新疆新源县达标名校2021-2022学年中考数学四模试卷含解析

这是一份新疆新源县达标名校2021-2022学年中考数学四模试卷含解析，共23页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．4的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．8 D．±8
2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=30°．动点P从点B出发，沿 B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为y(B、P两点重合时，△ABP的面积可以看作0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（　　）

A． cm B．cm C．cm D． cm
5．在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（　　）
每周做家务的时间（小时）
0
1
2
3
4
人数（人）
2
2
3
1
1
A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，2
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．0.00002=2×105
C． D．
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单价为b元/千克，且a＞b.根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）

甲种糖果
乙种糖果
混合糖果
方案1
2
3
5
方案2
3
2
5
方案3
2.5
2.5
5
则最省钱的方案为（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．三个方案费用相同
10．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是

A． B． C． D．
11．下列运算正确的是（　　）
A．a12÷a4=a3 B．a4•a2=a8 C．（﹣a2）3=a6 D．a•（a3）2=a7
12．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．
14．分解因式：m2n﹣2mn+n= ．
15．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是_____千米．

16．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点 B，则△OAC 与△BAD 的面积之差 S△OAC﹣S△BAD 为_______.

17．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．
18．如图，二次函数y=a（x﹣2）2+k（a＞0）的图象过原点，与x轴正半轴交于点A，矩形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣2），点P为x轴上任意一点，连结PB、PC．则△PBC的面积为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
（1）①表中a的值为 ，中位数在第 组；
②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
50≤x＜60
6
第2组
60≤x＜70
8
第3组
70≤x＜80
14
第4组
80≤x＜90
a
第5组
90≤x＜100
10

20．（6分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生总数为_____人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是_____；
（3）若全校九年级共有学生800人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
21．（6分）下面是一位同学的一道作图题：
已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使

他的作法如下：
（1）以点O为端点画射线，．
（2）在上依次截取，．
（3）在上截取．
（4）联结，过点B作，交于点D．
所以：线段________就是所求的线段x．
①试将结论补完整
②这位同学作图的依据是________
③如果，，，试用向量表示向量．
22．（8分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，在随机抽取1张，将卡片的数字即为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在二、四象限的概率．
23．（8分）如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：与相切；
（2）连接，求的值．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； 以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

26．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．
（1）求证：AE=AD．
（2）若AE=3，CD=4，求AB的长．

27．（12分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
本次调查中，王老师一共调查了　 　名学生；将条形统计图补充完整；为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．



参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
依据平方根的定义求解即可．
【详解】
∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2、B
【解析】
试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.
故选B.
考点：负数的意义
3、C
【解析】
先分别求出点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动时，当0＜x≤2和2＜x≤4时，y与x之间的函数关系式，即可得出函数的图象．
【详解】
由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，y=x，
当2＜x≤4，y=1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象是C．
故选C．
4、B
【解析】
试题解析：∵菱形ABCD的对角线

根据勾股定理，
设菱形的高为h，
则菱形的面积
即
解得
即菱形的高为cm．
故选B．
5、B
【解析】
试题解析：能够凑成完全平方公式，则4a前可是“-”，也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（-，-）、（+，+）、（+，-）、（-，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是．
故选B．
考点：1．概率公式；2．完全平方式．
6、D
【解析】
试题解析：表中数据为从小到大排列．数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数．
所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．
故选D．
考点：1.众数；1.中位数.
7、D
【解析】
在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
【详解】
解：A、原式= ；故本选项错误；
B、原式=2×10-5；故本选项错误；
C、原式= ；故本选项错误；
D、原式=；故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
8、B
【解析】
试题分析：根据题意得△=32﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
考点：根的判别式．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9、A
【解析】
求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论.
【详解】
方案1混合糖果的单价为，
方案2混合糖果的单价为，
方案3混合糖果的单价为.
∵a＞b，
∴，
∴方案1最省钱.
故选：A.
【点睛】
本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题的关键.
10、A
【解析】
由题意根据勾股定理求出OA，进而根据正弦的定义进行分析解答即可．
【详解】
解：由题意得，，，

由勾股定理得，，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
11、D
【解析】
分别根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则逐一计算即可得．
【详解】
解：A、a12÷a4=a8，此选项错误；
B、a4•a2=a6，此选项错误；
C、（-a2）3=-a6，此选项错误；
D、a•（a3）2=a•a6=a7，此选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则．
12、B
【解析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、y(x-2)2
【解析】
先提取公因式y，再根据完全平方公式分解即可得.
【详解】
原式==，
故答案为．
14、n（m﹣1）1．
【解析】
先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可
【详解】
m1n﹣1mn+n=n（m1﹣1m+1）=n（m﹣1）1．
故答案为n（m﹣1）1．
15、3
【解析】
作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】
解：作BE⊥AC于E，

在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，
∴BE＝AB•sin∠BAC＝，
由题意得，∠C＝45°，
∴BC＝＝（千米），
故答案为3．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16、
【解析】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,结合等腰直角三角形的性质及图像可得出B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义即可求解.
【详解】
设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,
则B点坐标为（a+b,a-b）
∵点B在反比例函数y=在第一象限的图象上，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2=3
∴S△OAC﹣S△BAD=a2-b2=
【点睛】
此题主要考查等腰直角三角形的面积求法和反比例函数k值的定义，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质及反比例函数k值的性质.
17、﹣1＜a＜1
【解析】
解：∵k＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴a-1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＜y2，
∴a-1＜0，a+1＞0，
解得：-1＜a＜1．
故答案为：-1＜a＜1．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质．
18、4
【解析】
根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案．
【详解】
∵二次函数的对称轴为直线x=2， ∴点A的坐标为(4，0)，∵点C的坐标为(0，－2)，
∴点B的坐标为(4，－2)， ∴BC=4，则．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）①12，3. ②详见解析.（2）.
【解析】
分析：（1）①根据题意和表中的数据可以求得a的值；②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；
（2）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；
（3）根据题意可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
详解：（1）①a=50﹣（6+8+14+10）=12，
中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均落在第3组内，
所以中位数落在第3组，
故答案为12，3；
②如图，

（2）×100%=44%，
答：本次测试的优秀率是44%；
（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）.
所以小明和小强分在一起的概率为：．
点睛：本题考查列举法求概率、频数分布表、频数分布直方图、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，可以将所有的可能性都写出来，求出相应的概率．
20、（1）50；4；5；画图见解析；（2）144°；（3）64
【解析】
（1）根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据求出的人数补全条形统计图即可；
（2）求出课外阅读时间为5小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数；
（3）求出总人数与课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比的积即可．
【详解】
解：（1）∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，
∴=50（人）．
∵课外阅读4小时的人数是32%，
∴50×32%=16（人），
∴男生人数=16﹣8=8（人）；
∴课外阅读6小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人），
∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
∴中位数是4小时，众数是5小时．
补全图形如图所示．

故答案为50，4，5；
（2）∵课外阅读5小时的人数是20人，
∴×360°=144°．
故答案为144°；
（3）∵课外阅读6小时的人数是4人，
∴800×=64（人）．
答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有64人．
【点睛】
本题考查了统计图与中位数、众数的知识点，解题的关键是熟练的掌握中位数与众数的定义与根据题意作图.
21、①CD；②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③.
【解析】
①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证得，即，从而知．
【详解】
①∵，
∴OA：AB=OC：CD，
∵，，，，
∴线段就是所求的线段x，
故答案为：
②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；
故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；
③∵、，且，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及向量的计算．
22、（1）详见解析；（2）P=．
【解析】
试题分析：（1）树状图列举所有结果.(2)用在第二四象限的点数除以所有结果.
试题解析：
(1)画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，-1），（2，﹣3），（2， 4），（-1，2），（-1，﹣3），（1， 4），（﹣3，2），（﹣3，-1），（﹣3， 4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3）.
（2）（m，n）在二、四象限的（2，-1），（2，﹣3），（-1，2），（﹣3，2），（﹣3， 4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3），
∴所选出的m，n在第二、三四象限的概率为：P==
点睛：（1）利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）.
(2)定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P.
(3)列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.
(4)树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.
23、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接，，易证为等边三角形，可得，由等腰三角形的性质及角的和差关系可得∠1=30°，由于可得∠DCG=∠CDA=∠60°，即可求出∠OCG=90°，可得与相切；（2）作于点．设，则，．根据两组对边互相平行可证明四边形为平行四边形，由可证四边形为菱形，由（1）得，从而可求出、的值，从而可知的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】
（1）连接，．
∵是的直径，弦于点，
∴，．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴，∠DAE=∠EAC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠1=∠DCA-∠OCA=30°，
∵，
∴∠DCG=∠CDA=∠60°，
∴∠OCG=∠DCG+∠1=60°+30°=90°，
∴．
∴与相切．

（2）连接EF，作于点．
设，则，．
∵与相切，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为菱形．
∴，．
由（1）得，
∴，．
∴．
∵在中，，
∴．

【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质及锐角三角函数，考查学生综合运用知识的能力，熟练掌握相关性质是解题关键.
24、38+12
【解析】
根据∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，求出AC，根据Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=12，求出根据DE⊥AC，AE=CE，得AD=DC，在Rt△ADE中，由勾股定理求出 AD，从而得出DC的长，最后根据四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA即可得出答案．
【详解】
∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴EB=AE=CE=12，
∴AC=AE+CE=24，
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=12，
∵DE⊥AC，AE=CE，
∴AD=DC，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
∴DC=13，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=
【点睛】
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．
25、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．

考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
26、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接OC，根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE≌△CAD（AAS），得AE=AD；（2）连接CB，由（1）得AD=AE=3，根据勾股定理得：AC=5，由cos∠EAC=，cos∠CAB==，∠EAC=∠CAB，得=.
【详解】
（1）证明：连接OC，如图所示，
∵CD⊥AB，AE⊥CF，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵CF是圆O的切线，
∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，
∴AE∥OC，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠EAC=∠CAO，
在△CAE和△CAD中，
，
∴△CAE≌△CAD（AAS），
∴AE=AD；
（2）解：连接CB，如图所示，
∵△CAE≌△CAD，AE=3，
∴AD=AE=3，
∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，
根据勾股定理得：AC=5，
在Rt△AEC中，cos∠EAC==，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠CAB==，
∵∠EAC=∠CAB，
∴=，即AB=．

【点睛】
本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用. 解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形性质得到相应等式.
27、（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．
【解析】
（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】
（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：

（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，

男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．