湖北省天门市六校联考2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年湖北省天门市六校联考九年级（上）期中数学试卷

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.     关于x的一元二次方程的一个根是3，则m的值是(    )

A. 3 B.  C. 9 D.

2.     下列图形中，为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     关于方程的根的说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 两实数根的和为 D. 两实数根的积为3

4.     以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是(    )

A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒

5.     如图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.     如图，的半径为9cm，AB是弦，于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.     某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加，5月份的营业额达到万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.     已知，是一元二次方程的两根，则的值为(    )

A. 0 B. 2 C. 1 D.

9.     如图，P是等腰直角外一点，把BP绕点B顺时针旋转到，已知，：：3，则：(    )

A. 1： B. 1：2 C. ：2 D. 1：

10. 已知抛物线，且，判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11. 关于x的方程是一元二次方程，则______.
12. 坐标平面内的点与点关于原点对称，则____________.
13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______.
14. 抛物线经过点，对称轴是直线，则____.
15. 如图①，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为______.
     
16. 如图，AB是圆O的直径，，点M在圆O上，，N是的中点，P为AB上一动点，则的最小值是______.
     

三、解答题（共8题，共72分）

17. 解下列方程：
    ；
     
18. 如图，已知A，B，C均在上，请用无刻度的直尺作图．
    如图1，若点D是AC的中点，试画出的平分线；
    若，点D在弦BC上，在图2中画出一个含角的直角三角形．

19. 关于x的一元二次方程
    求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
    在直角三角形ABC中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值．
20. 如图，以的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且
    试判断的形状，并说明理由；
    已知半圆的半径为5，，求BD的长．

21. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
    求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
    求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
    如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？每天的总成本=每件的成本每天的销售量
22. 如图，在中，，在AC上取一点D，以AD为直径作，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接
    求证：EN是的切线；
    若，，的半径为求线段EN与线段AE的长.

23. 在菱形ABCD中，，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边按逆时针排列，点E的位置随点P的位置变化而变化．
    如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______，BC与CE的位置关系是______；
    如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
    当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接若，，请直接写出的面积．
     
24. 如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点
    求抛物线的解析式；
    若P为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
    是否存在点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：将代入方程，得：，
解得，
故选：
 

2.【答案】B 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：
 

3.【答案】B 

【解析】解：，
方程没有实数根．
故选：
 

4.【答案】A 

【解析】解：小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，小球在第1秒与第3秒高度相等，
该抛物线开口向下，对称轴是直线，
，，，，
在选项中的四个时间中，当时，小球飞行的高度最高，
故选：
 

5.【答案】C 

【解析】解：，，
，
，
故选：
6.【答案】D 

【解析】解：连接OA，

将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
故选：
7.【答案】D 

【解析】解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，
故选：
8.【答案】B 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
，
故选：
9.【答案】B 

【解析】解：如图，连接AP，绕点B顺时针旋转到，
，，
又是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
：：3，
，
连接，则是等腰直角三角形，
，，
，
，
是直角三角形，
设，则，
根据勾股定理，，
，
解得，
：：：
故选：  

10.【答案】D 

【解析】解：，，
两式相减得，两式相加得，
，
，，，
，故①正确；
，故②正确；
当时，则，当时，则有，
当时，则方程的两个根一个小于，一个根大于1，
抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
当时，有最小值，即为，故④正确；
联立抛物线及直线可得：，整理得：，
，
该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确；
正确的个数有5个；
故选：
由题意易知，，则有，进而可判定①②；当时，则，当时，则有，然后可判定③；由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．
11.【答案】 

【解析】解：关于x的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：
12.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
所以，
故答案为：
13.【答案】且 

【解析】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，且，
即，且，
解得，且，
的取值范围是：且
故答案为：且  

14.【答案】0 

【解析】解：抛物线经过点，对称轴是直线，
与x轴的另一交点为，

故答案为  

15.【答案】4 

【解析】解：当P点在AB上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为
，即
当P点在BC上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，

则，代入，得，
解得或3，
，即，
，
故选：
16.【答案】 

【解析】解：如图，作点M关于AB的对称点，连接，交AB于点P，此时有最小值，
连接ON，，


则OB垂直平分，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，
，
，
故答案为：
 

17.【答案】解：，
，
则，
，或，
解得：，；

，
，
，或，
解得：， 

18.【答案】解：如图1，BE为所作；
如图2，为所作．
 

19.【答案】证明：，，，


，
则无论m为何值，方程总有两个实数根；
解：两直角边的长a，b恰好是方程的两根，
，，
，
根据勾股定理得：，即，
，即，
解得：舍去或，
则m的值为 

20.【答案】解：为等腰三角形．
理由如下：连结AE，如图，

，
，即AE平分，
为直径，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形；
为等腰三角形，，
，
在中，，，
，
为直径，
，
，
， 

21.【答案】解：


；



，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；

当时，，
解得，
当时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得，
解得
，
，
销售单价应该控制在82元至90元之间． 

22.【答案】解：证明：如图，连接OE，
是BE的垂直平分线，
，
，

，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
如图，连接ON，

设EN长为x，则
，，的半径为1，
，，
，
，
解得，

连接ED，DB，设，
，，
，
的半径为
，
则，
，
，
为直径，
，
，
即，
解得，
， 

23.【答案】 

【解析】解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

四边形ABCD是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：，；

中的结论：，仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

菱形ABCD，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
中的结论：，仍然成立；

如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作于F，

四边形ABCD是菱形，
平分，
，，
，
，，
，
由知，
，
，
，，
，
由知，
，
，
，
是等边三角形，
，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得，

，
 

24.【答案】解：将，代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
，
，，，
，，
，
，
设，
，
或，
或；
存在点P，使
如图，在x轴正半轴上取点，连接BE，过点A作交抛物线于另一点P，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
设直线BE的解析式为，把，代入得，
解得：，
直线BE的解析式为，
，
设直线AP的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线AP的解析式为，
由，
解得：，不符合题意，舍去，