山西省名校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题（含答案）

2022~2023学年山西省名校高一上学期期中联合考试

数  学

考生注意：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2. 请将各题答案填写在答题卡上.

3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章第2节.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若函数满足，则（    ）

A. －4 B. 4 C. －2 D. 2

3. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义.已知，则“”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知在上是增函数，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆锥的体积为，其中为圆锥的底面积，为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为，高为），现向杯中以的速度匀速注入水，则注水后，杯中水的高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知偶函数的定义域为，若对任意的，，当时，总有，则满足不等式的的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的为（    ）

A. 若：，，则：，

B. 若：，，则：，

C. 若：，，则：，

D. 若：，，则：，

10. 已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则的子集个数为16 D. 若，则

11. 已知幂函数的定义域为，则使得成立的充分不必要条件可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ）

A. 在上的最大值为2 B. 在上的最大值为

C. 的取值范围为 D. 的取值范围为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知，，则_________.

14. 已知函数，则函数的定义域为_________.

15. 请写出一个同时满足下列条件①②③的函数：_________.

①；②对任意，当时，总有；③.

16. 若非零实数，满足，则的最大值为_________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知为实数，，.

（1）当时，求；

（2）当时，求的取值集合.

18.（12分）

（1）化简：.（结果用分数指数幂表示）

（2）化简：.（结果用分数指数幂表示）

（3）求值：.

19.（12分）

已知二次函数满足.

（1）若，求；

（2）若，证明：.

20.（12分）

据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为，其关系式为.现已知相距的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为5，2，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设，.当为的中点时，处的污染指数为1.4.

（1）试将表示为的函数；

（2）求的最小值.

21.（12分）

已知为偶函数，为奇函数，且.

（1）求，的解析式；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

22.（12分）

定义：若存在正数，，当时，函数的值域为，则称是“第类函数”.已知函数.

（1）若函数是第类函数，求的取值范围；

（2）若函数是第3类函数，求，的值.

2022~2023学年山西省名校高一上学期期中联合考试

数学参考答案

1. B  因为，所以.

2. C  令，得，故.

3. D  因为，所以为奇函数，排除C选项.

的定义域为，排除A选项.根据，可排除B选项.

4. A  若，则，但当时，，不一定相等，所以“”是“”的必要不充分条件.

5. B  由二次函数的图象可知，，，得，，

不等式可化为，即，因为，所以.

6. D  由题意可知，，，

因为在上是增函数，，所以.

7. D  假设注水后，杯中水的水面半径为，则杯中水的高度，

则，解得，故杯中水的高度.

8. C  令函数.因为对任意的，当时，总有，即对任意的，当时，恒成立，所以在上单调递减.

因为为偶函数，所以在上为奇函数，在上单调递减.

又因为，

所以，所以，解得.

9. BD  对于A，B选项，若：，，则：，，所以B正确.对于C，D选项，若：，，则：，，故D正确.

10. BC  当时，，所以A错误.当时，，，则，所以B正确.因为，则，的子集个数为16，所以C正确.因为，所以D错误.

11. BC  令，解得或.当时，的定义域不为，故舍去.当时，在上单调递增.若，则.

推不出，选项A不符合.由得，可以推出，但推不出，选项B符合.由，得，但推不出，选项C符合.推不出，推不出，选项D不符合.

12. AC  如图所示，，，，，由图可知在上有最大值2，且的取值范围为.

13.   .

14.   要使函数有意义，则，解得，即的定义域为，所以在函数中，，所以，所以函数的定义域为.

15. （答案不唯一，其他满足条件的函数均可） 根据题意知的图象经过点，且在上单调递减，又，所以符合题意.

16.   令，，则，

所以，

因为，所以，所以，从而，当且仅当时，取得最大值.

17. 解：（1）当时，，

，

故.

（2）因为，所以.

当时，，显然不满足题意；

当时，，要使，则，即.

综上所述，的取值集合为.

18. 解：（1）.

（2）.

（3）.

19. 解法一：

（1）解：设二次函数，

因为，所以，

得，所以，

故.

因为，所以，.

（2）证明：由（1）得，因为，所以，得.

，

因为，所以.

解法二：

（1）解：令，得；

令，得；

令，得.

（2）证明：设二次函数，

因为，所以，

得，所以，

故.因为，所以，得.

，

因为，所以，所以.

20. 解：（1）由题设知，，

点受到处的污染指数为，受到处的污染指数为，

所以处的污染指数，.

当时，，解得，所以.

（2），当且仅当时，等号成立.

21. 解：（1）因为为偶函数，为奇函数，且，

所以，

即，

则，解得，

.

（2）在上单调递增.

证明如下：

由（1）得，令，

则，

由，，得，

即，故，

所以在上单调递增.

（3）由（2）得在上单调递增，则，

所以对任意的，恒成立，即，

则，即，解得，

所以的取值范围是.

22. 解：（1）因为在上是增函数，且在上的值域是，所以，即，

由此得到是方程的两个根，

则，解得，所以的取值范围是.

（2）根据题意可得.

当时，在上单调递增，

因为是第3类函数，所以，即.

因为，所以，.

当时，在上单调递减，

因为是第3类函数，所以，

则，因为，所以，即，

将代入，得，

因为，所以没有实数解.

当时，所以当时，.

因为是第3类函数，所以，解得（舍去）.

综上所述，，.