江西省上饶市鄱阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县九年级（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．一元二次方程的一次项系数是　　

A．2 B．6 C． D．

3．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法正确的是　　

A．是圆心角 B．是的弦 C．是圆周角 D．

4．在如图所示的方格纸格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到△，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　　

A． B． C． D．

5．如图，为线段的中点，点，，到点的距离相等．则与的数量关系为　　

A． B． C． D．

6．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若二次函数的图象开口向下，则的值为 　　．

8．在平面直角坐标系内，若点和点关于原点对称，则的值为　 　．

9．如图，点，，在上，，则的度数为 　　．

10．如图，在中，、，将绕点顺时针旋转得到、则的长为 　　．

11．已知，是一元二次方程的两根，则　　．

12．如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　　．

三、解答题（本大题共6小题，共30分）

13．（3分）解方程：．

14．（3分）如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．求的度数．

15．（6分）（1）解方程：；

（2）已知抛物线与轴相交于点，求抛物线的对称轴方程．

16．（6分）疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．

17．（6分）如图，在中，，，将向右平移得到，点的对应点为点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．

（1）如图1，请画出将线段绕点逆时针旋转后的对应线段．

（2）如图2，，为的中点，画出将线段绕点顺时针旋转后的对应线段．

18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求顶点的坐标．

（2）求的面积．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．

（1）求证：；

（2）若，，求四边形的面积．

20．（8分）关于的一元二次方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，求此方程的根．

21．（8分）如图，是半的直径，，是圆上两点，且，与交于点．

（1）求证：为的中点．

（2）若，，求的长度．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）已知抛物线是常数）．

（1）用含的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标．

（2）当二次函数图象的顶点在轴上时，求的值及此时顶点的坐标．

（3）小明研究发现：无论取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．

23．（9分）某大桥上正在行驶的甲车，发现正前方处沿同一方向行驶的乙车（此时后，开始减速，减速后甲车行驶的路程（单位：与速度（单位：之间的关系式为；甲车行驶的速度（单位：与时间（单位：的关系可以用一次函数表示（如图）．

（1）当甲车减速时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以一定的速度一直匀速行驶，经过多长时间两车之间的最近距离是？（提示：甲车减速后，当甲、乙两车速度相同时，车距最小）

六、解答题（本大题共12分）

24．（12分）综合与实践：

已知与均为等腰直角三角形，其中，连接，是的中点，连接，．

【初步感知】（1）如图1，当，，三点在同一直线上时，和的数量关系为 　　，位置关系为 　　．

【深入探究】（2）如图2，当，，三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．

【拓展提高】（3）如图3，若等腰直角绕点逆时针旋转，当恰好与平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．

2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

1．【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

2．【解答】解：一元二次方程的一次项系数是．

故选：．

3．【解答】解：、顶点在圆心的角叫圆心角，故是圆心角，故选项符合题意；

、弦是连接圆上任意两点的线段，故不是的弦，故选项不符合题意；

、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角，故不是圆周角，故不符合题意；

、根据三角形的三边关系可得，故不符合题意．

故选：．

4．【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且，

故选：．

5．【解答】解：由题意得到，作出圆，如图所示，

四边形为圆的内接四边形，

，

故选：．

6．【解答】解：由图象可得，该抛物线与轴有两个交点，则，则，故甲正确；

由图象可知，当时，或，故乙错误；

抛物线与轴相交于点、，

该抛物线的对称轴是直线，

，

，故丙错误；

由图象可得，当时，，

，即，故丁正确；

故选：．

7．【解答】解：二次函数的图象开口向下，

，

解得，

故答案为：．

8．【解答】解：点和点关于原点对称，

，，

则的值为：．

故答案为：．

9．【解答】解：，

．

故答案为：．

10．【解答】解：在中，、，

，，

，

将绕点顺时针旋转得到，

，，

，

，

故答案为：．

11．【解答】解：，是一元二次方程的两根，

，，

则，

故答案为：7．

12．【解答】解：，，

，

是的直径，

，

当为等腰三角形时，

①当时，，

②当时，，

③当时，，

故答案为：或或．

13．【解答】解：，

或，

解得：或．

14．【解答】解：把绕着点顺时针旋转，

，，

点与的延长线上的点重合，

，

．

15．【解答】解：（1），

，

，

解得，；

（2）抛物线与轴相交于点，

，

解得，

抛物线解析式为，

抛物线的对称轴方程是直线．

16．【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为，

根据题意得：，

解得：，（舍去），

答：该公众号关注人数的月平均增长率．

17．【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求；

（2）如图2中，线段即为所求．

18．【解答】解：（1），

顶点的坐标为，；

（2）令，即，

解得，，，

，，

，

令，则，

，

，

．

19．【解答】（1）证明：将绕点旋转一定角度得到，

，，

，

，

，

在与中，

，

；

（2）解：由（1）知，，

，

，，

，

四边形是菱形，

，

设，交于，

，

，

，

四边形的面积．

20．【解答】解：（1）根据题意得且△，

解得且；

（2）为正整数，

，

原方程变形为，解得，．

21．【解答】（1）证明：是半的直径，是圆上一点，

，即，

，

，

，

即为的中点；

（2）解：设半径为，则，，

，，

是的中位线，

，

在中，由勾股定理得，

，

即，

解得，

．

22．【解答】解：（1），

该二次函数图象的顶点坐标为；

（2）当二次函数图象顶点在轴上时，，

解得：，

此时顶点的坐标为；

（3）直线的函数表达式为，证明如下：

将，代入满足，

取不同值时，点都在一次函数的图象上

即顶点所在的直线的函数表达式为．

23．【解答】解：（1）设一次函数表达式为，

一次函数经过，，

则，

解得，

一次函数表达式为，

当时，速度为12，

当时，，

当甲车减速时，它行驶的路程是56；

（2）当时，两车之间的距离逐渐变小，当时，两车之间的距离逐渐变大，

当两车速度相等时，两车之间距离最小．

根据题意，得：，

，

化简，得：．

，（舍．

答：经过两车相距的最近距离是．

六、解答题（本大题共12分）

24．【解答】解：（1）和的数量关系为：，位置关系为：，理由如下：

，是的中点，

，

，

，，，三点在同一直线上，

，

是的中点，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

，，

，

，

故答案为：，；

（2）（1）中得到的结论成立，理由如下：

延长交于，如图2所示：

，

，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

与均为等腰直角三角形，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，；

（3）（1）中得到的结论还成立，理由如下：

过点作，交延长线于，连接、，如图3所示：

则，

，，

，，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

与均为等腰直角三角形，

，，，

，，

，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

即，

是等腰直角三角形，

，

，．

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