专题16 函数与导数专题测试卷（二）（学生版+教师版）

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函数与导数 专题测试卷（B卷 能力提升）
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2009·山东·高考真题（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.
【详解】
因为满足，所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则.
由是定义在上的奇函数，
且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，
所以在区间上是增函数，
所以，即.
【点睛】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
2．（2021·河南·辉县市第一高级中学高二阶段练习（文））设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.
【详解】
解：设，
则，
∵，，
∴，
∴是上的增函数，
又，
∴的解集为，
即不等式的解集为.
故选A.
【点睛】
本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.
3．（2015·天津·高考真题（理））已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，

由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
考点：1、分段函数；2、函数的零点．
【方法点晴】
本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．

4．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B.
【点睛】
本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
5．（2020·甘肃·武威第六中学高二期末（文））已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
【答案】C
【分析】
推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求出
【详解】
是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则
则函数 是周期为4的周期函数，
，

【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，周期性．通过函数的奇偶性和周期性推导出函数的周期是关键．
6．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】
根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
故选D．
【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
7．（2007·浙江·高考真题（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．
8．（2013·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【详解】
函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
9．（2021·全国·高二课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
为上的偶函数，利用导数可判断出在上为增函数，从而得到，两边平方后解一元二次不等式可得的取值范围.
【详解】
，所以，为上的偶函数，
又，当时，，故在上为增函数.
因，由 得到，
故，或，选D.
【点睛】
已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可.
10．（2021·重庆市育才中学高三阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．
当时，，
由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，
当时，．则在的值域为．
当时，，则有，解得，
当时，，不符合题意；
当时，，则有，解得．
综上所述，可得的取值范围为 ．
故选：．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该　不重复不遗漏．
11．（2020·福建泉州外国语学校高一期中）已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则
A．0 B．6 C．12 D．18
【答案】D
【分析】
，由此的图像关于点中心对称，关于点中心对称，故交点的横纵坐标之和为定值．
【详解】
，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，，，所以
，故选D
【点睛】
函数的对称性分轴对称和对称中心，图像关于点中心对称，那么对称点的横纵坐标之和为对称中心横纵坐标的2倍
12．（2020·江西省宜丰中学高二阶段练习（文））已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，结合函数图像，可得 ，= ，利用单调性求解即可.
详解：
,
由二次函数的对称性可得
由 可得，
函数有四个不同的零点，
等价于的图象与的图象有四个不同的交点，
画出的图象与的图象，由图可得，
∴
∴=
令 ， ∴，故选B.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2018·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【详解】
分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
14．（2020·全国·高三专题练习）函数的定义域为_____________.
【答案】
【详解】
根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为.
15．（2018·天津·高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【详解】
分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.

点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
16．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【分析】
分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】
本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2018·全国·高考真题（理））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；
(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
详解：（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
18．（2020·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
19．（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.
【详解】
（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，

即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【点睛】
本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
20．（2019·吉林·长春市实验中学高二期末（文））已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；
（2）求得函数的导数，分离讨论得到函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
解（1）当时，
，.
则曲线在点处的切线的斜率为.
又，所以切线方程为.
（2）由函数，
则，其中.
当时，因为，所以.
所以函数在上单调递增，故.
当时，令，得.
若，则，所以函数在时，
，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用其中解答中熟记导数与原函数的关系，合理利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，综合性强，属于中档试题．
21．（2017·全国·高考真题（理））已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
22．（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【分析】
（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】
（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.