第7章 锐角三角函数 苏科版数学九年级下册单元测试题(含答案)

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第7章 锐角三角函数单元测试卷

一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（　　）
A．3 B． C． D．
2．在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（　　）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小 C．不变 D．无法确定
4．下列等式中正确的是（　　）
A．sin20°+sin40°＝sin60° B．cos20°+cos40°＝cos60°
C．sin（90°﹣40°）＝cos40° D．cos（90°﹣30°）＝sin60°
5．已知A为锐角，且cosA≤，那么（　　）
A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°
6．tan30°的值等于（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）

A． B．1 C． D．
9．已知tanα＝，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα＝　 　．

12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　 　．
13．比较大小：sin80° 　 　tan50°（填“＞”或“＜”）．
14．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C的度数为 　 　°．
15．如图，三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值等于　 　．

16．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　 　．

17．已知sinα＝，则tanα＝　 　．
18．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为　 　．

19．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为　 　，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系　 　．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝6，CD＝3，则sin∠DBA＝　 　．

三．解答题（共7小题，满分60分）
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．

23．如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C＝，DF＝3，求⊙O的半径．

24．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

25．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

26．如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值．

27．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴∠A的正切值为＝＝3，
故选：A．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝，cosA＝，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA＝，cosA＝．
故选：C．
3．解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，
如果各边长都扩大5倍，
∴sinA＝＝，
故∠A的正弦值大小不变．
故选：C．
4．解：A、sin20°+sin40°≠sin60°，故错误；
B、cos20°+cos40°≠cos60°，故错误；
C、sin（90°﹣40°）＝sin50°＝cos40°，故正确；
D、cos（90°﹣30°）＝cos60°，故错误．
故选：C．
5．解：∵cos60°＝，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°．
故选：B．
6．解：tan30°＝．
故选：B．
7．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，
∴sin2A＝，
∴sinA＝或﹣（舍去），
∴sinA＝．
故选：C．
8．解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．

9．解：∵tan30°＝，tan45°＝1，正切函数随角增大而增大，
若tanα＝，
则30°＜α＜45°．
故选：B．
10．解：cosB＝＝．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|＝5，
则sina＝．
12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴假设BC＝12x，AB＝13x，
∴AC＝5x．
∴tanB＝＝．
故答案为：．

13．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，
∴tan50°＞1，
又sin80°＜1，
∴sin80°＜tan50°；
故答案为：＜．
14．解：∵|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，
∴|sinA﹣|＝0，（1﹣tanB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
∴sinA＝，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为：105．
15．解：如图，∠α的对边是3，邻边是4，
∴tanα＝．
16．解：过B作BE⊥OA于E，过O作OD⊥AB于D，设每一格的边长是1，则
OB＝＝2，
同理OA＝＝2，
AB＝＝2，
∴OA＝OB，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴OD＝＝3，
∵S△AOB＝AB•OD＝OA•BE
∴2×3＝2•BE，
∴BE＝，
在Rt△OBE中，OE＝＝，
∴cos∠AOB＝＝．
故答案是．

17．解：如图：设∠A＝α，
∵sinα＝，
∴＝，
设AB＝5x，BC＝3x，
则AC＝＝4x，
∴tanα＝＝．
故答案为：．

18．解：由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形，
设正方形网格的边长为1，则CD＝2，OD＝1，OC＝＝＝，
由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB＝＝＝．
故答案为：．

19．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，
又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，
即cosA＝，
∴余弦的定义为cosA＝；
∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，
∴cos20°＞cos40°＞cos50°，
∴sin70°＞cos40°＞cos50°，
故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
20．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝∠DBC．
在Rt△BDC中，BD＝6，CD＝3，
则sin∠DBA＝sin∠DBC＝．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝
23．（1）证明：
（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠MNB＝90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠BEC＝90°．
M是AD的中点，
∴ME＝AM，即有∠MEA＝∠A．
∵∠MEA＝∠BEN，∠C＝∠A，
∴∠C＝∠BEN．
又∵∠C+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°．
由于M是AD的中点，
∴ME＝MD，即有∠MED＝∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对，∴∠CBE＝∠EDA．
∵∠MED＝∠NEC，
∴∠NEC＝∠CBE．
∵∠C+∠CBE＝90°，
∴∠NEC+∠C＝90°，
即有∠CNE＝90°，即MN⊥BC．

（2）解：连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对，∴∠C＝∠A，
∴cosA＝cosC＝．
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．
在Rt△ABF中，cosA＝＝，
设AB＝4x，则AF＝5x，由勾股定理得：BF＝3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴，
即，
x＝．
∴直径AB＝4x＝4×，
则⊙O的半径为．


24．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
25．解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；

（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．


26．（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB，
∴∠POA＝∠POB，
又∵PO＝PO，OB＝OA，
∴△POB≌△POA．
∴∠PBO＝∠PAO＝90°．
∴PB是⊙O的切线．

（2）解：2PO＝3BC．（写PO＝BC亦可）
证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA．
∵BD＝2PA，∴BD＝2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．
∴，
∴2PO＝3BC．

（3）解：∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴，
即DC＝OD．
∴OC＝OD，
∴DC＝2OC．
设OA＝x，PA＝y．则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）2＝x2+（2y）2，即2x2＝y2．
∵x＞0，y＞0，
∴y＝x，OP＝＝x．
∴sin∠OPA＝＝＝＝．

27．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC． （4分）
∴．
∴DC＝BC． （5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC＝＝3． （6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴．
∴，． （8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝． （10分）