初中升高中预科班专题讲义


初升高衔接专题12讲义

目录
第1讲 乘法公式 2
第2讲 因式分解 7
第3讲 根式与根式的运算 14
第4讲 分式运算 19
第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法 25
第6讲 一元二次方程根与系数的关系 35
第7讲 二次函数的图象和性质 43
第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 53
第9讲 分式方程与无理方程的解法 65
第10讲 一元一次不等式（组）的解法 72
第11讲 一元二次不等式的解法 78
第12讲 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 84












第1讲 乘法公式
知识点1 平方公式
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
（3）三数和平方公式 ；
知识点2 立方公式
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）两数和立方公式 ；
（4）两数差立方公式 ．

探究一 平方公式的应用
【例1】计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=

（5）原式=

归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
【练习1】计算：
【解析】原式=


探究二 立方公式的应用
【例2】计算：（1） （2）
【解析】（1）
（2）

归纳总结：常用配方法：，．

【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) (2)
分析： (1)中，，(2)中．
【解析】(1)
(2)

探究三 整体代换
【例3】已知，求：（1）；（2）．
【解析】，所以（1）．
（2）．

归纳总结：
（1）本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．
（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．

【练习3-1】已知，
求：（1）；（2）．
【解析】，，，．
（1）；
（2）．
【练习3-2】已知，，求的值．
【解析】 ．



【课后作业】
1．不论，为何实数，的值 （ ）
A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
2．已知， ，那么的值为（ ）
A．120 B．60 C．30 D．15
3．如果多项式是一个完全平方式，则的值是
4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是
5．
6．已知，，则
7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：
（1） （2）
（3） （4）
（5）； （6）
（7） （8）
8．若，则____________；____________．
9．已知，求的值．
10．观察下列各式：；；…..
根据上述规律可得：_________________


【参考答案】
1．乘法公式答案
1．A 2．B 3． 4． 5．； 6．
7．（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
7．【解析】
(1)
(2)
(3)
(4)
8．【解析】，，，．
（1）；
（2）．
9．【解析】
原式=
10．













第2讲 因式分解
知识点1 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．
知识点2 因式分解方法
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．

知识点3 常用的乘法公式：
（1）平方差公式：；
（2）完全平方和公式：；
（3）完全平方差公式：．
（4）.
（5）(立方和公式)
（6） (立方差公式)

探究一 公式法
【例1】分解因式：(1) (2)
【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．
【解析】(1) ．
(2)

归纳总结：
(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；
(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【练习1】把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
【解析】（1）=
（2）=
（3）=

探究二 提取公因式法与分组分解法
【例2-1】把分解因式．
【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.
【解析】：

【例2-2】分解因式：（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）．


【例2-3】分解因式： （1）；（2）．
【解析】（1）===．
或＝＝＝
＝＝．
（2）
==
=．
或 =
==．

【例2-4】把分解因式．
【分析】：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
【解析】：

【练习2】分解因式（1） (2)
【解析】（1）=
(2) =
=
探究三 十字相乘法
【例3-1】把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)
【解析】(1)
．
(2)

(3)
归纳总结：
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
【例3-2】把下列各式因式分解：
(1) (2)

【解析】(1)
(2)
归纳总结：
用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

【练习3-1】把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)
【解析】(1)

(2)

(3)

探究四 拆、添项法
【例4】分解因式
【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
【解析】


归纳总结：将拆成，将多项式分成两组和．

【课后作业】
1．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2．把下列各式分解因式：
(1) (2)

(3) (4)

3．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
4．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

5．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8)

【参考答案】
1．
2．

3．

4．

5．
．






















第3讲 根式与根式的运算
知识点1 二次根式的概念
一般地，形如的代数式叫做二次根式.
知识点2 二次根式性质
(1)
(2)
(3)
(4)
二次根式的意义
探究一 根式的简化
【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）． (3)
【解析】（1）；
（2）．
(3) 原式=

归纳总结：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【练习1-1】 化简下列各式：（1）； (2)
【解析】（1）；
(2) 原式=

【例1-2】（1）若，则的取值范围是 ；
（2）等式成立的条件是（　　 ）
A.　 B.　　 C.　　 D.
【解析】（1）



（2）由于 。故选C
归纳总结：
【练习1-2】（1） ；
（2）若，求的值．
【解析】（1）
（2）因为 所以 ，此时

探究三 有理化因式和分母有理化
【例3-1】计算：．
【解析】解法一：＝＝＝＝．
解法二：＝＝ ＝＝．
【例3-2】化简：．
【解析】原式＝
=
＝＝．
【例3-3】化简：（1）； （2）．
【解析】（1）原式
．
（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．

【例3-4】已知，求的值 ．
【解析】　∵，
，
　　　　∴．

归纳总结：
【练习3】（1）＝ ；
（2）若，则 ．
【答案】（1）　（2）．
【解析】（1）＝＝
（2）
=







【课后作业】
1．二次根式成立的条件是( )
A． B． C． D．是任意实数
2．若，则的值是( )
A．－3 B．3 C．－9 D．9
3．化简(下列的取值范围均使根式有意义)：
(1) (2)


(3) (4)



4．化简：
(1) (2)


5．设，求代数式的值．



6．设，求的值．

7．化简或计算：
(1)
(2)

(3)

【参考答案】
1． C
2． A
3．
4．
5．
6．
7．





























第4讲 分式运算
知识点1 分式的意义与性质
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．
当M≠0时，分式具有下列性质：
； ．
知识点2 繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

探究一 解分的化简与求值
【例1-1】代数式有意义，则需要满足的条件是_________
【解析】且，解得
【例1-2】若，求常数的值．
【解析】： ∵，
　　 ∴
解得 ．

归纳总结：
【练习1】化简：
【解析】

探究二 列项相消
【例2】（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【解析】（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）证明：∵＝
＝，
又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数，
∴＜．

归纳总结：
【练习2】（1）证明：（其中n是正整数）；
（2）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【解析】（1）证明：∵

∴（其中n是正整数）成立．

（2）证明：∵
＝
＝，
又n≥1，且n是正整数， ∴一定为正数，
∴．



探究三 分式的应用
【例3】设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
【解析】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．

归纳总结：
【练习3】设，且e＞1，3c2－10ac＋3a2＝0，求e的值．
【解析】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 3e2－10e＋3＝0，∴(3e－1)(e－3)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝3．
∴e＝3．



探究四 多项式除以多项式
【例4】计算
【解析】


归纳总结：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式

【练习4】计算（1）

（2）

【解析】（1）
（2）




【课后作业】
1．对任意的正整数n， ()；
2．若，则＝（　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．




4．计算．




5．已知，求：





6．填空：
（1），，则 ；
（2）若，则 ；

7．计算：．




8．试证：对任意的正整数n，有＜．

【参考答案】
1．
2．B
3．
4．
5．
6．（1） （2），或－
7．
8．
















第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法
知识点1 绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

知识点2 绝对值的几何意义
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义
表示在数轴上，数和数之间的距离．

探究一 绝对值的性质
【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
【答案】A

【例1-2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（　　）
A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3
【答案】C
【例1-3】已知：abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能．
【答案】4
【解析】当a、b、c都是正数时，M= 3；
当a、b、c中有一个负数时，则M=1；
当a、b、c中有2个负数时，则M= -1；
当a、b、c都是负数时，M=-3．

归纳总结：
【练习1】已知是非零整数，且，求的值
【解析】：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正，
（1）当一正二负时，不妨设，原式；
（2）当一负二正时，不妨设，原式．
原式．



探究二 绝对值的应用
【例2】若，则．
【解析】，所以．

归纳总结：绝对值具有非负性，即若，则必有，，．

【练习2-1】练习1：， ________；__________
【解析】．
【练习2-2】若，则．
【解析】由题意，，所以．



探究三 零点分段法去绝对值
【例3】化简代数式
【解析】⑴当时，原式；
⑵当时，原式；
⑶当时，原式．
综上讨论，原式．
归纳总结：

【练习3】化简代数式
【解析】当时，；
当时，；
当时，．
综上讨论，原式．

探究四 绝对值函数
【例4-1】画出的图像
【解析】（1）关键点是，此点又称为界点；
（2）接着是要去绝对值
当时，；当时，．
（3）图像如右图
说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到
【例4-2】画出的图象
【解析】（1）关键点是和
（2）去绝对值
当时，；
当时，；
当时，．
（3）图象如右图所示．

【例4-3】画出函数的图像
【解析】（1）关键点是
（2）去绝对值：
当时，；
当时，
（3）可作出图像如右图
【例4-4】画出函数的图像
【解析】（1）关键点是和
（2）去绝对值：
当或时，；
当时，
（3）可作出图像如右图


探究五 解绝对值不等式
【例5-1】解不等式 ．
【解析】对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：和，自然只有在和之间的点，到原点的距离才小于1，所以的解集是．
归纳总结：（1）的解集是，如图1．
（2）的解集是，如图2．

【练习5-1】解不等式：（1）； （2） （3）
【答案】（1） （2） （3）

【例5-2】解不等式 ．
【解析】：由题意，，解得，所以原不等式的解集为．

归纳总结：（1）．
（2）或

【练习5-2】解不等式：（1）；（2）；（3）；
【解析】：（1）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．
（2）由题意，或，解得或，，所以原不等式的解集为．
（3）由题意，，解得

【例5-3】解不等式组．
【解析】：由，得，解得，①
由，得，即，解得，②
由①②得，，所以原不等式的解集为．


【练习5-3】解不等式．
【解析】：方法一：由，解得；由得，或，
联立得，所以原不等式的解集为．
方法二：或，解得，所以原不等式的解集为．
【例5-4】解不等式：
【解析】：方法一：（零点分段法）
（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；
（2）当时，原不等式变为：，解得，所以；
综上所述，原不等式的解集为．
方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为．

归纳总结：（1）．
（2）或．

【练习5-4】解不等式：．
【解析】：由得，解得，原不等式的解集为．

【例5-5】解不等式：
方法1：利用零点分区间法（推荐）
【分析】:由，，得和．和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．
【解析】：当时，得，解得：；
当时，得， 解得：；
当时，得，解得：．
综上，原不等式的解集为．
方法2：利用绝对值的几何意义
【解析】：的几何意义是数轴上的点到1和的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，，易知当或时，，所以位于和之间（不含端点），所以，所以原不等式的解集为．


【练习5-5】解不等式：＞4．
【解析】解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可变为，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，
即＞4， 解得x＞4．
又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．5－5
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．

【课后作业1】
1．________；________；_____；
2．，，则__________．
3．若，那么一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
4．若，那么是________数．
5．如图，化简_____________

6．已知，则_______．
7．化简，并画出的图象




8．化简．


9.画出的图像


10.画出的图像



【课后作业2】
1.已知，化简得( )
A. B. C. D.
2.不等式的解是 ，不等式的解是______________.
3.不等式的解是______________.
4.根据数轴表示三数的点的位置，化简 ___ .

5.解不等式
6.解不等式
7.解下列关于的不等式：
8.解不等式
9．解不等式：

【参考答案1】
1．；； 2．或 3．C 4．负 5．-4 6．3

7．，图象如下

8．

9．如图所示




10．如图所示




【参考答案2】
1.B 2. ； 3. 4.0
5. 6.
7.
8.
9．

第6讲 一元二次方程根与系数的关系
知识点1 一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
(1) 当时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：

所以：，

韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：




探究一 与根个数之间的关系
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) (2) (3)
【解析】：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) 原方程可化为：
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：
，∴ 原方程没有实数根．
归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【练习1-1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．
【解析】：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【练习1-2】已知实数、满足，试求、的值．
【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：
由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：
，
代入原方程得：．
综上知：

探究二 一元二次方程的根与系数的关系
【例2-1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)

归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，，，
，，
等等．韦达定理体现了整体思想．

【练习2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23．
【解析】：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝，∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
【解析】：法一 设这两个数分别是，，则或．
因此，这两个数是－2和6．
法二 由韦达定理知，这两个数是方程2－4－12＝0的两个根．
解方程得：1＝－2，2＝6． 所以，这两个数是－2和6．

【例2-2】关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
【解析】：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
探究三 一元二次方程的根的范围
【例3-1】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
【解析】：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．
【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。
【解析】：解一：由 解得：
解二：设，则如图所示，
只须，解得

【练习3-1】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。
【解析】：如图，设
则只须，解之得
∴




【课后作业】
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？请你说明理由．

12．已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．





13．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围； (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请你说明理由．






14．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．





【参考答案】
1． B 2． A 3．A 4．A 5．A
6．
7． 3 8． 9或 9．
10． 11．正确
12．
13． (2) 不存在
14．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
























第7讲 二次函数的图象和性质
知识点1 二次函数的图象与解析式
二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

知识点2 二次函数的最值
二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．
在初中阶段大家已经知道：
当时，函数在处取得最小值，无最大值；
当时，函数在处取得最大值，无最小值．
今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．


探究一 求二次函数解析式
【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．
归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

【例1-2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
归纳总结：
上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
【例1-3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
【解析】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

探究二 二次函数的最值
【例2-1】当时，求函数的最大值和最小值．
【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．
【解析】：方法一：作出函数的图象．当时，，当时，．
方法二：配方法

当时，，
当时，．
【例2-2】当时，求函数的最大值和最小值．
【解析】方法一：作出函数的图象．当时，，
当时，．
方法二：配方法，，
当时，，当时，．

归纳总结：
二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例2-3】当时，求函数的取值范围．
【解析】方法一：作出函数在内的图象．
可以看出：当时，，无最大值．
所以，当时，函数的取值范围是．
方法二：，当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．
【例2-4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．
【分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
【解析】函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：
当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．


综上所述：
【例2-5】当时，求函数的最小值(其中为常数)．
【分析】由于对称轴随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
【解析】函数的对称轴为．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即，即时，当，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时，当时，
综上所述：．





【课后作业1】
1．选择题：
把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ）
（A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）
2．填空：
（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 ．
（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ．
3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．




4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？




5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．


【参考答案1】
1．（1）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3
3．（1）．（2）．
（3）．（4）
4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．
5．（1）函数f（x）的解析式为
（2）函数y的图像如图所示
（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．





【课后作业2】
1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
3．求下列二次函数的最值：
(1) ； (2) ．



4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．




5．对于函数，当时，求的取值范围．




6．求函数的最大值和最小值．




7．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？



8．已知关于的函数在上．
(1) 当时，求函数的最大值和最小值； (2) 当为实数时，求函数的最大值．




9．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．





10．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求．


11．已知函数在上的最大值为4，求的值．





12．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．




【参考答案2】
1．4 14或2， 2．
3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．
4．当时，；当时，．
5．
6．当时，；当或1时，．
7．当时，．
8．(1) 当时，；当时，．
(2) 当时，；当时，．
9．．
10．．
11．或．
12．当时，，此时；当时，，此时．


















第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法
知识点1 三元一次方程组
三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程．
它的一般形式是 ，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．
知识点2 二元二次方程组
含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，
或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．

探究一 二元一次方程组及其解法
方法1、代入消元法解二元一次方程组
【例1-1】解方程组
【解析】由②，得 . ③
将③代入①，得 ，
，，
把 代入③，得
所以原方程组的解是

归纳总结：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y的代数式表示x. 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.
【练习1-1】用代入法解方程组：
【答案】
方法2、加减消元法解二元一次方程组
【例1-2】解方程组：
【解析】法一：①×3，②×2，得
③-④，得29m=-29，m=-1. 将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3. 所以原方程组的解为
法二：①×7，②×5，得
③+④，得29n=87，n=3. 把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为
探究二 三元一次方程组及其解法
【例2-1】 解方程组  
【分析】方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
【解析】②×3＋③，得  11x＋10z＝35．     （4）
与④组成方程组     
解这个方程组，得，把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，∴．
所以
【例2-2】  解方程组
【分析】三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z．
【解析】①+③，得  5x+6y=17      ④
②+③×2，得，  5x+9y=23     ⑤
④与⑤组成方程组，解这个方程组，得， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴  z=3
∴ 

探究三 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法
【例3-1】解方程组
【解析】由(1)得： (3)
将(3)代入(2)得：，解得：
把代入(3)得：；把代入(3)得：．
∴原方程组的解是：．
归纳总结：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)；
②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；
③解消元后得到的一元二次方程；
④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；
(2) 消还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如，可以消去，变形得，再代入消元．
(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．
【练习3-1】解方程组
【解析】第二个方程可变形为 x＝2y＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y2＋8y＝0，
即y(y＋1)＝0， 解得y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③, 得 x1＝2；
把y2＝－1代入③, 得x2＝0．
所以原方程组的解是

【例3-2】解方程组
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：． ∴ 原方程组的解是：．
【练习3-2】解方程组
【解析】解法一：由①，得 　　　 ③
把③代入②，整理，得
解这个方程，得 ．　
把代入③，得；把代入③，得．
所以原方程的解是　 　
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求．
这个方程组的是一元二次方程　
的两个根，解这个方程，得　，或．
所以原方程组的解是　　　
【练习3-3】解下列方程组:
（1）　　　 （2）　
（3）　 （4）
【答案】（1） （2）
（3） （4）


探究四 二元二次方程组成的方程组的解法
【例4-1】解方程组
【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．
【解析】得：，
即 ， ∴
∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：．
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：．

归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．
【例4-2】解方程组
【分析】 得：，得：，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．
【解析】(1) +(2)得：， (1) -(2)得：．
解此四个方程组，得原方程组的解是：．

归纳总结：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解．







【课后作业1】
1. 解下列三元一次方程组
（1）             （2）            （3）
2．已知，且x+y+z=24，求x、y、z的值．
3．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：
（1）a，b，c的值；（2）当x=-4时，求代数的值．
*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：的值．
*5．已知且xyz≠0，求x：y：z．．
*6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0.5元，试问三种笔各买了多少支？

【参考答案1】
1.(1) (2) (3)
2. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-41
4.
5.
6..金笔 5支 铂金笔5支 圆珠笔90支



【课后作业2】
A 组
1．解下列方程组：
(1) (2)

(3) (4)

2．解下列方程组：
(1) (2)


3．解下列方程组：
(1) (2)


(3) (4)



4．解下列方程组：
(1) (2)



B 组
1．解下列方程组：
(1) (2)


2．解下列方程组：
(1) (2)


3．解下列方程组：
(1) (2)


4．解下列方程组：
(1) (2)



5．解下列方程组:
（1）　　　 （2）　
（3）　 （4）

【参考答案2】
A 组
1．
2．
3．
．
4．(1) ．(2) ．
B 组
1．
2．
3．
4．，
5．（1） （2）
（3） （4）








































第9讲 分式方程与无理方程的解法
知识点1 分式方程
分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程
知识点2 无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．

探究一 分式方程的解法
方法一、去分母化分式方程为一元二次方程
【例1-1】解方程 ．
【分析】：去分母，转化为整式方程．
【解析】：原方程可化为：
方程两边各项都乘以得，
即， 整理得：，解得：或．
检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；
把代入，等于0，所以是增根．
所以，原方程的解是．
归纳总结：(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解；
②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；
③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；
④解一元二次方程；
⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验．
方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程
【例1-2】解方程
【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．
【解析】：设，则原方程可化为： 解得或．
(1)当时，，去分母，得；
(2)当时，．
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，，都是原方程的解．

归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想
【练习1】解方程 ．
【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．
【解析】：设，则
原方程可化为：．
(1)当时，；
(2)当时，．
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，原方程的解是，，．

探究二 无理方程的解法
方法一、平方法解无理方程
【例2-1】解方程
【解析】：移项得：， 两边平方得：
移项，合并同类项得：，解得：或
检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．
把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．
所以，原方程的解是．
归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；
②两边同时平方，得到一个整式方程；
③解整式方程；
④验根．
【练习2-1】解方程
【分析】：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．
【解析】：原方程可化为： ，两边平方得：
整理得：，两边平方得：， 整理得：，解得：或．
检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．
把代入原方程，左边右边，所以是增根．
所以，原方程的解是．
方法二、换元法解无理方程
【例2-2】解方程
【分析】：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．
【解析】：设，则
原方程可化为：，
即，解得：或．
(1)当时，；
(2)当时，因为，所以方程无解．
检验：把分别代入原方程，都适合．
所以，原方程的解是．
归纳总结：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．






【课后作业】
A 组
1．解下列方程：
(1) (2)


(3) (4)



2．用换元法解方程：



3．解下列方程：
(1) (2) (3)



4．解下列方程：
(1) (2)


5．用换元法解下列方程：
(1) (2)


B 组
1．解下列方程：
(1) (2)


(3) (4)


2．用换元法解下列方程：
(1) (2)


(3)


3．若是方程的解，试求的值．


4．解下列方程： (1) (2)


5．解下列方程：
(1) (2) (3)
【参考答案】
A 组
1．
2．
3．
4．(1)．(2) ．
5．
B 组
1．
2．
3．
4．
5．

















第10讲 一元一次不等式（组）的解法
知识点1 一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组．
如：．
知识点2 一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.
(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分．
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：
　　　　　　
(3)求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．解一元一次不等式组的一般步骤为：
①分别解不等式组中的每一个不等式；
②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).
④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．


探究一 一元一次不等式组及其解法
【例1-1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】：先求不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求它们的公共部分即不等式组的解集．
【解析】：解不等式①，得；解不等式②，得x＜1．所以不等式组的解集为
　　　　　在数轴上表示不等式①②的解集如图．
　　　　
归纳总结：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画．有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．

【例1-2】解不等式：
【分析】：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集．
【解析】；解法1：原不等式可化为下面的不等式组
　　　　　 解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8
　　　　　 所以不等式组的解集为－1＜x≤8．即原不等式的解集为－1＜x≤8
　 　解法2：，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8．
　　　　　 所以原不等式的解集为－1＜x≤8
归纳总结：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.

探究二 含参数的一元一次不等式组
【例2】若不等式组无解，求a的取值范围.
【解析】：依题意： 2a-5 ≥ 3a-2，解得a ≤ -3
归纳总结：特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.



【课后作业】
1．解不等式组：
【答案】
【解析】：解不等式①，得：，解不等式②，得：，在数轴上表示这两个不等式的解集为：
　　　　　　
　　　 　∴原不等式组的解集为：

　2．解不等式组：，
【分析】：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：
（1）不等式组里不等式的个数并未规定；
　　（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.
　　（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别
解法一：解不等式①，得：，解不等式②，得：，解不等式③，得：，在数轴上表示这三个不等式的解集为：
　　　　　　
　　　　　　∴原不等式组的解集为：
　解法二：解不等式②，得：
　　　　　解不等式③，得：
　　　　　　由与得：
　　　　　　再与求公共解集得：.
3．解不等式组：
【解析】：解不等式①得：x＞－2，解不等式②得：x＜－7
　　　　　∴不等式组的解集为无解
　　　

4．求不等式组的整数解．
【分析】：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解．
【解析】：解不等式①，得；解不等式②，得x≤4．
　　　　　在数轴上表示不等式①②的解集(如图)
　　　　　　
　　　　　所以不等式组的解集为．
　　　　　所以它的整数解为3,4．

5．若不等式组无解，则的取值范围是什么？
【解析】：要使不等式组无解，故必须，从而得.
6．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？
【解析】：由可解出，
　　　　　而由可解出，
　　　　　而不等式组的解集为，
故，即.
　　
7．不等式组的解集为x＜2，试求k的取值范围.
【解析】：由①得 x＜2，由②得x＜k，
　　　　　∵不等式组的解集为 x＜2，∴ 2≤k．即k≥2.

8．已知关于的不等式组 的整数解共有5个，求的取值范围．
【解析】：∵不等式组的解为:
　　　　　不等式组的解为:
　　　　　由于原不等式组有解，∴解集为
　　　　　在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次是
　　　　　∴m必须满足

9．若不等式组的解集为－1＜x＜1，则＝____________．
【解析】：由①知x＞a＋2，由②知，∵a＋2＝－1，，∴a＝－3，b＝2，
　　　　　∴a＋b＝－1，∴．
















第11讲 一元二次不等式的解法
知识点1 一元二次不等式
形如的不等式称为关于的一元二次不等式．
知识点2 “三个二次”之间的关系
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：





二次函数

（）的图象








有两相异实根

有两相等实根


无实根




R




一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．
探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式
【例1-1】解不等式．
【解析】：原不等式可以化为：，
于是：或
所以，原不等式的解集是．
归纳总结：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．
【练习1-1】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）
【解析】：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是；
(2) 不等式可化为，∴ 不等式的解集是；
(3) 不等式可化为，即，∴ 不等式的解集是；
（4）不等式可化为 ∴ 不等式的解是．

【例1-2】解下列不等式：
(1) (2)
【分析】：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．
【解析】：(1) 原不等式可化为：，即
于是：， 所以原不等式的解是．
(2) 原不等式可化为：，即
于是：
所以原不等式的解是．
【练习1-2】解下列不等式
（1）； （2）．
【解析】：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是；
（2）的根为，∴ 不等式的解集是；
【例1-3】不等式的解是_____________．
【答案】：
【练习1-3】若，则不等式的解是_____________．
【答案】：

探究二 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式
【例2-1】解下列不等式：
(1) (2) (3) （4）
【解析】：(1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是．
(2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是．
(3) 不等式可化为， 所以无解．
（4）不等式可化为 ∴ 不等式的解集是．
归纳总结：若，是一元二次方程的两个根，且，则有：
（1） （2）或

【例2-2】已知不等式的解为，求和的值，并解不等式．
【解析】：依题意，和是方程的两根，
方法1：由韦达定理，∴ ，，解得，．
方法2：直接代入方程得，，解得，
∴ 不等式为，解得或．
∴ 不等式的解集为．
【练习2-1】设一元二次不等式的解为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C

探究三 恒成立问题
【例3】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．
【解析】：显然时，不合题意，于是：
．

归纳总结：
【练习3】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．
【解析】：显然时，不恒为正数，不合题意，于是：
．



【课后作业】
1．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
2．不等式的解是____________．
3．不等式的解是____________．
4．不等式的解是_________________________．
5．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 ．
6．已知不等式的解是，则_________．
7．已知不等式的解集是，则________．
8．不等式的解集为，则的解是________．
9．已知一元二次方程，求下列各条件下，实数的取值范围．
（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根



10．解不等式
（1） （2）



11.解关于的不等式：．

【参考答案】
1．（1）；（2）；（3）无解；（4）全体数
2． 3．或 4． 5． 6．
7．
8．
9．（1） （2） （3）
10．（1）
（2）原不等式可变为：，（1）当或时，；
（2）当时，无解；（3）当或时，．
11.【解析】：原不等式对应的一元二次方程为：，，
当时，，原不等式无解；
当时，对应一元二次方程的两个解为：，
所以的解为：
综上所述，时，原不等式无解；
当时，原不等式的解为：．















第12讲 分式不等式和特殊的高次不等式的解法
探究一 简单分式不等式的解法
【例1-1】 解不等式：．
【解析】：解法1：化为两个不等式组来解：
∵x∈φ或，
∴原不等式的解集是．
解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
∵，
∴原不等式的解集是.
归纳总结：（1）；
（2）；
【练习1-1】解下列不等式：
(1) (2)
【解析】：（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．
(2) ∵ ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．

【例1-2】解不等式．
【解析】：原不等式可化为：
，所以原不等式的解集为．
【练习1-2】解下列不等式
（1） （2）
【解析】：（1），所以原不等式的解集为．
（2），所以原不等式的解集为．

探究二 简单的高次不等式的解法
【例2-1】解不等式：；
解法一（列表法）：①检查各因式中的符号均正；
②求得相应方程的根为：，1，3；
③列表如下：

-2 1 3
x+2
-
+
+
+
x-1
-
-
+
+
x-3
-
-
-
+
各因式积
-
+
-
+
④由上表可知，原不等式的解集为：．
归纳总结：此法叫列表法，解题步骤是：
①将不等式化为形式（各项的系数化为正数），令，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分……；
②按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；
③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；
④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．

解法二：（穿根法）
①的根是，1，3，在数轴上表示这三个数，
②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点

③若不等式（的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在轴上方的区间；
若不等式是“< 0 ”,则找“线”在轴下方的区间.
由图可知，原不等式的解集为：．
归纳总结：此法叫穿根法，解题步骤是：
①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”；
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“