【备战2023高考】数学考点全复习——第64讲《章末检测九》精选题（新高考专用）

第64讲  章末检测九

一、单选题

1、(2022·江苏如皋期初考试)直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－，令x＝0，解得y＝－，故答案选C.

2、（2021·湖北高三期末）抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得，所以抛物线为开口向上的抛物线，且，

所以焦点坐标为，

故选：C

3、(2022·南京9月学情)“m＝1”是“直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切”的

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充分必要条件                D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意可知，圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为r＝1，当直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切时，圆心(1，0)到直线4x＋3y＋m＝0的距离d＝＝r＝1，化简得|4＋m|＝5，解得m＝1或m＝－9，故“m＝1”是“直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切”的充分不必要条件，故答案选A．

4、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为(      )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可设双曲线的方程为 (y＋x)(y－x)＝λ，即y2－2x2＝λ，把点P(2，－)代入双曲线方程得(－)2－2×(2)2＝λ，解得λ＝－14，所以双曲线的方程为y2－2x2＝－14，即双曲线C的方程为，故答案选B.

5、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为，，则||＝

A．              B．              C．2              D．4

【答案】B

【解析】由题意可得，菱形两组对边间的距离相等，则＝，

解得||＝，故答案选B．

6、(2022·江苏如皋期初考试)椭圆与关系为（    ）

A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率

C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

【答案】D

【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正确，其他选项错误；所以答案选D.

7、(2022·江苏如皋期初考试)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会

开幕式. 在手工课上，老师带领同学们

一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其

俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平

程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，

短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即2b＝10cm，由，可得：a＝10cm，所以长轴为20cm.故答案选B.

8、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)已知双曲线的中心为O，圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点．若，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】如图，由已知，得．由圆，

得为双曲线C右顶点．过点M作，垂足为N，

则点到渐近线的距离．因为圆M的半径为b，

所以．由，可得．

又因为．所以，整理得，

所以，即．故双曲线的离心率为．

故选：C

二、多选题

9、(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)下列说法正确的是(   )

A．方程能表示平面内的任意直线；

B．直线的倾斜角为；                 

C．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；

D． “直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件 

【答案】AD

【解析】由题意，对于选项A，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为＝，为直线的两点式方程；当直线平行于x轴，则原方程可化为y＝y1；当直线平行于y轴，则原方程可化为x＝x1；综上所述，可表示平面内任意直线，故选项A正确；对于选项B，直线l的斜率k＝，则其倾斜角为－α，故选项B错误；对于选项C，方程表示双曲线，则(9－k)(k－4)＜0，解得k＞9或k＜4，则k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选项C错误；对于选项D，当一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，可以满足两直线垂直，则选项D正确；综上，答案选AD.

10、(2022·江苏如皋期初考试)已知直线：与：相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是(   )

A． B．1 C．2 D．4

【答案】AC

【解析】由题意，圆的圆心为，半径为，由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，设圆心到直线的距离为，则，则，整理可得，解得，且.所以.故答案选AC.

11、(2022·青岛期初考试)已知椭圆C1：过双曲线C2：(a，b＞0)的焦点，C1的焦点恰为C2的顶点，C1与C2的交点按逆时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则

A．C2的离心率为

B．C1的右焦点到C2的一条渐近线的距离为

C．点A到C2的两顶点的距离之和等于4

D．四边形ABCD的面积为

【答案】ACD

【解析】由题意可知，对于选项A，对于椭圆C2，a＝，c＝2，则b＝1，所以C2的离心率为＝，故选项A正确；对于选项B，C1的右焦点(2，0)，C2的一条渐近线设为y＝x＝x，即为x－y＝0，则点(2，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，故选项B错误；对于选项C，由点A在C1上，则点A到C2两顶点的距离之和等于点A到C1两焦点的距离之和，即为2×2＝4，故选项C正确；对于选项D，由与－y2＝1联立可得x2＝，y2＝，所以四边形ABCD的面积为|2x2y|＝，故选项D正确；综上，答案选ACD．

12、(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是(   )

A．若的周长为，则椭圆的方程为

B．若的面积最大时，，则

C．若椭圆上存在点使，则

D．以为直径的圆与以为直径的圆内切

【答案】ABD

【解析】对于A选项，的周长为，则，，即椭圆的方程为，所以A正确；对于B选项，当的面积最大时，点在短轴顶点处，又，所以在中，，所以B正确；对于C选项，设点，，，，因为点在椭圆上，则，可得，所以，，得，由于，可得，所以，，即，可得.因此，椭圆的离心率的取值范围是，C选项错误；对于D选项，设的中点为，设圆与圆的半径分别为、，则，则两圆的连心线的距离为，所以两圆内切，D正确.故答案选ABD.

三、填空题

13、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则___________.

【答案】1

【解析】：∵双曲线的焦点在x轴上，∴，即.

∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴，即，解得（负值舍去）.故答案为：1.

14、(2022·苏州期初考试)已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的标准方程为   ▲    ．

【答案】

【解析】由题意可得，抛物线y2＝24x的准线为x＝－6，且双曲线的一个焦点为(－6，0)，则c＝6，又，所以62＝a2＋b2＝4a2，解得a2＝9，b2＝27，则所求双曲线的方程为，故答案为：．

15、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是            .

【答案】(1，2]∪[3，6)

【解析】由题意可设双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，则有|，所以|PF1|＝＝，解得|PF1|＝；又因此则解得1＜e≤2或3≤e＜6，即双曲线离心率的取值范围为(1，2]∪[3，6)．

16、(2022·江苏连云港期中)已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，则△ABC外接圆的标准方程为    ▲   ．

【答案】(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

【解析】由题意可得，抛物线与坐标轴的交点为A(0，－3)，B(1，0)，C(3，0)，可设外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入A，B，C三点坐标，解得D＝2，E＝2，F＝－3，则圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝5．

四、解答题

17、（2021·杭州市西湖高级中学高二期末）已知直线与圆.

（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求该定点；

（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.

【解析】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，

对上式中,当时，不论取何值，等式恒成立，

所以直线恒过点

（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径

由（Ⅰ）知，直线恒过点，当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线，即

，，，

所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为

18、(2022·江苏如皋期初考试)如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．

（1）求圆和圆的方程；（6分）

（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）

【解析】

（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径，

则在的平分线上，同理，也在的平分线上，

即三点共线，且为的平分线，

∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1，

则的方程为，

设的半径为，其与轴的切点为，连接、，

由可知，，即．

则，则圆的方程为；

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，

此弦的方程是，即：，

圆心到该直线的距离，则弦长=

19、(2022·苏州期初考试)(本小题满分12分)椭圆C：(a＞b＞0)的上顶点A，右焦点F，其上一点，以AP为直径的圆经过F．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1．

【解析】

(1)F(c，0)，A(0，b)，由题设可知·＝0，得

＝0    ①                          …………2分

又点P在椭圆C上．∴＋，∴a2＝2，

即    ②

①②联立解得，c＝1，b2＝1，

故所求椭圆的方程＝1．                  …………4分

(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，消去y，

整理得(    (*)

方程(*)有且只有一个实根，又2k2＋1＞0，

所以＝0，得，                   …………6分

假设存在满足题设，则由

1对任意的实数k恒成立，…………8分

所以，解得，               …………10分

当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意．            …………11分

综上，存在两个定点，使它们到直线l的距离之积等于1．……12分

20、（2021·全国高三专题练习（理））如图，，，，为抛物线上四个不同的点，直线与直线相交于点，直线过点.

（1）记，的纵坐标分别为，，求的值；

（2）记直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【解析】：（1）设直线的方程为，代入得，则.

（2）由（1）同理得

设直线的方程为，代入得，则

又，同理

则

∴存在实数，使得成立.

21、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【解析】（1）由题意得解得故椭圆的方程为．

（2）设，，直线的方程为，由

得．

∴，，

由，，三点共线可知，，所以；

同理可得

所以．

因为，

所以

22、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.

求曲线的方程：

设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.

【解析】：，且动点的纵坐标非负，

动点到点的距离与到直线的距离相等，

动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，

曲线的方程为.

由点在上，则，，

由抛物线的方程，可设，， 

显然直线的斜率存在，且斜率为，

直线的方程为， 

，即， 

同理可得，，

，

，即，①

显然直线的斜率存在，且斜率为，

直线的方程为，② 

将①式代入②式，整理得，③

则无论为何值，恒为方程③的解，

点恒直线上，即动直线恒过定点.