浙江省宁波市海曙区雅戈尔中学等四校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 （含答案）

2022-2023学年浙江省宁波市海曙区雅戈尔中学等四校八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

3. 如图，，要说明≌，添加的条件不能是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B. ，
C. ，， D. ，，

5. 设，则下面不等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列命题都是真命题，其中逆命题也正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

7. 若不等式的解集为，则关于的方程的解为．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点使，则符合要求的作图痕迹是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 关于的一元一次不等式的解集为，则的值为______．
12. 已知两边长为和，则其斜边上的中线为______．
13. 在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为，求______．
14. 如果等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是，则这个等腰三角形的底边长为______．
15. 若关于的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围是______．
16. 课本第页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______现将向上翻折，如图，已知，，，则的面积是______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
    
    解不等式组，并写出它的最大整数解．
18. 本小题分
    尺规作图：已知．
    画的中线；
    画的角平分线不用写作法，保留作图痕迹

19. 本小题分
    如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点，，分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长．

20. 本小题分
    如图，在中，是边上的高．
    若是边上的中线，，，求的长；
    若是的平分线，，，求的大小．

21. 本小题分
    如图，在中，，，，与相交于点求证：．

22. 本小题分
    如图，中，，于点，，．
    求，的长；
    若点是射线上的一个动点，作于点，连结当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．

23. 本小题分
    某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调比台型空调的费用多元．
    求型空调和型空调每台各需多少元；
    若学校计划采购、两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
    在的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
24. 本小题分
    概念学习
    规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
    从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
    理解概念
    如图，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”概念应用
    如图，在中，为角平分线，，．
    求证：为的等角分割线．
    在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得，即．
因此，本题的第三边应满足，符合题意的有：．
故选：．
已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围．
此题考查了三角形的三边关系，是求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
选项A，可以根据证明≌，
选项B，可以根据证明≌，
选项C，可以根据证明≌，
选项D，不能判定三角形全等，
故选：．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于是解此题的关键．
根据直角三角形得出，再根据：：：：，求出最大角即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项D．
【解答】
解：：：：：，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：当，时，符合，但是此时，故本选项不符合题意；
B.，
，
，故本选项不符合题意；
C.，
，
，故本选项符合题意；
D.，
，
，本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，则的逆命题是若，则，逆命题不正确，不符合题意；
若，则的逆命题是若，则，逆命题不正确，不符合题意；
若，则的逆命题是若，则，逆命题不正确，不符合题意；
若，则的逆命题是若，则，逆命题正确，符合题意；
故选：．
应用不等式性质和赋值法逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握不等式的性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据不等式的解集为即可确定的值，然后代入方程，解方程求得．
本题考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定的值是关键．
【解答】
解：，移项，得：，
解集为，
则，
则即，
解得：．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】
解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，，
，即，
解得，
即，
故选：．
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再证明≌得，最后利用勾股定理列出方程进行解答．
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及勾股定理的应用等知识，关键是推出和由勾股定理列出方程，体现了方程思想．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
正确；
连接，如图，

，
，
，
．
，
是的垂直平分线，
，
，
为斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接，如图，

，
，
，
．
在和中
，
≌，
，
，
正确；
由知：，
，
，
正确；
由知：≌，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有：，
故选：．
求出，，，证≌，即可判断；连接，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断；通过证明≌可判定；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定；利用的结论和等腰直角三角形的性质可判定．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的一元一次不等式，即的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
利用不等式的基本性质判断即可求出的值．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：分为两种情况：当，时，
由勾股定理得：，
是斜边上的中线，
；
当，时，
是斜边上的中线，
；
即或，
故答案为：或．
分为两种情况当，时，由勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线得出，求出即可；
当，时，根据直角三角形斜边上中线得出，求出即可．
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，要进行分类讨论．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据的周长为，可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图所示，等腰中，，点为的中点，设，
点为的中点，
，，
当的周长大于的周长时，
，即，解得；
，
当的周长大于的周长时，
则，即，解得．
，
综上所述，这个等腰三角形的底边长或．
故答案为：或．
根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，则底边长为，再根据两个三角形的周长差是求出的值即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
 

15.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式组有且仅有个整数解，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
，
、、是等边三角形，
，，，，
即；
设的面积为，图中个白色图形的面积分别为、，如图所示：
，
，
，
；
故答案为：；．
由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图中个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的最大整数解为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，线段即为所求；

如图，线段即为所求． 

【解析】连接点与的中点即可得；
作的角平分线交于点即可．
此题主要考查了作图复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图方法与线段垂直平分线的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故该凹槽的宽度的长为． 

【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证得，．
 

20.【答案】解：，，
，
是边上的中线，
；
，，
，
是的平分线，
，
是的一个外交，
，
在直角三角形中． 

【解析】三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出的长度．
根据三角形内角和定理求出，再由角平分线性质求出的度数，三角形外角与内角的关系可求出的度数，在直角三角形中进而求出的大小．
本题考查了三角形面积、三角形内角和、外角和内角的关系，三角形中线、三角形角平分线、高，关键要掌握这些要素之间的关系进行相关的计算．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】利用证明≌即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
；
分两种情况：
当时，过作于，如图所示：
，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图所示：
在和中，
，
≌，
，
；
综上所述，的长为或． 

【解析】根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；
分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、分类讨论等知识；正确作出辅助线是等腰三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：设型空调每台需元，型空调每台需元．
由题意可列：，
解得 ．
答：型空调每台需元，型空调每台需元．
设采购型空调台，则采购型空调．
由题意可列：，
解得：．
为正整数，
，，．
有三种采购方案：
方案一：采购台型空调，台型空调；
方案二：采购台型空调，台型空调；
方案三：采购台型空调，台型空调；
设总费用为元，
，
当时，，
当时，，
当时，，
费用最低的方案是采购台型空调，台型空调；最低费用是元． 

【解析】根据“采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调比台型空调的费用多元”可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
根据题意和中的结果，可以解答本题．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
 

24.【答案】解：与，与，与是“等角三角形”；
在中，，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，
，
为的等角分割线；
当是等腰三角形，时，，
，
当是等腰三角形，时，，
，
，
当是等腰三角形，时，，
，
当是等腰三角形，时，，
设，
则，
则，
由题意得，，
解得，，
，
，
的度数为或或或． 

【解析】根据“等角三角形”的定义解答；
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明；
分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
本题“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．