安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含答案）

2023届高三第三次集中练习

（数学试题）

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．曲线在处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

8．定义在上的偶函数满足，当时，．设函数，则下列说法错误的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．

C．的图象在处的切线方程为

D．和的图象所有交点的横坐标之和为10

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9．下列函数中在区间内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

10．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．函数在区间单调递减 D．函数在处取得极小值

11．水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．当时，

C．若函数有两个零点，则

D．设，若对，，使得成立，则

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13．已知：，使关于x的方程有解，则：______．

14．设函数（m为实数），若在上单调递减，求实数m的取值范围______．

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是______．

四、解答题（第17题10分，其余每小题12分，共6小题70分）

17．设函数．

（1）若，求定义域，并讨论的单调性．

（2）若函数的定义域为，求a的取值范围．

18．已知全集为，集合，．

（1）若，求集合；

（2）请在①“”是“”的充分条件，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若______，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数有三个零点，求m的取值范围．

20．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；

（2）若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定正整数a的取值集合．

21．已知函数．

（1）求的解析式；

（2）求在区间上的最值．

22．已知函数有两个不同的零点，．

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：．

2023届高三第三次集中练习

数学答案和解析

第1题：

【答案】C

【解析】解不等式得，解不等式得，所以，，，所以，

故选：C

第2题：

【答案】B

【解析】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；反过来，因为，所以当时，有，即．综上可知，“”是“”的必要不充分条件．故选：B．

第3题：

【答案】D

【解析】∵，可取，，∴有，，，，∴D正确．

第4题：

【答案】B

【解析】因为，定义域关于原点对称，，即为奇函数，图象关于原点对称，故排除C；，故排除AD．故选：B．

第5题：

【答案】D

【解析】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．

第6题：

【答案】A

【解析】，，，令，则，

当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以，故选：A

第7题：

【答案】D

【解析】由，得，设，则，所以函数在上单调递增，因为，所以，所以不等式等价于即，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：D．

第8题：

【答案】C

【解析】由的定义域为，，可得，所以的图象关于直线对称，故A正确；因为，所以，又是偶函数，所以，所以的周期为2，所以，故B正确；当时，所以，所以，，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即，故C错误；因为，所以的图象关于直线对称．画出和的图象如图所示：

由图可得和的图象有10个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和等于，故D正确．故选：C．

第9题：

【答案】AD

【分析】根据函数解析式直接判断出函数的单调性，判断出AC选项，根据图象判断出D选项，根据同增异减判断B选项．

【详解】在上单调递增，故B错误；

可以看出，的复合，由同增异减可知在区间内单调递减，A正确；

定义域为，由同增异减可知在上单调递增，故C错误；

的图象如图所示，可以看出：在上单调递减，D正确．

故选：AD

第10题：

【答案】A，B，D

【解析】由图象知，当时，，当时，，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，函数在区间单调递增，故C错误；对于D，函数在区间单减，在区间单增，故在处取得极小值，故D正确；故选：ABD

第11题：

【答案】A，B

【解析】在a中，容器是柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A正确；在b中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C错误；在d中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D错误．

第12题：

【答案】B，D

【解析】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误．对于B选项，，当时，，递减．由于，所以，，由于，，，所以由两边乘以得，所以B选项正确．对于C选项，令，，由于，所以在区间，，，递减；在区间，，递增．当时，；当时，；．函数是定义域为的偶函数．由此画出的图象如下图所示，由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，函数有两个零点，所以C选项错误．对于D选项，由上述分析可知，，则，，，要使“对，，使得成立”，则需，所以D选项正确．故选：BD．

第13题：

【答案】，使关于x的方程无解

【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得：，

使关于x的方程无解．

第14题：

【答案】

【解析】不妨设，因为，，都有恒成立，有恒成立，则恒成立，设，，即只需在上是单调递减即可，故在上恒成立，得，由二次函数的性质，易知在上单调递增，当时取得最小值3，所以．

第15题：

【答案】

【解析】由有，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．

第16题：

【答案】

【分析】画出函数图象，数形结合得到a的取值范围，且，解不等式得到，从而求出．

【详解】画出函数的图象：

由函数的图象可知：，，令，则，

所以，令，解得：，所以．

故答案为：．

第17题：

【答案】见解析

【解析】（1）时，，令，则当时，，所以定义域为，又在上为增函数，在上为减函数，而在定义域内为增函数，所以在上为增函数，在上为减函数．（2）由题意，对任意的恒成立，当时，不恒成立，所以，解得，∴a的取值范围为．

第18题：

【答案】见解析

【解析】（1）集合，集合，若，

则，所以，所以．

（2）若选①“”是“”的充分条件，则，即，所以或，∴或．若选②，所以或，∴或．若选③，由题意得：且，所以．

第19题：

【答案】见解析

【解析】（1）由题可得，由题意得即

解得，，，所以．

（2）因为，令，得或．当x变化时，，的变化情况如下：

所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．

（3）因为，，由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，所以m的取值范围为．

第20题：

【答案】见解析；

【解析】（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立．对于函数模型．当时，是增函数，，所以不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．

（2）对于函数模型，当时，在定义域上是增函数，且恒成立；当时，

，只有时，在定义域上是增函数；要使在恒成立，，即；要使恒成立对恒成立，即，即恒成立，所以；综上所述，，所以满足条件的正整数a的取值集合为．

第21题：

【答案】见解析

【解析】（1）

，，解得，所以．

（2），①当，单调递增，所以②当，设，，单调递减，，所以存在，使得，当，，单调递增，所以当，，单调递减，所以又，，所以在区间上的最大值为-1，最小值为．

第22题：

【答案】见解析

【解析】（1）定义域为，，，，所以在上单调递减．，，所以在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，又，所以先保证必要条件成立，即满足题意．当时，易知，；

；由以上可知，当时，

有两个不同的零点．

（2）由题意，假设，要证明，只需证明．只需证，又．即只需证，构造函数，．

，∴，所以在单调递减．，∵，∴，即成立，即，所以原命题成立．