2022-2023学年安徽省省十联考（合肥八中等）高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省省十联考（合肥八中等）高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知倾斜角为的直线过，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可
【详解】由题意知，即．
故选A．
2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案
【详解】连接AE并延长交CD于点F，
因为E为的重心，则F为CD的中点，且
.
故选：B．
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解
【详解】若，则两条直线分别为，，
显然两条直线相互平行，充分性成立；
若直线与直线平行，
则，且，
所以，必要性成立．
故选：C．
4．已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设直线PF为，与双曲线方程联立，然后根据方程有一正根一负根，列方程求解.
【详解】由已知，设直线PF为，
联立，消去得
根据已知可得方程有一正根一负根，
，
解得
故选：D．
5．已知为圆O：上一点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，由圆心到直线的距离小于或等于半径求解即可
【详解】设，由题意知直线与圆O有公共点，
所以，所以．
故选：B．
6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意知点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，得到，再利用计算可得到离心率的范围.
【详解】
所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故选：A．
7．如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法研究即可求解
【详解】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，
以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则，，，，，
所以，，，
设，
所以，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
故与BP所成角的最大值为，最小值为．
故选：D．
8．已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，利用点差法，结合点E在C的内部可得，求解即可
【详解】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，
则，，两式相减，
得，
由，得，
又，，
所以，即，又，
所以，，即，
又点E在C的内部，
所以，所以．
故选：C．
二、多选题
9．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上D．当时，点P在线段上
【答案】BCD
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解
【详解】当时，，所以，
则，即P在棱上，故A错误；
同理当时，则，故P在棱上，故B正确；
当时，，所以，即，
故点P在线段上，故C正确；
当时，，故点在线段上，故D正确．
故选：BCD．
10．我们知道反比例函数的图象是双曲线，则下列有关双曲线的结论正确的是（ ）
A．顶点坐标为，B．虚轴长为
C．离心率为D．焦点坐标为，
【答案】AC
【分析】将反比函数图象逆时针旋转转化为焦点在轴的双曲线，利用双曲线的性质即可求解.
【详解】将双曲线的图象逆时针旋转后可得等轴双曲线，
旋转前后实轴长、虚轴长、焦距保持不变，
因为直线是的长轴所在的直线，
所以联立和解得顶点坐标为，，
所以实轴长，故A正确；
其是等轴双曲线，所以虚轴长为，故B错误；
因为，所以，离心率为，故C正确；
设焦点坐标为和，
因为和在直线上，且焦距等于，
所以，所以，
所以其焦点坐标为，，故D错误．
故选:AC．
11．已知直线：，：，：，其中a，k为常数，与的交点为M，则（ ）
A．对任意实数a，B．存在a，使得点到原点的距离为3
C．存在点P，使得为定值D．M到的最大距离为
【答案】ACD
【分析】对于A，由即可判断得；
对于C，结合选项A中的结论，得到M在圆上，由此可求得点P使得为定值；
对于B，利用选项C中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；
对于D，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断.
【详解】对于A，因为：，：，所以，则，故A正确；
对于C，易得直线过定点，直线过定点，
因为与的交点为M，则M在以AB为直径的圆上，
而AB的中点为，且，故点M在圆：上，
故取点P坐标为，此时为定值，故C正确；
对于B，因为圆心到原点的距离为5，圆的半径为，故M到原点的最小距离为，而，
所以不存在实数a，使得M到原点的距离为3，故B错误；
对于D，因为过原点O，所以当，且M在直线OC上时，点M到的距离最大且最大值为，故D正确．
故选：ACD．
12．已知曲线C：，则（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C有4个顶点
C．曲线C的面积小于椭圆的面积
D．曲线C的面积大于圆的面积
【答案】ABD
【分析】研究曲线C的对称性并求出与坐标轴的交点，可判断AB；由曲线C中x的范围可求得得范围，进而与椭圆以及圆比较，可判断CD
【详解】用-x替换x，化简后式子不变，则曲线C关于y轴对称；
用-y替换y，化简后式子不变，则曲线C关于x轴对称；
用-x，-y分别替换x，y，化简后式子仍不变，则曲线C关于原点对称，
曲线C仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C的交点分别为，，
故曲线C有4个顶点，故AB正确；
易知曲线C中x的范围为，所以，
故椭圆上的点在曲线C内部或在曲线C上，故椭圆的面积小于曲线C的面积，
同理曲线C的面积大于圆的面积，
故C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则_________.
【答案】
【解析】根据双曲线定义，求解.
【详解】由双曲线的定义得，又，
所以，或
经检验，舍去，
所以.
故答案为：.
14．已知直线l过点，且在x轴和y轴上的截距分别为a，b，若，则l的方程为__________．
【答案】或
【分析】时可设l的方程为，时设l的方程为，把点代入即可求解
【详解】若，则l过，又l过点，
故l的方程为，即；
若，设l的方程为，
所以，解得，
所以，
故l的方程为．
故答案为：或．
15．已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是__________．
【答案】3
【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】分别以，为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设，则，
，所以，
所以，所以，
所以，
所以当，时，取得最小值3．
故答案为：3.
16．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】由椭圆方程，可得的值，根据椭圆的定义，整理等式，用换元法整理函数关系，结合二次函数性质，可得答案.
【详解】由，可知，，
，所以，
又，所以当或时，，又，
所以的最大值为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点．求及弦AB的垂直平分线的方程．
【答案】，．
【分析】把圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离与勾股定理可得弦长，由两直线垂直可得斜率，再由点斜式求方程即可
【详解】圆的方程可化为，故其圆心，半径，
圆心C到l的距离，
所以．
直线l的斜率为，
所以AB的垂直平分线的斜率为，
由垂径定理知弦AB的垂直平分线过圆心，
故弦AB的垂直平分线的方程为，即．
18．如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，，．
(1)求到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于点O，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求点到平面的距离即可；
（2）利用向量法求解线面角即可
【详解】（1）连接BD交AC于点O，
因为四边形ABCD为菱形，，，
所以，，．
以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量，则 ，
令，则，，故．
所以点到平面的距离
（2）设直线与平面所成角的大小为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为
19．已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点的坐标为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设过F的直线l与C相交于点A，B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，，求解即可；
（2）设直线l的方程为，，，联立方程，
利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算即可求解
【详解】（1）由题意知，
因为，
所以，
所以C的方程为．
（2）易知，设直线l的方程为，，，
联立方程，得消去x并整理，得，
显然，，，
所以，
因为，
所以，所以，
即，解得，
故直线l的方程为，
即．
20．已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，记点M的轨迹为．
(1)求的方程，并说明是什么图形；
(2)在直线上是否存在定点D（异于原点），使得对于上任意一点P，都有为常数？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)的方程为，其图形为以为圆心，为半径的圆
(2)存在
【分析】（1）设，，利用相关点代入法求解即可；
（2）设，假设存在一点，满足，则，把P坐标代入轨迹的方程，解得即可
【详解】（1）设，，则，，
所以，，
又点A在圆C上，所以，
即的方程为，其图形为以为圆心，为半径的圆．
（2）假设存在一点，满足（其中为常数），
设，则，
整理化简得：，
因为P在轨迹上，所以，即，
所以，
整理得，
由得，，
所以存在满足题目条件．
21．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E为PC的中点．
(1)证明：平面平面PCD；
(2)若，，求平面ABE与平面ABP夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面PCD，然后根据面面垂直的判定定理即可得证.
（2）以O为坐标原点，直线OA，OG，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后根据二面角的法向量计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】（1）证明：取PD的中点F，连接EF，AF，因为，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAD，又平面PAD，所以，
因为，F为PD的中点，所以．
因为E，F分别为PC，PD的中点，所以，且，
又，且，所以，且，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以，
所以，．
又平面PCD，且，
所以平面PCD，
又平面PBC，所以平面平面PCD．
（2）
取AD，BC的中点分别为O，G，连接PO，OG，则，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．
以O为坐标原点，直线OA，OG，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，
则，，．
设平面ABE的一个法向量，则即
令，得，，故．
设平面ABP的一个法向量，则即
令，得，，故，
所以，
设平面ABE与平面ABP的夹角为，则．
22．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且斜率为的直线与C的左支交于点A，且．
(1)求C的渐近线方程；
(2)若，P为x轴上一点，是否存在直线l：与C交于M，N两点，使得，且？若存在，求出点P的坐标和直线l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，直线l的方程为．
【分析】（1）由直线的斜率为，可得，再由与双曲线的定义结合余弦定理建立关系，求得，即可求解；
（2）先求得双曲线方程，再把双曲线与直线联立，利用根与系数的关系，结合垂直的向量表示即可求解
【详解】（1）因为，
所以，
所以，即（c为半焦距），
又，
所以，
因为直线的斜率为，
所以，
所以，
由余弦定理，得，
即
所以，所以，
所以，所以，
所以C的渐近线方程为．
（2）由，得，所以，，
所以双曲线C的方程为．
联立得，
由题意知，且，即且，
又，所以．
设，，线段MN的中点为，
所以，，
所以，．
假设存在直线l：，设点，使得，且成立，
则，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
化简，得，所以，
此时，即，直线l的方程为．