方体所得截面的周长为，C正确；

由上面分析可知，，平面，平面，

所以平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离；

，

而，所以三棱锥的体积为1，D不正确.

故选：BC.

12．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则（    ）

A．为偶函数

B．在上单调递减

C．在区间上有4046个零点

D．

【答案】AB

【分析】利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究的单调性，结合奇函数的性质判断B，利用是奇函数和是偶函数求得的周期判断CD.

【详解】因为的图象关于直线对称，

所以将的图象向右平移个单位得的图象关于轴对称，

再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于轴对称，即为偶函数，A正确；

由题意可得当时令，则在恒成立，

所以单调递减，

又，所以当时，单调递增，当时，，单调递减，

因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；

由A可得关于对称，结合是奇函数可得，

所以，即是以为周期的周期函数，

因为，结合 单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，

又因为是定义在上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，

所以在区间上有3035个零点，C错误；

因为，，，，

所以，D错误；

故选：AB

三、填空题

13．曲线在点处的切线的斜率为_________．

【答案】##

【分析】根据导数的几何意义与导数的运算法则即可得解.

【详解】的导数为，

所以在点处的切线的斜率为.

故答案为：.

14．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________．（用数字作答）

【答案】

【分析】根据所有奇数项的二项式系数和为求出，再根据二项展开式的通项即可求出常数项.

【详解】由题意及二项式系数的性质可得，解得，

所以其展开式的通项为，

依题意令解得，

所以展开式中的常数项为，

故答案为：

四、双空题

15．已知，分别是椭圆C：（）的左，右焦点，B是C的上顶点，过的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，与的周长比为，则椭圆的离心率为_________；如果，且，则的面积为_________．

【答案】     ##    

【分析】分别求出与的周长，利用周长比可得离心率；求出直线的方程，联立可得的坐标，利用面积公式可得答案.

【详解】设，由题意，的周长为；

因为，所以的周长为，所以，

整理得，平方同除可得，解得.

因为，所以，所以，即椭圆的方程为；

焦点，所以直线的斜率为1，

因为，所以直线的斜率为，即直线的方程为.

联立，得，即或；

不妨设，

所以的面积为.

故答案为： ；.

五、填空题

16．已知函数（），则的最小值是_________．

【答案】7

【分析】利用三角函数关系式把同时含有，的函数转化为只含的函数，

利用换元法及导数确定单调性求出最值.

【详解】

  ，

 令，因为，所以，

令， ，，

若，则，若，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，因为，

所以的最小值为7.

    故答案为：7

六、解答题

17．的内角的对边长分别为，设

(1)求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；

（2）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.

【详解】（1）根据题意，由正弦定理可得，即，

所以根据余弦定理及中可得.

（2）根据题意，由正弦定理可得，

所以，

解得①，

因为②，①②联立可解得或，

又因为，则，，（舍去），

所以.

18．植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质，它在生活中的应用非常广泛．例如，在蔬菜贮藏前或者贮藏期间，使用一定浓度的植物生长调节剂，可抑制萌芽，保持蔬菜新鲜，延长贮藏期．但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康．某机构研发了一种新型植物生长调节剂A，它能延长种子、块茎的休眠，进而达到抑制萌芽的作用．为了测试它的抑制效果，高三某班进行了一次数学建模活动，研究该植物生长调节剂A对甲种子萌芽的具体影响，通过实验，收集到A的浓度u（）与甲种子发芽率Y的数据．

表（一）

若直接采用实验数据画出散点图，（如图1所示）除了最后一个数据点外，其他各数据点均紧临坐标轴，这样的散点图给我们观察数据背后的规律造成很大的障碍，为了能够更好的观察现有数据，将其进行等价变形是一种有效的途径，通过统计研究我们引进一个中间量x，令，通过，将A浓度变量变换为A的浓度级变量，得到新的数据．

表（二）

(1)如图2所示新数据的散点图，散点的分布呈现出很强的线性相关特征．请根据表中数据，建立Y关于x的经验回归方程；

(2)根据得到的经验回归方程，要想使得甲种子的发芽率不高于0.4，估计A浓度至少要达到多少？

附：对于一组数据，…，，其经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据表中数据先求，根据参考公式进行计算，可得答案；

（2）根据回归直线方程建立不等关系，利用换算可得答案.

【详解】（1）由题意；

，

，

所以；

，

所以Y关于x的经验回归方程为.

（2）由题意，，解得，

因为，所以，解得；

所以估计A浓度至少要达到.

19．如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)见详解

(2)侧棱上存在点，或

【分析】（1）利用相似三角形和勾股定理证出，根据平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的性质，证得，根据直线和平面垂直的判定定理，证出平面；

（2）根据平面与平面垂直的性质以及为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角与平面与平面的夹角公式及关系，求出存在点，得出或.

【详解】（1）证明：设交于点，

底面为矩形，在中，，

为的中点，，

在中，，

，，，，，

，，，即,

∵，为等边三角形，为的中点，，

∵平面平面平面SAO，平面平面=，，

平面，

平面，，即，

又，，平面，平面.

（2）设，，

底面为矩形，∴，

∵平面平面，平面平面=，，

平面.

以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

∵，为等边三角形，

为的中点，

，，

,,,,，

,，，；

,

，

设平面的法向量为，

，即，令，

设平面的法向量为，

由可得，

令，，

,

平面与平面夹角的余弦值为，

，

整理得，或，均符合，

或，

侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，

或.

20．已知等差数列的前n项和记为（），满足．

(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；

(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，求得，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围；

（2）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由于，

所以，解得，

所以，

若数列为单调递减数列，则对于恒成立，

所以在上恒成立，

则，所以，又数列为递增数列，所以，即，

故的取值范围为；

（2）若，则，

根据题意数列为：

第一组为：1，；

第二组为：，，；

第三组为：，，，；

……

第组为：，，，，…，；

则前组一共有项，当时，项数为.

故相当于是前组的和再加上这五项，即：

设，则可看成是数列的前项和

所以.

21．已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．

①；②．

【答案】(1)

(2)选①直线过定点；选②直线过定点

【分析】（1）求出双曲线的渐近线，得到两点的坐标，利用及点在双曲线上可得方程；

（2）选择两个条件都是先联立方程，得出韦达定理，结合斜率之和或者之积得到的关系式，从而可得定点.

【详解】（1）由题意可知：点在双曲线上，所以；

过做轴的平行线，与相交于两点，那么两点可求：；

所以，所以；

代入，可知，所以双曲线的方程为.

（2）选①：由题意可知，直线与双曲线C交于不同的两点A, B,

设，联立方程:

得，

所以，即；

由条件所以，

所以，

整理可得，

代入韦达定理得，

即，

解得或；

当时，，则直线过定点；

当时，，则直线过定点，不合题意；

综上可得，直线过定点.

选②：由题意可知，直线与双曲线C交于不同的两点A, B,

设，联立方程:

得，

所以，即；

由条件，得

即，

整理可得

代入韦达定理，整理可得，

即，解得或，

当时，，则直线过定点；

当时，，则直线过定点，不合题意；

综上可得，直线过定点.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用韦达定理把或进行转化，然后把求解方程得出的关系式，从而可得定点，定点问题虽然运算过程繁琐，但是求解思路较为明确.

22．伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．

(1)证明：当时，对任意恒成立；

(2)证明：对任意，恒成立．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数，求导数，利用导数求出最小值，可证不等式；

（2）把目标式转化为证明，通过贝努利不等式放缩，构造函数，等比数列求和等可证明结论成立.

【详解】（1）证明：令，

当时，，原不等式成立；

当时，

当时，，，单调递减；

当单调递增；

所以，即.

（2）要证对任意，恒成立，只需证

即证，

由（1）知对于任意正整数

所以

那么

下面证明成立，

要证成立，只需证令，即证明成立；

令则；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

又所以当时，，

所以.

所以上面（*）式可化为

.

所以命题得证.

【点睛】关键点点睛：本题求解有三个关键点，第一是目标式的转化，把转化为；

第二是贝努利不等式放缩，；

第三是构造函数证明成立.