福建省泉州市南安市柳城教研片区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

2022-2023学年福建省泉州市南安市柳城教研片区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    下面说法正确的是(    )

A. 是最简二次根式 B. 与是同类二次根式
C. 形如的式子是二次根式 D. 若，则

3.    下列四条线段成比例的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

4.    一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，与位似，位似中心为且与在原点的两侧，若与的周长之比为：，点的坐标为，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    点、、分别是各边的中点，下列说法中错误的是(    )

A.
B. 与互相平分
C. 是的位似图形
D.

7.    如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：；；；；，能满足∽的条件有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.    在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是结果精确到参考数据：，，(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，一张矩形纸片的长，宽，以宽为边剪去一个最大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 若，则______．
13. 如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为          ．
     

14. 已知，代数式的值为______．
15. 已知、是方程的两个实数根，则的值为______．
16. 如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：；∽；；正确的是______填写序号

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有一个根为，求方程的另一根及的值．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
    画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后的；
    以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出将放大后的；
    判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．

21. 本小题分
    如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，．
    求证：∽；
    若，，求的值．
     
22. 本小题分
    如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
    求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
    若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．

23. 本小题分
    某商业街有店面房共间，年平均每间店面房的年租金为万元，由于物价上涨，到年平均每间店面房的年租金上涨到了万元，据预测，当每间的年租金定为元时，可全部租出；若每间的年租金每增加万元，就要少租出间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用万元，未租出的商铺每间每年交各种费用万元．
    求年至年平均每间店面房年租金的平均增长率；
    当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益收益租金各种费用为万元？
24. 本小题分
    【教材显现】下面内容是华师版八下第页练习．
    如图，如果直线，那么的面积和的面积是相等的．
    请你对上述的结论加以证明．
    【方法探究】如图，在中，点、分别在边、上，，，点在边上，连结、求证：．
    【拓展应用】如图，在中，、分别在边、上．，在线段上取一点点不与点、重合，连结并延长交于点，点、在线段上，且，，若，则______．
     
25. 本小题分
    “如图，在中，，于点这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：在图这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，设．
    探究发现：如图，若，点在线段上，则______；
    数学思考：
    如图，若点在线段上，则______用含，的代数式表示；
    当点在直线上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图的情形给出证明；
    拓展应用：若，，，请直接写出的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故与不是同类二次根式，故B错误；
形如的式子是二次根式，故C错误；
若，则，故D错误；
故选：．
根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故本选项错误；
B.，故本选项正确；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项错误；
故选：．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，
与的周长之比为：，
与的相似比为：，
的坐标为，与在原点的两侧，
点的对应点的坐标为，
故选：．
根据位似变换的概念得到∽，与的相似比为：，根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

6.【答案】 

【解析】解：、、分别是、的中点，
是的中位线，
，本选项说法正确，不符合题意；
B、点、、分别是各边的中点，
，，
四边形为平行四边形，
与互相平分，本选项说法正确，不符合题意；
C、，
∽，
和对应点的连线都经过同一点、对应边平行或在同一条直线上，
是的位似图形，本选项说法正确，不符合题意；
D、，
∽，
，故本选项说法错误，符合题意，
故选：．
根据三角形中位线定理判断；根据平行四边形的判定定理和性质定理判断；根据位似图形的概念判断；根据相似三角形的性质判断．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【解答】
解：，，∽，故符合题意；
，则∽，故不符合题意，
，且夹角，∽，故符合题意；
由可得，此时不确定，故不能确定∽；
故不符合题意，
，，∽，故符合题意；
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或舍去，
经检验，是原方程的解，
，
故选：．
设下部高为 ，根据雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
矩形与原矩形相似，
：：，
即：
，
故选：．
根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，
，，
是方程的一个根，
是方程的一个根，
，
，
是方程的一个根，
即是方程的一个根，
故选：．
根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
设，，
，
故答案为：．
根据已知设，，代入求出即可．
本题考查了比例的性质的应用，能熟记比例的性质是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，．
，，
∽，
：：：，
，
，
，
故答案为．
利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
把代入，
原式，
，
，
．
故答案是：．
利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．
此题考查了二次根式的化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，，
．
故答案为：．
利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
不能说明，
故错误，不符合题意；
，
，
又，
∽，
故正确，符合题意；
如图，连接，

由题意得：，
，分别是与的中点，
，
∽，
，
即，
，
在中，，
，
解得：，
，
故正确，符合题意；
，
，
即，
故正确，符合题意，
正确的是，
故答案为：．
由，则不能说明，故错误；利用同角的余角相等可说明，故正确；连接，由是的中位线，得，由∽，得，则，利用勾股定理得，解得，，故正确．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，． 

【解析】先把等号右边因式分解，再移项，再提取公因式，得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
此题考查了因式分解法解一元二次方程，用到的知识点是提公因式法，关键是通过因式分解把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

19.【答案】解：把代入方程得到，
解得：，
当时，原方程为：，
解得：或，
即方程的另一根为．
故方程的另一根为，的值为． 

【解析】首先把代入方程得到，即可求出，再把的值代入方程求出方程的解即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出的值是解此题的关键．也可以利用一元二次方程根与系数的关系先求出方程的另一根，再求的值．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

与关于点为位似中心的位似图形，
如图，点为所作，点的坐标为． 

【解析】根据点平移的坐标变换特征得到、、的坐标，然后描点即可；
根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到、、的坐标，然后描点即可；
延长A、B、，它们的交点为位似中心点，从而得到点的坐标．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了平移变换．
 

21.【答案】解：，，
，
，
，
，
∽，
由可知：∽，
由可知：，
，
∽，
，
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．
由于，，所以，从而可证明，进而可证明∽；
由∽，得，又易证∽，所以，从而可知．
 

22.【答案】证明：由题意，得
，
，
，
即，
关于的“勾系一元二次方程”必有实数根

解：当时，有，即，
，即，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】只要证明即可解决问题．
当时，有，即，由，即，推出，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设年至年平均每间店面房年租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，舍去．
答：年至年平均每间店面房年租金的平均增长率为．
设每间店面房的年租金上涨万元，则可租出间店面房，
根据题意得：，
化简得：，
解得：，舍去．
答：当每间店面房的年租金上涨万元时，该商业街的年收益为万元． 

【解析】设年至年平均每间店面房年租金的平均增长率为，根据年及年平均每间店面房年租金，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每间店面房的年租金上涨万元，则可租出间店面房，根据收益租金各种费用，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】【方法探究】证明：如图中，连接．

，
∽，
，
，
，
，
，
，
．

【拓展应用】解：如图中，

，
，
∽，
，
，
，
，，
，
故答案为．
【方法探究】证明∽，推出，推出，由，推出，由，推出，可得结论；
【拓展应用】如图中，利用相似三角形的性质求出的面积，再根据计算即可．
本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用模型解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：；
；
成立，理由如下，如图，

，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
；
或． 

【解析】解：当时，即，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
故答案为；
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
故答案为；
见答案
由有，∽，
，
，
，
在中，，，
，
当在线段上时，
在中，，，
根据勾股定理得，
，或舍
而，
此种情况不存在，
当在延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
如图，当点在延长线上时，

，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍
综上所述，或．


先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可．
方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可．
由的结论得出∽，判断出，求出，再利用勾股定理，分三种情形分别求解即可．
本题属于相似形综合题综合题，主要考查相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用．