高考数学一轮复习考点规范练49排列与组合含解析新人教版

考点规范练49　排列与组合

一、基础巩固

1某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(　　)

A.16 B.18 C.24 D.32

答案:C

解析:将4个车位捆绑在一起,看成一个整体,与3辆不同型号的车排列,故不同的停放方法有=24(种).

2.现要将互不相同的5盆菊花摆成一排,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,则不同的摆放方法有(　　)

A.120种 B.2种 C.24种 D.16种

答案:D

解析:因为红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,所以红色菊花的两边各摆放一盆白色菊花,一盆黄色菊花,所以共有=16(种)摆放方法.

3.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)

A.24 B.48 C.60 D.72

答案:D

解析:由题意可知个位上的数只能是1,3,5中的一个,有3种排法,将剩下的4个数全排列,有种排法,故满足条件的五位数有3=72(个).故选D.

4.某医院选出5名医生和4名护士支援某市的A,B,C三所医院,其中A,B医院都至少需要1名医生和1名护士,C医院至少需要2名医生和2名护士,则不同的安排方法共有(　　)

A.2 160种 B.1 920种 

C.960种 D.600种

答案:C

解析:在4名护士中任选2人安排到C医院,有=6(种)安排方法,

将剩下的2名护士分别安排到A,B医院,有=2(种)安排方法,则护士的安排方法有6×2=12(种).

将5名医生安排到三所医院,

当C医院安排3人时,有=20(种)安排方法,

当C医院安排2人时,有=60(种)安排方法,则医生的安排方法有20+60=80(种).

故不同的安排方法有12×80=960(种).

5.在8张奖券中,有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4人,每人2张,不同的获奖情况有　　　　　种.(用数字作答) 

答案:60

解析:依题意,分两类:第一类,3张中奖奖券分给3人,有种分法;第二类,3张中奖奖券分给2人,先把3张中奖奖券分成两组,再分给4人中的2人,有种分法.故不同的获奖情况有=60(种).

6.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,则甲、乙在同一路口的分配方案共有　　　　　种.(用数字作答) 

答案:36

解析:不同的分配方案可分为以下两种情况:

①甲、乙两人在一个路口,其余三人分配在另外的两个路口,其不同的分配方案有=18(种);

②甲、乙所在路口分配三人,另外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有=18(种).

由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18+18=36(种).

7.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有　　　　　种.(用数字作答) 

答案:66

解析:共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,

故不同的取法共有=66(种).

8.现要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,则不同的发言顺序共有　　　　　种.(用数字作答) 

答案:120

解析:先从除了甲、乙以外的6人中选1人,安排在甲、乙中间,有=12(种)排法,再把这3人看成一个整体,与从剩下的5人中选出的1人全排列,有=10(种)排法,故不同的发言顺序共有12×10=120(种).

9.将标号为1,2,3,4,5的5个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少放入1个球,则一共有　　　　　种放法.(用数字作答) 

答案:150

解析:当3个盒子中有1个盒子放入3个球,另外2个盒子各放入1个球时,有=60(种)放法;当3个盒子中有2个盒子各放入2个球,另外1个盒子放入1个球时,有=90(种)放法.故一共有60+90=150(种)放法.

二、综合应用

10.某投资商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,每个项目只在一个城市中投资,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该投资商不同的投资方案有(　　)

A.16种 B.36种 C.42种 D.60种

答案:D

解析:(方法一:直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市1个项目,共种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市1个项目、一个城市2个项目,共种方法.由分类加法计数原理知,共=60(种)方法.(方法二:间接法)先任意安排3个项目,每个项目各有4种安排方法,共43=64(种)排法,其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求,共4种,因此不同的投资方案共64-4=60(种).

11.某日5名同学去食堂就餐,有米饭,花卷,包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择,且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用,甲同学因肠胃不好不能吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为(　　)

A.96 B.120 C.132 D.240

答案:C

解析:分类讨论:(1)甲选花卷,则有2人选同一种主食,方法有=18(种),剩下2人选其余主食,方法有=2(种),共有方法18×2=36(种);(2)甲不选花卷,其余4人中1人选花卷,方法为4种,甲选包子或面条,方法为2种,其余3人,若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法为3=6(种);若没有人选甲选的主食,方法为=6(种),共有4×2×(6+6)=96(种).故共有36+96=132(种).故选C.

12.用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,且能被3整除的三位数的个数是(　　)

A.20 B.24 C.36 D.40

答案:D

解析:依题意,满足要求的三位数可分为八类:

第一类,由0,1,2组成,有=4(个);

第二类,由0,1,5组成,有=4(个);

第三类,由0,2,4组成,有=4(个);

第四类,由0,4,5组成,有=4(个);

第五类,由1,2,3组成,有=6(个);

第六类,由1,3,5组成,有=6(个);

第七类,由2,3,4组成,有=6(个);

第八类,由3,4,5组成,有=6(个).

故满足要求的三位数有4+4+4+4+6+6+6+6=40(个).

13.某小区一号楼共有7层,每层只有1家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递,则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有　　　　　种. 

答案:12

解析:分三类:①同一天2家有快递:可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层,共3种情况;②同一天3家有快递:考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中,有种插入法,但需减去1层、3层与7层有快递,1层、5层与7层有快递这两种情况,所以有-2=8(种)情况;③同一天4家有快递:只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况.根据分类加法计数原理可知,同一天7家住户有无快递的可能情况共有3+8+1=12(种).

三、探究创新

14.(2021河北衡水中学月考)小明与3名男生、3名女生在排队购物,已知每名女生需2分钟,每名男生需1分钟,若小明(不排在首位)的前后不同时为女生,且他等待的时间不多于4分钟,则不同的排队情况共有　　　　　种. 

答案:1 440

解析:若小明等待的时间为1分钟,则他的前面只有1名男生,此时,排队方法种数为=360.

若小明等待的时间为2分钟,则他的前面有2名男生或1名女生,此时排队方法种数为=360.

若小明等待的时间为3分钟,则他的前面有3名男生或1名男生1名女生,

此时排队方法种数为)=360.

若小明等待的时间为4分钟,则他的前面有2名男生1名女生或2名女生,此时排队方法种数为=360.

故不同的排队方法种数为360+360+360+360=1440.