第6章 反比例函数 数学北师大版九年级上册单元测评3(含答案)

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单元测评挑战卷(六)(第六章)
(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2021·成都期中)关于反比例函数y＝－，下列结论中，错误的是(　D　)
A．图象必过点(1，－3) B．若x＞0，则y＜0
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小
【解析】A.∵1×(－3)＝－3，故图象必过点(1，－3)，故选项A不符合题意；
B．若x＞0，则y＝－＜0，故选项B不符合题意；
C．∵k＝－3＜0，故图象在第二、四象限内，故选项C不符合题意；
D．∵k＝－3＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故选项D符合题意．
2．已知点A(x1，4)，B(x2，8)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式一定正确的是(　A　)
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2
C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【解析】∵点A(x1，4)，B(x2，8)都在反比例函数y＝－的图象上，
∴4＝－，8＝－，∴x1＝－，x2＝－，∴x1＜x2＜0.
3．如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V(mL)与气体对气缸壁产生的压强P(kPa)的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是(　D　)

A．气压P与体积V的表达式为P＝kV(k＞0)
B．当气压P＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P也变为原来的一半
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小
【解析】当V＝60时，P＝100，则PV＝6 000，
A．气压P与体积V的表达式为P＝，且k＞0，故不符合题意；
B．当P＝70时，V＝＞80，故不符合题意；
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P变为原来的2倍，不符合题意；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，符合题意．
4．若反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，则关于x的方程kx2－3x＋2＝0的根的情况是(　A　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【解析】反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，
所以k＜0，
所以关于x的方程kx2－3x＋2＝0，
Δ＝9－8k＞0，
所以关于x的方程kx2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根．
5．(2021·成都期中)在同一直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x＋a(a≠0)的图象大致是(　C　)

【解析】∵一次函数y＝x＋a(a≠0)，
∴一次函数图象y随x增大而增大，
故A，D不符合题意；
在B中，反比例函数图象过第一、三象限，故a＞0；一次函数图象过第一、三、四象限，故a＜0，不合题意；
在C中，反比例函数图象过第一、三象限，故a＞0；一次函数图象过第一、二、三象限，故a＞0，符合题意．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为(　B　)

A．16 B．20 C．32 D．40
【解析】∵BD∥x轴，D(0，4)，∴B，D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B(x，4).
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°，∴E.
∵∠DAB＝90°，∴AD2＋AB2＝BD2，
∵A(2，0)，D(0，4)，B(x，4)，
∴22＋42＋(x－2)2＋42＝x2，解得x＝10，
∴E(5，4).
∵反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20.
7.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4).若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　C　)

A．1≤k≤4 B．2≤k≤8
C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
【解析】∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，∴2≤k≤16.
8．(2021·重庆质检)如图，已知A(－2，0)，B为反比例函数y＝的图象上一点，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，⊙C与y轴正半轴交于D(0，4)，则k的值为(　C　)

A．4 B．5 C．6 D．8
【解析】作BE⊥x轴于点E，

设⊙C的半径为r，
∵A(－2，0)，D(0，4)，
∴OA＝2，OD＝4，∴OC＝4－r，
在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，∴r2＝22＋(4－r)2，
解得r＝，∴OC＝4－＝，
∵BE∥OC，∴＝＝＝2，
∴BE＝3，OE＝OA＝2，∴B(2，3)，
∵B为反比例函数y＝的图象上一点，∴k＝2×3＝6.
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BC∥x轴．AD与y轴交于点E，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过顶点C，D，已知点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为(　B　)

A． B． C．3 D．5
【解析】如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5－DE，
∵CD2＝DF2＋CF2，
∴25＝9DE2＋(5－DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m＋3)，
∵反比例函数y＝的图象过点C，D，
∴5m＝1×(m＋3)，∴m＝，
∴点C，
∴k＝5×＝.
10．(2021·资阳质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为(4，a)，将直线y＝x向上平移m个单位长度，交双曲线y＝(x＞0)于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是.给出以下结论：
(1)k＝8；
(2)点B的坐标是(－4，－2)；
(3)S△ABC＝S△ABF；
(4)m＝.其中结论正确的有(　D　)

A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】(1)∵直线y＝x经过点A(4，a)，
∴a＝×4＝2，
∴A(4，2)，
∵点A(4，2)在双曲线y＝上，
∴k＝4×2＝8，故(1)正确，符合题意；
(2)联立，得或
∴点B的坐标是(－4，－2)，
故(2)正确，符合题意；
(3)∵将直线y＝x向上平移m个单位长度，交双曲线y＝(x＞0)于点C，交y轴于点F，
∴FC∥AB，
∵△ABC和△ABF是同底等高，
∴S△ABC＝S△ABF，
故(3)正确，符合题意；
(4)∵S△ABF＝S△ABC＝，
∴S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝m×4＋m×4＝，
解得m＝，
故(4)正确，符合题意．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：
甲：第一、三象限有它的图象；
乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．
请你写一个满足上述性质的函数，例如__y＝__．(答案不唯一)
【解析】∵根据反比例函数的性质，满足上述性质的函数只要是k＞0的反比例函数即可，例如y＝(答案不唯一).
12．若函数y＝(3＋m) 是反比例函数，则m＝__3__．
【解析】根据题意得：，
解得：m＝3.
13．已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的表达式为__y＝__．
【解析】∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，
∴P点坐标为(－2，－4)或(－4，－2)，
则该反比例函数的表达式为y＝.
14．(2021·南京质检)如图，曲线表示温度T(℃)与时间t(h)之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2 ℃时，时间t的取值范围为__t≥h__．

【解析】设函数表达式为T＝，
∵经过点(1，3)，∴k＝1×3＝3，∴函数表达式为T＝，当T≤2℃时，t≥h.
15．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝(x＞0)图象上，则点F的坐标是____．

【解析】设点P的坐标为，
∵a＝，得a＝1或a＝－1(舍去)，∴点P的坐标为(1，1)，
∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，
当y＝时，＝，得x＝2，∴点F的坐标为.
16．(2021·安阳质检)如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点E，并与矩形的另一边BC交于点F.若S△BEF＝1，则k＝__－4__．

【解析】设E的坐标是(m，n)，则C的坐标是(2m，0)，
在y＝中，令x＝2m，解得：y＝，
∵S△BEF＝1，
∴BE·BF＝1，∴|m|·＝1，
∵mn＜0，
解得：mn＝－4，∴k＝mn＝－4.
17．(2020·深圳中考)如图，在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(3，1)，B(1，2).反比例函数y＝(k≠0)的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝__－2__．

【解析】连接OB，AC，交点为P，

∵四边形OABC是平行四边形，∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O(0，0)，B(1，2)，∴P的坐标，∵A(3，1)，∴C的坐标为(－2，1)，
∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点C，∴k＝－2×1＝－2.
18．如图，已知点A(1，2)是反比例函数y＝的图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是__(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)__．

【解析】∵反比例函数y＝的图象关于原点对称，∴A，B两点关于O对称，
∴O为AB的中点，且B(－1，－2)，∴当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB，
设P点坐标为(x，0)，∵A(1，2)，B(－1，－2)，∴AB＝＝2，
PA＝，PB＝，
当PA＝AB时，则有＝2，解得x＝－3或5，此时P点坐标为(－3，0)或(5，0)；
当PB＝AB时，则有＝2，解得x＝3或－5，此时P点坐标为(3，0)或(－5，0)；
综上可知P点的坐标为(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0).
三、解答题(共46分)
19．(8分)已知反比例函数y＝(m为常数).
(1)若函数图象经过点A(－1，6)，求m的值；
(2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围；
(3)当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
【解析】(1)∵函数图象经过点A(－1，6)，∴m－8＝xy＝－1×6＝－6，解得m＝2.∴m的值是2.
(2)∵函数图象在第二、四象限，∴m－8＜0，解得m＜8.∴m的取值范围是m＜8.
(3)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－8＞0，解得m＞8.∴m的取值范围是m＞8.
20．(8分)(2021·昆明质检)如图，已知两点A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－>0的解集．

【解析】(1)把A(－4，2)代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
把B(n，－4)代入y＝－，得－4n＝－8，解得n＝2.∴B(2，－4).
把A(－4，2)和B(2，－4)代入y＝kx＋b，得 解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－2.
(2)在y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2.设直线y＝－x－2与x轴交于点C，则C(－2，0).
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.
(3)由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为x＜－4或0＜x＜2.
21．(8分)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经试验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式；
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？

【解析】(1)当0≤x＜4时，设直线的表达式为y＝kx，将(4，400)代入，得400＝4k，解得k＝100，故直线的表达式为y＝100x.
当4≤x≤10时，设反比例函数的表达式为y＝，将(4，400)代入，得400＝，解得a＝1 600，故反比例函数的表达式为y＝.因此血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为y＝100x(0≤x＜4)，
下降阶段的函数关系式为y＝(4≤x≤10).
(2)当y＝200，则200＝100x.解得x＝2.当y＝200，则200＝，解得x＝8.
∵8－2＝6(小时)，∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时．
22．(10分)(2020·菏泽中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(1，2)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【解析】(1)将点A(1，2)代入y＝，得：m＝2，∴y＝，当y＝－1时，x＝－2，∴B(－2，－1)，
将A(1，2)，B(－2，－1)代入y＝kx＋b，得：，解得，∴y＝x＋1，
∴一次函数的表达式为y＝x＋1，反比例函数的表达式为y＝.
(2)在y＝x＋1中，当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，∴C(－1，0)，设P(m，0)，则PC＝|－1－m|，
∵S△ACP＝·PC·yA＝4，∴×|－1－m|×2＝4，解得m＝3或m＝－5，
∴点P的坐标为(3，0)或(－5，0).
23．(12分)(2020·攀枝花中考)如图，过直线y＝kx＋上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y＝(x＞0)的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C′的坐标为(1，3).
(1)求k，m的值；
(2)求直线y＝kx＋与函数y＝(x＞0)的图象的交点坐标；
(3)直接写出不等式＞kx＋(x＞0)的解集．

【解析】(1)∵C′的坐标为(1，3)，代入y＝(x＞0)中，得：m＝1×3＝3，∵C和C′关于直线y＝x对称，∴点C的坐标为(3，1)，∵点C为PD的中点，∴点P(3，2)，将点P代入y＝kx＋，∴解得k＝，∴k＝，m＝3.
(2)联立：得x2＋x－6＝0，解得：x1＝2，x2＝－3(舍)，
∴直线y＝kx＋与函数y＝(x＞0)的图象的交点坐标为.
(3)∵两个函数的交点为：，由图象可知：当0＜x＜时，反比例函数图象在一次函数图象上面，∴不等式>kx＋(x＞0)的解集为0＜x＜.
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