【暑假班】苏教版数学五升六衔接精编讲义 专题03《因数和倍数》（解析版）

苏教版数学五升六衔接讲义（复习进阶）

专题03 因数和倍数

知识点一：因数和倍数

1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.

2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）

3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）

4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

知识点二：质数和合数

1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类

①只有自己本身一个因数的 1

②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。

③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。

按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.

2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。

4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。

5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法  ）

①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5

②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1

③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。

知识点三：质因数和分解质因数

1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。

知识点四：2 、5、3的倍数的特征

2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。

5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。

3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。

知识点五：和与积的奇偶性

偶数+偶数=偶数             奇数+奇数=偶数           偶数+奇数=奇数  

偶数×偶数=偶数            偶数×奇数=偶数          奇数×奇数=奇数

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022•茂名模拟）在19□2的□里填上一个适当的数字，使这个四位数能被3整除，有（　　）种填法。

A．1 B．2 C．4 D．无数

【思路引导】根据3的倍数特征：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，解答此题即可。

【完整解答】解：19□2能被3整除，所以1+9+□+2＝12+□能被3整除；

□可以为0、3、6、9；

因此填入“□”中的数字最多有4种可能。

故选：C。

【考察注意点】此题考查了对3的倍数特征的灵活应用。

2．（2分）（2022春•扬州期末）A和B都是非零自然数，A÷B＝1……1，A和B的最大公因数是（　　）

A．1 B．无法确定 C．B D．A

【思路引导】因为A÷B＝1……1，得出A和B是相邻的两个非0自然数，即这两个数是互质数，根据互为互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，解答即可。

【完整解答】解：A和B都是非零自然数，A÷B＝1……1，那么A和B互为互质数，所以它们的最大公因数是1。

故选：A。

【考察注意点】解答此题的关键是根据题意分析出A、B互为互质数。

3．（2分）（2022春•红寺堡区期中）当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是（　　）

A．1 B．较小数 

C．较大数 D．大数与小数的积

【思路引导】当两个数的最大公因数是1时，这两个数是互质数或一个数是1，另一个数是大于1的自然数，这两种情况下，它们的最小公倍数都是大数与小数的积。

【完整解答】解：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是大数与小数的积。

故选：D。

【考察注意点】明确两个数互质，则最大公因数是1，以及一个数是1，另一个数是大于1的自然数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积是解题的关键。

4．（2分）（2022春•济南期中）既是2的倍数又是5的倍数的最大三位数是（　　）

A．999 B．998 C．995 D．990

【思路引导】同时是2、5倍数的数的特征：个位上是0的整数。

【完整解答】解：既是2的倍数又是5的倍数，则这个数个位一定是0，而十位、百位最大都是9，所以这个三位数最大是990。

故选：D。

【考察注意点】此题需要学生熟练掌握2、5的倍数的特征并能灵活运用。

5．（2分）（2022春•偃师市期中）m÷n＝3（m、n为非零自然数）m和n的最小公倍数是（　　）

A．m B．n C．3 D．mn

【思路引导】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数，如果两个数成倍数关系，较小的数就是它们的最大公因数，较大数就是他们的最小公倍数。

【完整解答】解：如果m÷n＝3（m、n为非零自然数），说明m是n的倍数；当两个数成倍数关系时，这两个数的最小公倍数就是其中较大的数m。

故选：A。

【考察注意点】此题考查的目的是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。

二．填空题（共8小题，满分19分）

6．（4分）（2022春•鹿邑县期中）在括号里填合适的质数。

【思路引导】一个数除了1和它本身，没有其他的因数，这样的数就是质数。据此解答。

【完整解答】解：

故答案为：7，31（答案不唯一）；3，5，11；2，13；2，3，7。

【考察注意点】本题考查了质数的意义，能准确判定一个数是不是质数是关键。

7．（3分）（2022春•济南期中）在3、5、7、8、12、16、32这7个数中，40是 　5　和 　8　的倍数；32和16的最大公因数是 　16　。

【思路引导】根据互质的两个数的最小公倍数是两个数的乘积，倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，据此解答即可。

【完整解答】解：5×8＝40

32÷16＝2

答：40是5和8的倍数；32和16的最大公因数是16。

故答案为：5；8；16。

【考察注意点】本题考查因数与倍数的关系，理解互质的两个数的最小公倍数是两个数的乘积，倍数关系的两个数的最大公因数是较小数。

8．（2分）（2022春•济南期中）有两根分别长12分米和8分米的绳子，打算把它们剪成相同长度的小段（长度为整数，且无剩余），剪成的绳子一段最长 　4　分米，一共能剪成 　5　段。

【思路引导】把它们剪成相同长度的小段（长度为整数，且无剩余），剪成的绳子一段最长是多少分米，就是求12和8的最大公因数，先把12和8分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；然后用12和8分别除以它们的最大公因数，再把商相加就是一共能剪成的段数。

【完整解答】解：12＝2×2×3

8＝2×2×2

所以12和8的最大公因数是2×2＝4

所以剪成的绳子一段最长4分米；

12÷4+8÷4

＝3+2

＝5（段）

答：剪成的绳子一段最长4分米，一共能剪成5段。

故答案为：4，5。

【考察注意点】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。

9．（2分）（2022春•巧家县期中）有一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸，如果要裁成若干同样大小的正方形而无剩余，裁成的小正方形的边长最大是 　4　厘米。

【思路引导】根据题意可知，求剪出的小正方形的边长最大是几厘米，也就是求12和8的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，由此解答。

【完整解答】解：12＝2×2×3

8＝2×2×2

12和8的最大公因数是：2×2＝4，所以裁成的小正方形的边长最大是4厘米。

故答案为：4。

【考察注意点】此题需要学生熟练掌握求几个数最大公因数的方法并能灵活运用。

10．（2分）（2022春•红寺堡区期中）26和13的最大公因数是 　13　，最小公倍数是 　26　。

【思路引导】13和26是倍数关系，所以这两个数的最大公因数就是较小的数13，最小公倍数是较大的那个数，即26。

【完整解答】解：因为26÷13＝2，即26是13的倍数，所以13和26的最大公因数是13，13和26的最小公倍数是26。

故答案为：13；26。

【考察注意点】本题主要考查求最大公约数和最小公倍数的方法，学生需要熟练掌握。

11．（2分）（2022春•东方期中）24的因数有 　1、2、3、4、6、8、12、24　，把它分解质因数 　24＝2×2×2×3　。

【思路引导】根据求一个数的因数的方法求出24的因数；把24写成质数相乘的形式，即分解质因数。

【完整解答】解：24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；

24＝2×2×2×3。

故答案为：1、2、3、4、6、8、12、24；24＝2×2×2×3。

【考察注意点】此题需要学生熟练掌握求一个数因数的方法以及分解质因数的方法。

12．（2分）雷锋叔叔出生的年份第一个数既不是质数又不是合数，第二个数是最小的既是奇数又是合数，第三个数是最小的合数，第四个数是最小的偶数．他是　1940　出生的．

【思路引导】非0自然数中只有1既不是质数也不是合数，9是最小的既是奇数又是合数，最小的合数是4，最小的偶数0，由此即可得知雷锋叔叔是哪年出生的．

【完整解答】解：既不是质数也不是合数的数是1，

9是最小的既是奇数又是合数，

最小的合数是4，

最小的偶数0，

因此雷锋叔叔是1940年出生的．

答：他是1940年出生的．

故答案为：1940．

【考察注意点】此题应用的知识有质数与合数的意义、奇数与合数的意义等．

13．（2分）五年级一班学生分组做游戏，每组3人或5人都正好分完，已知这个班的学生不到50人，这个班有　45　人．

【思路引导】即求50以内的3和5的公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，进行解答即可．

【完整解答】解：3和5的最小公倍数是3×5＝15

所以15×3＝45

答：这个班有45人．

故答案为：45．

【考察注意点】本题考查了公倍数应用题，解答此题的关键是先求出3、5的最小公倍数，进而结合题意，解答得出结论．

三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）

14．（2分）（2022春•马尾区期中）因为3÷1.5＝2，所以3是1.5的倍数，1.5是3的因数。 　×　（判断对错）

【思路引导】根据因数与的倍数的意义，在整数除法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。据此解答即可。

【完整解答】解：因为3÷1.5＝2，是小数除法，不是整除，所以不能说谁是谁的因数或者倍数。原题说法不成立。

故答案为：×。

【考察注意点】本题考查因数与倍数的意义，理解因数与倍数的前提是在整数除法中。

15．（2分）（2022春•海陵区校级期中）一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。 　√　（判断对错）

【思路引导】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。

【完整解答】解：由分析知：这个数是30，它的最大因数是30。所以本题说法正确。

故答案为：√。

【考察注意点】解答此题根据因数和倍数的意义，进行认真分析，进而得出结论。

16．（2分）（2022春•阳原县期中）217至少加上3是5的倍数。 　√　（判断对错）

【思路引导】根据5的倍数末尾的数是0或者5，据此解答即可。

【完整解答】解：离217最近的整十数是220

220﹣217＝3

217至少加上3是5的倍数。原题说法正确。

故答案为：√。

【考察注意点】本题考查5的倍数的特征。

17．（2分）（2022春•金乡县期中）个位上是3的倍数的数，它本身肯定是3的倍数。 　×　（判断对错）

【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，也可以举出一个反例，比如13个位上是3的倍数，但13这个数不是3的倍数。

【完整解答】解：个位上是3的倍数的数，它本身肯定是3的倍数，说法错误。

故答案为：×。

【考察注意点】学生需要熟记3的倍数特征并能灵活的运用。

18．（2分）（2022•昭通模拟）108÷9＝12，所以108一定是3的倍数。 　√　（判断对错）

【思路引导】因为108÷9＝12，所以108是9的倍数，而9是3的倍数，所以108一定是3的倍数。

【完整解答】解：108÷9＝12，所以108一定是3的倍数；说法正确。

故答案为：√。

【考察注意点】熟记一个数是9的倍数一定也是3的倍数。

19．（2分）因为24和72都是8的倍数，所以24与72的和也是8的倍数。 　√。　（判断对错）

【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；即因数和倍数是相对而说的，不能单独存在。

【完整解答】解：根据因数和倍数的意义可知：24÷8＝3，所以8是24的因数，72÷8＝9，72是8的倍数，24+72＝96，96÷8＝12，所以24与72的和也是8的倍数，原题说法正确。

故答案为：√。

【考察注意点】此题考查了因数和倍数的意义。

四．计算题（共3小题，满分15分）

20．（4分）（2022春•红寺堡区期中）写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

【思路引导】第一个和第四个，根据求两个数的最大公因数的方法和求两个数的最小公倍数的方法，先把两个数分别分解质因数，两个数公有的质因数的乘积是它们的最大公因数，两个数公有的质因数和非公有的质因数的乘积是它们的最小公倍数，据此解答即可；

第二个15是5 的倍数，两个数成倍数关系，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此解答即可；

第三个7和9为互质数，互为互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答即可。

【完整解答】解：8＝2×2×2，12＝2×2×3，2×2＝4，2×2×2×3＝24，所以8和12的最大公因数是4，最小公倍数是24；

15÷5＝3，15和5成倍数关系，所以5和15的最大公因数是5，最小公倍数是15；

7和9为互质数，7×9＝63，所以7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；

14＝2×7，35＝5×7，2×5×7＝70，所以14和35的最大公因数是7，最小公倍数是70。

故答案为：4、24，5、15，1、63，7、70。

【考察注意点】此题考查了对求两个数的最大公因数的方法和求两个数的最小公倍数的方法的灵活运用，还考查了当两个数成倍数关系时和互为互质数时，求两个数的最大公因数的方法和求两个数的最小公倍数的方法。

21．（7分）（2021春•石河子期中）在横线上填上一个不同的数，使填成的多位数都是3的倍数。

【思路引导】根据一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，首先把已知的各个数位上的数字相加，然后再找出符合条件的数即可。

【完整解答】解：5__1中，5+1＝6，十位上可以是0、3、6、9。

13__3中，1+3+3＝7，十位上可以是2、5、8。

故答案为：（1）0、3、6、9；（2）2、5、8。

【考察注意点】此题考查了学生能被3整除的数的特征：能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数，把各个数位上的数字相加即可。

22．（4分）求下列各组数的最小公倍数

（1）10、15和45

（2）12、14和42．

【思路引导】根据求三个数的最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．

【完整解答】解：（1）10＝2×5

15＝3×5

25＝5×5

最小公倍数是2×3×5×5＝150．

（2）12＝2×2×3

14＝2×7

42＝2×3×7

最小公倍数是2×2×3×7＝84．

【考察注意点】考查了求几个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．

五．应用题（共5小题，满分30分，每小题6分）

23．（6分）（2022春•忻州月考）王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数为奇数还是偶数？如果篮球的个数为奇数呢？

【思路引导】奇数和偶数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。

【完整解答】解：因为40是偶数，篮球的个数为偶数，偶数﹣偶数＝偶数，所以排球的个数为偶数；若篮球的数量为奇数，偶数﹣奇数＝奇数，因此此时排球的数量为奇数。

答：王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数是偶数，如果篮球的个数为奇数，那么排球的数量为奇数。

【考察注意点】此题考查了奇数和偶数的性质。

24．（6分）（2022春•德江县期中）新星小学五（2）班有学生30名，现在派他们到两个社区参加劳动，第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数还是偶数？为什么？

【思路引导】根据题意，总人数30是偶数，根据奇数和偶数的性质，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，第一个社区只能派奇数名同学，那么第二个社区必须是奇数，因为奇数加奇数才是偶数，据此解答。

【完整解答】解：若第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数。因为奇数+奇数＝偶数。

答：第二个社区派的人数是奇数，因为奇数+奇数＝偶数。

【考察注意点】考查了奇偶数意义的应用，本题关键是根据奇数+奇数＝偶数，偶数+偶数＝偶数来判断。

25．（6分）（2021春•云霄县期末）春蕾小学五年级70多名学生参加社区活动。这些学生可以分成8人一组。也可以分成12人一组，都正好分完。春蕾小学有多少名学生参加这次活动？

【思路引导】这些学生可以分成8人一组。也可以分成12人一组，都正好分完，说明参加这次活动的学生数是8和12的公倍数，先求出8和12的最小公倍数，再求出在70～80的公倍数即可。

【完整解答】解：8＝2×2×2

12＝2×2×3

所以8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24

24×3＝72（名）

答：春蕾小学有72名学生参加这次活动。

【考察注意点】解决此题要先求出8和12的最小公倍数，再求出在70～80的公倍数即可解答。

26．（6分）（2021春•沭阳县校级期中）用若干张长18厘米，宽12厘米的长方形纸拼成一个大正方形，至少需要多少张这样的长方形纸？

【思路引导】把18和12进行分解质因数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；求出18和12的最小公倍数，就是正方形的边长最小值，再根据求出的正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可。

【完整解答】解：12＝2×2×3

18＝2×3×3

18和12的最小公倍数是：2×3×2×3＝36

（36÷18）×（36÷12）

＝2×3

＝6（张）

答：至少需要6张这样的长方形纸。

【考察注意点】此题考查的是求两个数的最小公倍数的方法：先把要求的两个数分别分解质因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。

27．（6分）（2022春•淅川县期中）寒假期间，龙龙、北北，鸣鸣到电影院去看电影，根据三人的对话，你能判断他们的座位号是多少吗？

【思路引导】相邻两个偶数相差2，把最小的座位号设为未知数，表示出其它两个座位号，再根据三个偶数的和为90列方程解答。

【完整解答】解：设最小的座位号为x，中间的座位号为（x+2），最大的座位号为（x+4）。

x+（x+2）+（x+4）＝90

                      3x+6＝90

                          3x＝90﹣6

                          3x＝84

                            x＝84+3

                            x＝28

28+2＝30

28+4＝32

30÷5＝6，则30是5的倍数。

答：根据三人的对话，我能判断他们的座位号分别是28、30、32。

【考察注意点】根据相邻偶数的差表示出其它两个偶数是解答题目的关键。

六．解答题（共2小题，满分14分）

28．（8分）（2022春•鹿邑县期中）把下面各数分解质因数。

21、56、75、68

【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。

【完整解答】解：21＝3×7

56＝2×2×2×7

75＝3×5×5

68＝2×2×17

【考察注意点】熟练掌握合数分解质因数的方法是解题的关键。

29．（6分）（2022春•禹城市期中）一种瓷砖长5dm、宽3dm，如果用这种瓷砖铺成一个正方形的地面（用的瓷砖必须都是整块）。

①要用整块的长5dm、宽3dm的长方形瓷砖铺出一个正方形，正方形的边长必须既是5的 　倍数　，也是3的 　倍数　，只要找出5和3的 　公倍数　就能求出正方形的边长。

②正方形的边长最小是多少？

【思路引导】铺的正方形的边长只要是瓷砖长，宽的公倍数都可以，最小就是瓷砖长、宽的最小公倍数。

【完整解答】解：①要用整块的长5dm、宽3dm的长方形瓷砖铺出一个正方形，正方形的边长必须既是5的倍数，也是3的倍数，只要找出5和3的公倍数就能求出正方形的边长。

②因为5和3是互质的，所以5和3的最小公倍数是：5×3＝15（dm）

答：正方形的边长最小是15dm。

故答案为：①倍数；倍数；公倍数；②15dm。

【考察注意点】本题需要学生熟练掌握公倍数和最小公倍数；还要熟记两数互质，最小公倍数是两数的积