福建省福州市闽清天儒中学2022-2023学年九年级上学期期中质量抽测数学试题(含答案)

这是一份福建省福州市闽清天儒中学2022-2023学年九年级上学期期中质量抽测数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了抛物线与直线的交点个数是等内容，欢迎下载使用。

准考证号：_____________________姓名：______________
（在此卷上答题无效）
2022-2023学年第一学期九年级期中质量抽测
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效.
3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
4.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，将绕点顺时针旋转一个角度得到，其中点的对应点是点，则下列结论不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
3.抛物线的对称轴是（ ）
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
4.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，在中，点在上，，若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
6.某市2021年底森林覆盖率为70%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，计划到2023年底森林覆盖率达到78%，如果这两年的森林覆盖率年平均增长率为，那么符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是10，点的坐标是，则点与的位置关系是（ ）
A.点在内上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定
8.抛物线与直线的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9.如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（ ）

A. B. C. D.
10.已知，两点均在抛物线上，若，，则（ ）
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上作答，答案无效.
2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11.若是一元二次方程的一个根，则的值是___________.
12.抛物线与轴的两个交点间的距离是__________.
13.若抛物线的顶点与点关于原点对称，则点的坐标是________.
14.如图，是的对角线，的交点，是垂直平分线与的交点，以点为圆心，长为半径作，若是切线，则的度数是_________.

15.将抛物线沿直线方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析是式是__________.
16.如图，在半径是5的中，弦，点是上一动点，将沿弦翻折至，延长交于点，点是的中点，连接，.现给出以下结论：
①；
②；
③；
④的最小值是1.
其中正确的是_____________.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分8分）
解方程：.
18.（本小题满分8分）
如图，是半圆的直径，半圆与直线相切于点，点在直线上，连接，，当平分时，求证：.

19.（本小题满分8分）
参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，求共有多少个队参加这场足球联赛?
20.（本小题满分8分）
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点是，连接，当时，求旋转角的度数.

21.（本小题满分8分）
一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是.如图，，是该函数图象上的两点.

（1）画出该函数的大致图象；
（2）请判断铅球推出的距离能否达到，并说明理由.
22.（本小题满分10分）
如图，是的直径，为上一点，连接，.平分，点在上，连接，交于点.

（1）若，，求的长；
（2）求证：.
23.（本小题满分10分）
如图，已知线段绕某定点顺时针旋转得到线段，其中点的对应点是.

（1）请确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不㝍作法）；
（2）在（1）的情况下，点位于上方，点位于右侧，且，均为等边三角形.求证：可由绕点顺时针旋转得到.
24.（本小题满分12分）
如图1，是的直径，绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，过点作于点.

（1）求证：是的切线；
（2）过作，交于点，直线交于点，连接，，.
①如图2，求证：；
②当旋转到如图3的位置，在上取一点，使得，若，求证：，，三点在同一条直线上.
25.（本小题满分14分）
已知抛物线过点，，.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）.当点的横坐标是4时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切.已知点的坐标是，过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线，分别交直线和直线于点，，求的值.
2022-2023学年第一学期九年级期中质量抽测
数学试题解析及评分细则
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.
2.对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）
1.C 2.D 3.D 4.A 5.B
6.D 7.A 8.B 9.C 10.B
【注：下面给出部分选择题解析.】
7.【命题意图】本小题主要考查点和圆的位置关系、勾股定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查转化思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性.满分4分.
解：∵点的坐标是，
∴由勾股定理可得.
又半径是10，
∴点在内上.故选A.
8.【命题意图】本小题主要考查函数图象上点的性质、一元二次方程根的判别式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性.满分4分.
解；将代入，得，
整理得，
∴，
∴抛物线与直线的交点个数是1.
故选B.
9.【命题意图】本小题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查方程思想、转化思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性.满分4分.
解：∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴.
∵，，三点在同一条直线上，
∴在中，，
即，
∴，
解得.
∴旋转角的度数是.故选C.
10.【命题意图】本小题主要考查二次函数的性质、不等式的性质、等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性.满分4分.
解：∵抛物线的解析式是，
∴该抛物线的对称轴是直线.
①当时，，
即，
又，
∴点比点更靠近对称轴.
∵，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，
∴.
②当时，，
即，
又，
∴点比点更靠近对称轴.
∵，抛物线开口方向不确定，
∴无法判断与的大小关系.
故选B.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）
11. 12.4 13.
14. 15. 16.①②④
【注：下面给出部分填空题解析.】
14.【命题意图】本小题主要考查直线和圆的位置关系、平行四边形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查转化思想、方程思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性.满分4分.
解：连接.
∵是垂直平分线与的交点，
∴，
∴点在上.
∵是切线，
∴点是切点，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为.
15.【命题意图】本小题主要考查函数图象的平移规律、二次函数的顶点式、函数图象上点的性质等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力等，考查转化思想、方程思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现创新性和综合性.满分4分.
解：设平移后抛物线的解析式为，由平移得.
∵该抛物线顶点在第一象限，且平移后的顶点在直线上，
∴，且.
由勾股定理得，
解得，（舍去）.
∴平移后抛物线的解析式为.
故答案为.
【注：答案为亦可.】
16.【命题意图】本小题主要考圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力等，考查转化思想、方程思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现创新性和综合性.满分4分.
解：∵四边形内接于，
∴.
∵将沿弦翻折至，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴.
故①②正确.
连接，，
∵，
又不一定等于，
∴不一定等于.
故③错误.
过点作于点，连接，，，
∴点是的中点，.
∵，
在中，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴
∴，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
∴的最小值是1.
故④正确.
故答案为①②④.
三、解答题（共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答）
17.（本小题满分8分）
【考查内容】：考查解一元二次方程等基础知识.
解法一：∵，，，……………………………………1分
∴
，………………………………3分
∴………………………………4分
，…………………………6分
∴，.…………………………8分
【注：学生未判断，直接用求根公式计算，并获得正确可得满分.】
解法二：，①………………………………1分
，②………………………………3分
，③…………………………………4分
，④……………………………………6分
，⑤
即，.…………………………8分
【注：学生直接得到②式，不扣分；直接得到③式，扣1分；得到③式后直接得到⑤式或⑥式，扣1分用求根公式计算，并获得正确可得满分.】
18.（本小题满分8分）
【考查内容】：考查切线的性质定理、平行线的性质等基础知识.
证明：连接.……………………………………1分
∵半圆与直线相切于点，
∴，①………………………………2分
∴，②
∵平分，
∴.…………………………3分
∵，
∴，……………………………4分
∴，……………………………5分
∴，③……………………………6分
∴.④……………………7分
∴，⑤即.⑥……………………………………8分

【注：学生写出①、②步中任意一步即可得1分；若得到③步后直接得到⑤或⑥步并获得正确，不扣分.】
19.（本小题满分8分）
【考查内容】：考查解一元二次方程等基础知识；考查数学建模等核心素养.
解：设共有个球队参加这场足球联赛.………………………………1分
依题意，可列方程得.…………………………4分
解得，（舍去）.…………………………7分
答：共有10个球队参加这场足球联赛.…………………………8分
【注：学生正确每解得一个根得1分；未写答句的，扣1分.】
20.（本小题满分8分）
【考查内容】：考查旋转的性质、等腰三角形等基础知识.
解：∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
∴，，………………………………2分
∴，………………………………3分
∴.………………………………4分
∵，
∴，…………………………5分
∴，…………………………6分
∴，…………………………7分
∴旋转角的度数是50°.…………………………8分
【注：有写出“”但未标明“”的，扣1分.】
21.（本小题满分8分）
【考查内容】：函数图象的画法、函数的概念等基础知识，考查数学建模等核心素养.
解：（1）

该函数的大致图象如图所示.……………………4分
【注：从点起画得1分；以点为抛物线顶点得1分；结束于点得1分；其余部分正确得1分；未列表的、未写如图所示的，不扣分.】
（2）铅球推出的距离不能达到11m.…………………………5分
理由如下：当时，，……………………6分
∴该男生此次推球最远距离为10m，…………………………7分
而10<11，…………………8分
∴铅球推出的距离不能达到11m.
【注：学生将代入并解得亦可.】
22.（本小题满分10分）
【考查内容】：考查圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等基础知识.
解：（1）过点作于点，

∴.
∵是的直径，
∴.…………………………1分
在中，，，
∴，
，
∴.
∵平分，
∴.…………………………3分
在中，，
∴，
∴.…………………………4分
∵，
∴，
∴.………………………………5分
（2）证明：连接.
∵平分，
∴，
∵，
∴，…………………………6分
∴，
∴，…………………………7分
由（1）得，
∴，…………………………8分
∴.
∵，
∴点是的中点.………………………………9分
∵，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴，即.…………………………10分

23.（本小题满分10分）
【考查内容】：考查旋转的定义、旋转的性质、尺规作垂直平分线等基础知识.
解：（1）
…………………………4分
如图所示，点即为所求作的旋转中心.…………………………5分
【注：每画对1条垂直平分线得1分，正确在两条垂直平分线的交点处标出点得2分，在作图全部正确的前提下写出如图所示再得1分.】
（2）证明：连接，，，，，.
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点是，
∴，，，，………………6分
∴，
∴.
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
即，……………………………………7分
∴，
∴，
，……………………………………8分
∴，
即，………………………………9分
∴点绕点顺时针旋转到点，
∴可由绕点顺时针旋转得到.……………………10分

24.（本小题满分12分）
【考查内容】：考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理等基础知识；考查证明三点共线等解题方法.
证法一：连接，.…………………………1分
∵是的直径，
∴，即.
∵绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴点是的中点.
∵，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴，…………………………2分
∴.
∵，
∴，
∴，即.…………………………3分
∵点是半径的外端点，
∴是的切线.…………………………4分

证法二：连接.……………………1分
∵绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，……………………………………2分
∴.
∵，
∴，
∴，即.………………………………3分
∵点是半径的外端点，
∴是的切线.………………………………4分

【注：连接得1分；正确证明得1分；正确证明得1分；全部正确再得1分；若学生未写出“”但有写出“”或未写出“与点是半径的外端点”所表达意思相同的语句，不扣分，但若只写出“”且未写出与“点是半径的外端点”所表达意思相同的语句，扣1分.】
（2）①证法一：连接，.
∵是的直径，
∴，…………………………5分
∴，
由（1）得，
∴点是的中点，
∴.………………………………6分
∴.
∵，
∴，…………………………7分
∴，
∴.………………………………8分

证法二：∵，是的直径，
∴，………………………………5分
∴，即.
由（1）得，
∴，
∴.…………………………6分
∵
∴，
∴.…………………………7分
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴.……………………………………8分
②证明：连接，记与的交点，与的交点分别为点，.
∵，是的直径，
∴，，
∴.
由（1）得，
∴，
∴，……………………………………9分
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，…………………………10分
∴.
∵，
∴，…………………………11分
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，，三点在同一条直线上.…………………………12分
25.（本小题满分14分）
【考查内容】：考查二次函数图象的性质、解一元二次方程等基础知识；考查斜三角形面积求法等解题方法.
解：（1）∵抛物线过点，
∴.………………………………1分
∵拋物线过点，，
∴抛物线的对称轴是轴，………………………………2分
即，
∴，………………………………3分
∴该抛物线的解析式是.………………………………4分
（2）将代入，得，
∴顶点的坐标是，
∴.
将代入，得，
∴点的坐标是，
∴直线的解析式是.………………………………5分
解法一：将代入，得，
解得，，
∴点的横坐标为，
∴.……………………6分
连接，，过点作垂直轴交于点，
分别过点，作的垂线，垂足为，，
设，
∴
∴
…………………………7分
∵，
∴.
∵点是点，之间的抛物线上的点（不与点，重合），
∴点在点上方，
∴，
即，
解得（舍去），，
∴点的坐标是.……………………………………8分

解法二：∵点是点，之间的抛物线上的点（不与点，重合），
∴点，在的同侧.
分别过点，作的垂线，垂足为，，
∴，
∴.
∵的面积与的面积相等，
∴.
∴四边形是平行四边形，…………………………6分
∴直线可由直线向下平移1个单位得到，
∴直线的解析式是.…………………………7分
将代入，
得，
解得（舍去），，
∴点的坐标是.…………………………………………8分

（3）∵切线不过该抛物线的顶点，
∴设切线的解析式为，
将代入，得，
整理得，…………………………9分
依题意得，
即，
∴，
∴切线的解析式是.………………………………10分
将代入，得，
∴.…………………………………………11分
将代入，得，
∴.………………………………12分
∵，
∴，
由勾股定理得，…………………………13分
∴


.………………………………………………14分