陕西省西安市雁塔区高新一中2022--2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，计30分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是　　

A． B． 

C． D．

2．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是　　

A． B． C． D．

3．用配方法解方程，可变形为　　

A． B． C． D．

4．已知的三边长分别为，，，的两边长分别为，，若这两个三角形相似，则的第三条边长是　　

A． B． C． D．

5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么的值为　　

A． B． C． D．

6．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是　　

A． B． C． D．

7．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于　　

A．0.618 B． C． D．2

8．在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是　　

A． B． 

C． D．

9．设，是方程的两个实数根，则的值为　　

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

10．如图，在中，，．现分别作的内接矩形，，，设这三个内接矩形的周长分别为、、，则的值是　　

A．18 B． C． D．36

二、填空题（每小题3分，计21分）

11．若，则　　．

12．我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为，长比宽多，如果设宽为，则列出的方程为 　　．

13．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 　　．

14．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为　 　．

15．有一个底面为正三角形的直三棱柱，三视图如图所示，则这个直棱柱的体积为 　　．

16．如图，在已建立直角坐标系的的正方形方格中，是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点，，为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是 　　．

17．如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为 　　．

三、解答题（共8小题，计69分）

18．（8分）（1）解方程：（公式法）；

（2）解方程（因式分解法）．

19．（7分）美术张老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把几何体放置在桌面，小聪同学已经画出了它的主视图，请你帮助她完成这个几何体的其它视图．

20．（7分）从2021年起，江苏省高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．

（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中选择了地理，则她选择生物的概率是多少；

（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或者列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．

21．（7分）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在处竖立了一根标杆，小刚走到处时，站立在处看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端．已知米，米，米，点小、、在一条直线上，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．

22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．

23．（10分）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．

（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？

（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？

24．（10分）如图，在等边中，点是边上的一个动点（不与点，重合），以为边作等边，与交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，且，求的面积．

25．（12分）问题提出：

（1）数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

初步探究：

（2）李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由）

深入探究：

（3）若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：．为一元二次方程，所以选项符合题意；

．为分式方程，所以选项不符合题意；

．不是一元二次方程，所以选项不符合题意；

．为二元一次方程，所以选项不符合题意；

故选：．

2．【解答】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项中的图形符合题意；

故选：．

3．【解答】解：，

，

则，即，

故选：．

4．【解答】解：设的第三条边长为，

的三边长分别为，，，的两边长分别为，，且这两个三角形相似，

若第三条边长最小，则需，不符合题意，舍去；

若，则需，

解得，

故选：．

5．【解答】解：，，，

，

，

故选：．

6．【解答】解：设合格产品记为，不合格产品记为，

树状图如下所示：

由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有4种可能性，

抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为，

故选：．

7．【解答】解：矩形矩形，

，

，

又，

，

．

故选：．

8．【解答】解：当是的垂线时，．

，

，

，

，

，

．

根据作图痕迹可知，

选项中，是的平分线，不与垂直，不符合题意；

选项中，是边上的中线，不与垂直，不符合题意；

选项中，是的垂线，符合题意；

选项中，，不与垂直，不符合题意．

故选：．

9．【解答】解：是方程的实数根，

，

，

，是方程的两个实数根，

，

．

故选：．

10．【解答】解：过点作于，

，，

，，

，

四边形是矩形，

，，，

，

△，

，

，

在△和△中，

，

△△，

，

，

同理：．

．

故选：．

11．【解答】解：，

设，，，

．

故答案为：．

12．【解答】解：长比宽多，宽为，

长为．

又矩形田的面积为，

根据题意可列出的方程为．

故答案为：．

13．【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

点落入黑色部分的概率为0.65，

边长为的正方形的面积为，

由此可估计阴影部分的总面积约为：，

故答案为：65．

14．【解答】解：设该经济开发区的实际面积为．

根据题意得：，

解得： 0000 0000，

0000 ，

该经济开发区的实际面积为．

故答案为：3.2．

15．【解答】解：该几何体是底面为正三角形的直三棱柱，

底面等边三角形的边长为4，

底面面积，

直三棱柱的高为2，

直棱柱的体积．

故答案为：．

16．【解答】解：如图：

此时对应或，且相似比为，

故点的坐标为：或；

格点的坐标是或．

17．【解答】解：延长交于点，如图，

四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，

，；，

，

四边形是平行四边形，

．

位似图形与原图形的位似比为，

，

即，

，

．

故答案为：4．

18．【解答】解：（1），

，，，

△，

，

所以，；

（2），

，

，

或，

所以，．

19．【解答】解：这个几何体的左视图和俯视图如下：

．

20．【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，

小丽选择生物的概率为；

（2）把化学、生物、思想政治、地理4科分别记为、、、，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明选中“化学”“生物”的结果有2种，

小明选中“化学”“生物”的概率为．

21．【解答】解：如图，延长、交于点，

由题意可知，

为三角形的中位线，，

，

，

小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端，

，

又，

，

，

，

设为，则，，

则，

，

解得：，

，

这棵樱花树的高度为．

22．【解答】解：（1）根据题意得：△，

解得：；

（2）由为正整数，得到或2，

利用求根公式表示出方程的解为，

方程的解为整数，

为完全平方数，

则的值为2．

23．【解答】解：（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为，

依题意得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：该工厂平均每月生产量的增长率为．

（2）设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：每个“冰墩墩”应降价4元．

24．【解答】（1）证明：与为等边三角形，

，

，

，

，

，

又，

；

（2）解：过点作于，

是等边三角形，，，

，，

，

在中，，

，

，

，

，

由②知，

，

即，

．

25．【解答】解：（1）如图，设与交于点，

设正方形零件的边长为，则，，

，

，

，

，

，

解得．

答：正方形零件的边长为；

（2），理由如下：

如图2，由已知条件得：，

在与中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

故答案为：；

（3）．理由如下：

如图3，过点作于，分别交、于点、，

设每个正方形的边长为，

，

，

，

，

解得，，

．

，，

，

．