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山西省吕梁市汾阳市海洪初级中学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）
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这是一份山西省吕梁市汾阳市海洪初级中学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
3．若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4）
C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
5．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上点N，M分别在BC，AB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
9．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立100周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28 B．＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在第 象限．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 ．
13．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝ ．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1）；
（2）3x2﹣5x+5＝7．
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）请画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）若△ABC的对应点分别为A1、B1、C1；请写出点A1、B1、C1的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点P（a，b）在△ABC上，写出点P的对应点P1的坐标．
（3）若△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A的对应点A2的坐标．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形．
19．（9分）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
20．（9分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
21．（9分）如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（11分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图1，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝∠ADB，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图2，其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
23．（13分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：∵3x2﹣1＝2x，
∴3x2﹣2x﹣1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，
故选：A．
3．若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4×2k＜0，从而得到k的取值范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4×2k＜0，
解得k＞，
所以k可以取4．
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4）
C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
【分析】先按点A、点B的坐标确定坐标原点，画出平面直角坐标系，对应点A与C、B与D连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
5．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上点N，M分别在BC，AB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】设AB＝m（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到AM＝PM，根据矩形的性质得到PN＝BM，得到y＝﹣x+m，根据三角形和矩形的面积得到结论．
【解答】解：设AB＝m（m为常数），
在△AMP中，∠A＝45°，AM⊥PM，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
∵四边形PMBN是矩形，
∴PN＝BM，
∴x+y＝PM+PN＝AM+BM＝AB＝m，
即y＝﹣x+m，
∴y与x成一次函数关系，
∵S＝S△ABC﹣S矩形PMBN＝m2﹣xy＝m2﹣x（﹣x+m）＝x 2﹣mx+m2，
∴S与x成二次函数关系．
故选：D．
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【解答】解：A、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点（1，3），故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣1+3）2+3，y＝﹣2（x+2）2+3，故错误，即本选项不符合题意，
C、当x＝0时，y＝1，抛物线与y轴的交点是（0，1），故正确，本选项符合题意，
D、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：C．
7．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由旋转的性质可得BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，
∴BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，
∴BB'＝＝＝3，
故选：D．
8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
9．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立100周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28 B．＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．
【解答】解：由题意得，＝28．
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
【分析】根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，
∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在第 三 象限．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，
∴，
解得：，
∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．
故答案为：三．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 （1，1） ．
【分析】首先配方得出二次函数顶点式进而得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
13．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝ 6 ．
【分析】方程移项后，两边加上一次项一半的平方，利用完全平方公式配方得到结果，求出m与n的值，即可求出mn的值．
【解答】解：方程x2﹣6x+7＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣7，
配方得：x2﹣6x+9＝2，即（x﹣3）2＝2，
∵方程配方为（x﹣m）2＝n，
∴m＝3，n＝2，
则mn＝3×2＝6．
故答案为：6．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3）的横坐标，
即x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ≤a≤3 ．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．
∴D（3，1），
当抛物线经过点B（1，3）时，则a＝3，
当抛物线经过D（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故答案为：≤a≤3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1）；
（2）3x2﹣5x+5＝7．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1），
∴（2x﹣1）（2x﹣1﹣3x）＝0，
∴2x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣5x+5＝7，
∴3x2﹣5x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，
∴x＝，
∴x1＝2，．
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）请画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）若△ABC的对应点分别为A1、B1、C1；请写出点A1、B1、C1的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点P（a，b）在△ABC上，写出点P的对应点P1的坐标．
（3）若△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A的对应点A2的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质，结合（1）即可解决问题；
（3）根据△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，进而可以写出点A的对应点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，1），B1（2，4），C1（4，3），点P1的坐标（b，﹣a）；
（3）点A2的坐标为（1，﹣1）．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形．
【分析】（1）令y＝0，则﹣+＝0，解方程求出x的值即得到点A、B的坐标；令x＝0，求出y的值，即得到点C的坐标；
（2）先由点A、B、C的坐标分别求出OA、OB、OC的长，再根据勾股定理分别求出AC2、BC2、AB2，可得AC2+BC2＝AB2，即可根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形．
【解答】（1）解：对于抛物线y＝﹣+，当y＝0时，则﹣+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝2；
当x＝0时，y＝2，
∴A（﹣，0），B（2，0），C（0，2）．
（2）证明：连接AC，BC，
∵OA＝，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴AC2＝（）2+22＝6，BC2＝（2）2+22＝12，
∴AC2+BC2＝6+12＝18；
∵AB＝2﹣（﹣）＝3，
∴AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
19．（9分）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
【分析】（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得方程解方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得，
（40+x﹣30）（600﹣10x）＝12000，
解得，x1＝20，x2＝30，
40+20＝60，40+30＝70，
答：这种商品的售价应定为60元或70元；
（2）600﹣20×10＝400，600﹣30×10＝300，
答：这时商家每月能售出该香椿商品400件或300件．
20．（9分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时x的值即可；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，表示出两个正方形的面积之和S，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x+49）+59
＝﹣（x﹣7）2+59，
当x＝7时，原式有最大值，最大值为59；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，
根据题意得：
S＝（）2+（6﹣）2
＝x2﹣3x+36
＝（x﹣12）2+18，
当x＝12时，S有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，12cm，这两个正方形面积的和为18cm2．
21．（9分）如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A点代入＝x2﹣3x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先解方程x2﹣3x﹣4＝0得到B（﹣1，0），再确定C（0，﹣4），然后利用三角形面积公式计算；
（3）设D（t，t2﹣3t﹣4），根据三角形面积公式得到×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，然后解方程得到D点坐标．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝x2﹣3x+c得16﹣12+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴△ABC的面积＝×（4+1）×4＝10；
（3）存在．
设D（t，t2﹣3t﹣4），
∵△ABD与△ABC的面积相等，
∴×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，
即|t2﹣3t﹣4|＝4，
解方程t2﹣3t﹣4＝4得t1＝，t2＝，
此时D点坐标为（，4）或（，4）；
解方程t2﹣3t﹣4＝﹣4得t1＝0，t2＝3，
此时D点坐标为（3，﹣4）；
综上所述，D点坐标为（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
22．（11分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图1，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝∠ADB，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图2，其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
【分析】（1）先证四边形ACBD是正方形，可得∠ADM+∠BDN＝45°＝∠MDN，由旋转的性质可得∠B＝∠DAE＝90°，AE＝BN，DN＝DE，∠BDN＝∠ADE，由“SAS”可证△MDE≌△MDN，可得MN＝ME，可得结论；
（2）方法同（1），由“SAS”可证△MDE≌△MDN，可得MN＝ME，可得结论；
【解答】解：（1）MN＝AM+BN，理由如下：
∵把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，
∴∠A＝∠B＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD是矩形，
∵AC＝BC，
∴四边形ACBD是正方形，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MDN＝∠ADB，
∴∠MDN＝45°，
∴∠ADM+∠BDN＝45°＝∠MDN，
如图，将△BDN绕点D逆时针旋转90°得到△ADE，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AE＝BN，DN＝DE，∠BDN＝∠ADE，
∴∠DAE+∠DAC＝180°，∠MDE＝∠ADM+∠ADE＝∠ADM+∠BDN＝∠MDN＝45°，
∴点E，点A，点M三点共线，
在△MDE和△MDN中，
，
∴△MDE≌△MDN（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝ME＝AE+AM＝AM+BN；
（2）如图，将△BDN绕点D逆时针旋转90°得到△ADE，
同理可证△MDE≌△MDN（SAS），
∴MN＝ME，
∴BN﹣AM＝MN．
23．（13分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
3．若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4）
C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
5．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上点N，M分别在BC，AB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
9．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立100周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28 B．＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在第 象限．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 ．
13．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝ ．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1）；
（2）3x2﹣5x+5＝7．
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）请画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）若△ABC的对应点分别为A1、B1、C1；请写出点A1、B1、C1的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点P（a，b）在△ABC上，写出点P的对应点P1的坐标．
（3）若△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A的对应点A2的坐标．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形．
19．（9分）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
20．（9分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
21．（9分）如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（11分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图1，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝∠ADB，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图2，其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
23．（13分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑。
1．疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：∵3x2﹣1＝2x，
∴3x2﹣2x﹣1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，
故选：A．
3．若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0没有实数根，则k的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4×2k＜0，从而得到k的取值范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4×2k＜0，
解得k＞，
所以k可以取4．
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4）
C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
【分析】先按点A、点B的坐标确定坐标原点，画出平面直角坐标系，对应点A与C、B与D连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
5．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上点N，M分别在BC，AB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】设AB＝m（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到AM＝PM，根据矩形的性质得到PN＝BM，得到y＝﹣x+m，根据三角形和矩形的面积得到结论．
【解答】解：设AB＝m（m为常数），
在△AMP中，∠A＝45°，AM⊥PM，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
∵四边形PMBN是矩形，
∴PN＝BM，
∴x+y＝PM+PN＝AM+BM＝AB＝m，
即y＝﹣x+m，
∴y与x成一次函数关系，
∵S＝S△ABC﹣S矩形PMBN＝m2﹣xy＝m2﹣x（﹣x+m）＝x 2﹣mx+m2，
∴S与x成二次函数关系．
故选：D．
6．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【解答】解：A、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点（1，3），故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣1+3）2+3，y＝﹣2（x+2）2+3，故错误，即本选项不符合题意，
C、当x＝0时，y＝1，抛物线与y轴的交点是（0，1），故正确，本选项符合题意，
D、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：C．
7．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由旋转的性质可得BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，
∴BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，
∴BB'＝＝＝3，
故选：D．
8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
9．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立100周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A．＝28 B．＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．
【解答】解：由题意得，＝28．
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
【分析】根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，
∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在第 三 象限．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，
∴，
解得：，
∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．
故答案为：三．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 （1，1） ．
【分析】首先配方得出二次函数顶点式进而得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
13．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则mn＝ 6 ．
【分析】方程移项后，两边加上一次项一半的平方，利用完全平方公式配方得到结果，求出m与n的值，即可求出mn的值．
【解答】解：方程x2﹣6x+7＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣7，
配方得：x2﹣6x+9＝2，即（x﹣3）2＝2，
∵方程配方为（x﹣m）2＝n，
∴m＝3，n＝2，
则mn＝3×2＝6．
故答案为：6．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3）的横坐标，
即x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ≤a≤3 ．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．
∴D（3，1），
当抛物线经过点B（1，3）时，则a＝3，
当抛物线经过D（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故答案为：≤a≤3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1）；
（2）3x2﹣5x+5＝7．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝3x（2x﹣1），
∴（2x﹣1）（2x﹣1﹣3x）＝0，
∴2x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣5x+5＝7，
∴3x2﹣5x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，
∴x＝，
∴x1＝2，．
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）请画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）若△ABC的对应点分别为A1、B1、C1；请写出点A1、B1、C1的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点P（a，b）在△ABC上，写出点P的对应点P1的坐标．
（3）若△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A的对应点A2的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质，结合（1）即可解决问题；
（3）根据△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，进而可以写出点A的对应点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，1），B1（2，4），C1（4，3），点P1的坐标（b，﹣a）；
（3）点A2的坐标为（1，﹣1）．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形．
【分析】（1）令y＝0，则﹣+＝0，解方程求出x的值即得到点A、B的坐标；令x＝0，求出y的值，即得到点C的坐标；
（2）先由点A、B、C的坐标分别求出OA、OB、OC的长，再根据勾股定理分别求出AC2、BC2、AB2，可得AC2+BC2＝AB2，即可根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形．
【解答】（1）解：对于抛物线y＝﹣+，当y＝0时，则﹣+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝2；
当x＝0时，y＝2，
∴A（﹣，0），B（2，0），C（0，2）．
（2）证明：连接AC，BC，
∵OA＝，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴AC2＝（）2+22＝6，BC2＝（2）2+22＝12，
∴AC2+BC2＝6+12＝18；
∵AB＝2﹣（﹣）＝3，
∴AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
19．（9分）2022年4月8日，CCTV﹣13新闻频道《朝闻天下》，报道了山东新泰《香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收》，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为30元的香椿商品进行直播销售，如果按每件40元销售，平均每月可卖出600件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨1元，其月销售量就将减少10件．为了实现平均每月12000元的销售利润，
（1）这种商品的售价应定为多少？
（2）这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
【分析】（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得方程解方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）设这种商品的涨价x元，根据题意得，
（40+x﹣30）（600﹣10x）＝12000，
解得，x1＝20，x2＝30，
40+20＝60，40+30＝70，
答：这种商品的售价应定为60元或70元；
（2）600﹣20×10＝400，600﹣30×10＝300，
答：这时商家每月能售出该香椿商品400件或300件．
20．（9分）问题提出
在学完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式﹣x2+2x+3的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x）+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4
因为（x﹣1）2≥0，
所以﹣（x﹣1）2≤0．
所以当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0．
所以当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+4的值最大，最大值是4．
所以﹣x2+2x+3的最大值是4．
尝试应用
（1）求代数式﹣x2+14x+10的最大值，并写出相应的x的值．
拓展提高
（2）将一根长24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时x的值即可；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，表示出两个正方形的面积之和S，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x+49）+59
＝﹣（x﹣7）2+59，
当x＝7时，原式有最大值，最大值为59；
（2）设一段为x，则另一段为24﹣x，
根据题意得：
S＝（）2+（6﹣）2
＝x2﹣3x+36
＝（x﹣12）2+18，
当x＝12时，S有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度12cm，12cm，这两个正方形面积的和为18cm2．
21．（9分）如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A点代入＝x2﹣3x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先解方程x2﹣3x﹣4＝0得到B（﹣1，0），再确定C（0，﹣4），然后利用三角形面积公式计算；
（3）设D（t，t2﹣3t﹣4），根据三角形面积公式得到×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，然后解方程得到D点坐标．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝x2﹣3x+c得16﹣12+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴△ABC的面积＝×（4+1）×4＝10；
（3）存在．
设D（t，t2﹣3t﹣4），
∵△ABD与△ABC的面积相等，
∴×5×|t2﹣3t﹣4|＝10，
即|t2﹣3t﹣4|＝4，
解方程t2﹣3t﹣4＝4得t1＝，t2＝，
此时D点坐标为（，4）或（，4）；
解方程t2﹣3t﹣4＝﹣4得t1＝0，t2＝3，
此时D点坐标为（3，﹣4）；
综上所述，D点坐标为（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
22．（11分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图1，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝∠ADB，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图2，其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
【分析】（1）先证四边形ACBD是正方形，可得∠ADM+∠BDN＝45°＝∠MDN，由旋转的性质可得∠B＝∠DAE＝90°，AE＝BN，DN＝DE，∠BDN＝∠ADE，由“SAS”可证△MDE≌△MDN，可得MN＝ME，可得结论；
（2）方法同（1），由“SAS”可证△MDE≌△MDN，可得MN＝ME，可得结论；
【解答】解：（1）MN＝AM+BN，理由如下：
∵把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，
∴∠A＝∠B＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD是矩形，
∵AC＝BC，
∴四边形ACBD是正方形，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MDN＝∠ADB，
∴∠MDN＝45°，
∴∠ADM+∠BDN＝45°＝∠MDN，
如图，将△BDN绕点D逆时针旋转90°得到△ADE，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AE＝BN，DN＝DE，∠BDN＝∠ADE，
∴∠DAE+∠DAC＝180°，∠MDE＝∠ADM+∠ADE＝∠ADM+∠BDN＝∠MDN＝45°，
∴点E，点A，点M三点共线，
在△MDE和△MDN中，
，
∴△MDE≌△MDN（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝ME＝AE+AM＝AM+BN；
（2）如图，将△BDN绕点D逆时针旋转90°得到△ADE，
同理可证△MDE≌△MDN（SAS），
∴MN＝ME，
∴BN﹣AM＝MN．
23．（13分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．
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