安徽省芜湖市普通高中2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)
展开芜湖市2022~2023学年度第一学期期中普通高中联考试卷
高二数学
(答案写在答题卡上)
(满分150分,时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量,,若,则( )
A.3 B. C.12 D.
2.过点且与直线垂直的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.圆关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A. B. C. D.
6.已知点,分别是椭圆的右、上顶点,过椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰好为左焦点,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在正三棱锥中,,且,,分别为,的中点,则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为2,、分别是棱、的中点,点为底面四边形内(包括边界)的一动点,若直线与平面无公共点,则点的轨迹长度为( )
A.2 B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知向量,,,则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
10.圆和圆的交点为,,则有( )
A.公共弦所在直线的方程为
B.公共弦所在直线的方程为
C.公共弦的长为
D.为圆上一动点,则到直线距离的最大值为
11.设椭圆的左、右焦点分别为,,是上的动点,则( )
A.
B.椭圆的离心率为
C.面积的最大值为
D.椭圆上有且只有4个点,使得是直角三角形
12.在长方体中,,,动点在体对角线上(含端点),则下列结论正确的有( )
A.当为中点时,为锐角 B.存在点,使得平面
C.的最小值 D.顶点到平面的最大距离为
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在线段上运动,已知,,则的取值范围是______.
14.已知四棱柱的底面是正方形,底面边长和侧棱长均为2,,,则四棱柱体对角线的长为______.
15.已知圆与圆相交于,两点,则______.
16.如图,在正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则直线与所成角的正弦值的最小值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知空间向量,,.
(1)若,求;(2)若,求实数的值.
18.(12分)已知圆,直线.
(1)求证:不论取什么实数,直线与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆截得的最短弦长以及此时直线的方程.
19.(12分)已知点,,动点满足.
(1)若点的轨迹为曲线,求此曲线的方程;
(2)若点在直线上,直线经过点且与曲线只有一个公共点,求的最小值.
20.(12分)在四棱锥中,,,,,,平面平面.
(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.
21.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,,左顶点为,且离心率为.
(1)求的方程;
(2)直线交于,两点,直线,分别与轴交于点,,求证:,,,四点共圆.
22.(12分)如图1,平面图形由直角梯形和拼接而成,其中,,,,,与相交于点,现沿着将其折成四棱锥(如图2).
(1)当侧面底面时,求点到平面的距离;
(2)在(1)的条件下,线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
芜湖市2022~2023学年度第一学期期中普通高中联考试卷
高二数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.BCD 10.AD 11.ACD 12.ABD
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(1)因为,得,故.(5分)
(2),,
由,得,得的值为.(10分)
18.【解析】(1)直线化为,
则,解得,所以直线恒过定点,(3分)
圆心,半径,又因,所以点在圆内,
所以不论取什么实数,直线与圆恒交于两点;(6分)
(2)当直线所过的定点为弦的中点,即时,直线被圆截得的弦长最短,
最短弦长为,(9分)
,所以直线的斜率为2,即,解得,
所以直线的方程为.(12分)
19.【解析】(1)设点的坐标为,则,
化简可得,此方程即为所求.(5分)
(2)曲线是以点为圆心,4为半径的圆,如图所示.
由题意知直线是此圆的切线,连接,则,
当最小时,最小,此时,,(10分)
则的最小值为.(12分)
20.【解析】(1)作于点,因为平面平面,平面平面
则平面,平面,则.
又,,平面,平面,则.
因,,所以平面.(5分)
(2)取中点为,则由,得又平面,得,所以平面以为原点,,,方向分别为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为,,则,则,令,则(7分)
设平面的法向量为,,则,则
,令,则(9分)
故故二面角的正弦值为.(12分)
21.【解析】(1)由题意知,解得,,,所以的方程为.(5分)
(2)证明:设点(不妨设,则点,
由,消去得,所以,,
所以直线的方程为.(7分)
因为直线与轴交于点,令得,
即点,同理可得点.(9分)
所以,,所以,所以,同理.(11分)
则以为直径的圆恒过焦点,,即,,,四点共圆.综上所述,,,,四点共圆.(12分)
22.【解析】(1)∵,,∴.
如下图所示,连接,则,所以,,所以,
结合折叠前后图形的关系可知,,故四边形为正方形,
∴,即为的中点,∴,∴.∵侧面底面,侧面底面,∴平面,(3分)
易知,,两两垂直.以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如下图所示,
则,,,,,
∴,,.
设平面的法向量为,则,令,得,,
则为平面的一个法向量,则点到平面的距离.(5分)
(2)假设存在满足题意的点,且.
∵,∴,∴,∴.
设平面的法向量为,
又∵,,
∴,令,则,,
取为平面的一个法向量.(7分)
易知平面的一个法向量为,
∵二面角的余弦值为,
∴,(10分)
化简,得,解得或(舍去).
∴线段上存在满足题意的点,且.(12分)
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