天津市五校2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版附答案）

2022～2023学年度第一学期期中五校联考

高二数学

出题学校：芦台一中  杨村一中

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1．直线的倾斜角是

A．    B．    C．    D．

2．已知直线与平行，则的值是

A．    B．或   C．    D．或

3．已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则椭圆C的方程为

A．  B．  C．  D．

4．在正方体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是

A．        B．  

C．         D．

5．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为

A．       B． 

C．或     D．或

6．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是

A．   B．    C．   D．

7．圆的圆心在轴的负半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为. 则圆的方程为

A．      B．

C．      D．

8．设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为

A．    B．    C．   D．

9．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为

A．         B．   

C．          D．

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）

10．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是___________.

11．设，向量，且，则

___________.

12．正方体的棱长为，、分别是、、的中点，则直线到平面的距离为___________.

13．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围

为___________.

14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，

若动点在圆上，则的取值范围为___________.

15．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是

以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交

点，延长与椭圆交于点Q，若，则

直线的斜率为___________.

三、解答题（共5题，共75分）

16．（本小题满分14分）

已知圆：及直线：，

（1）求直线被圆所截得的弦长度的最小值及此时直线的方程．

（2）求过点并与相切的直线方程．

17．（本小题满分15分）

如图，已知在棱长为2的正方体中，

分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：直线平面.

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；

（3）过点的直线与椭圆相交于,两点，若，求直线的方程.

19.（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

20.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求面积的最大值．

2022～2023学年度第一学期期中五校联考

高二数学参考答案

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1—5  DCCDD     6—9  ACBD

二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）

10．   11．            12．

13．    14．    15．

三．解答题（共5题，共75分）

16．（本小题满分14分）

解：由已知：圆.               .............................1分

直线恒过定点                                         ............................2分

由

∴点在圆内，                                     

    当时，弦最短，  ....................5分

,则

 此时直线：,即              .......................7分

（2）由圆，又在圆外，

∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，∴切线方程为，    ..................11分

②当切线方程的斜率不存在，易知直线与圆相切， ...................12分

综合①②可知切线方程为或     . .............................14分

17．（本小题满分15分）

（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向

分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，

M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).........3分

由正方体的性质，知AD⊥平面，

所以＝(2，0，0)为平面的一个法向量.  .........................4分

由于＝(0，1，－1)，

则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，            

所以⊥.                                 .......................6分

又MN⊄平面，                          ..........................7分

所以MN∥平面.                 ..........................8分

（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面的一个法向量，

由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，     ..........................10分

则，又∩            .........................14分

所以直线平面                    ........................15分

18．（本小题满分15分）

解：（1）由题意可得，则

    为正三角形，所以

所以

椭圆的标准方程为：      ..........................4分

（2）设，

由题意，过点，斜率为的直线方程为

由 ，得   .........................5分

则          

所以 .....................7分

（3）当直线的斜率为0时，，显然不符合题意  . ....9分

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，

由，得  

    所以        .........................10分

由, 可得，              ..........................11分

代入上面的韦达定理中可得由此消去可得，解得，即,则 ...........13分

所以直线的方程为：或  .....15分

19．（本小题满分15分）

（1）平面，平面，.

底面是矩形，，又，

平面，平面，

   .                           ..........................5分

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则

，

，

设平面的法向量，则

，即，令，

则，.

设直线与平面所成的角为，则

.

所以与平面所成角的正弦值为.       ..........................10分

（3）.

设平面的法向量，则

，即，令，

则.           .........................12分

又平面的法向量

   .........................14分

所以平面与平面夹角的余弦值为.     ...............15分

20.（本小题满分16分）

解：

（1）由题意得：得，

故椭圆C的标准方程为：.         ........................4分

（2）由题意知，，

设直线AP：，因为点在第一象限，所以，所以 ，

由消y得，...................6分

所以，由得，故，

所以，        .........................7分

设，因，，，三点共线，所以，

故，解得，得，...............9分

所以

因为，所以

    ，            .........................13分

令，则，所以，

所以

当且仅当时取等号，此时，

所以面积的最大值为        ..........................16分