福建省福州市平潭县综合实验区2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试卷（含答案）

2022-2023学年第一学期平潭综合实验区期中学业水平考试

   九年级数学试卷

【试卷共5页，25道题；完成时间：120分钟；试卷满分：150分；命题人：李小霞；校对人：林于新】

友情提示：请将所有答案填写在答题卡上，在本卷上作答均无效

一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每道题有四个选项，只有一个选项符合题目要求。）

1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．        B．     C．    D．

2．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

3．二次函数图象的顶点坐标是（　　）

A． B． C． D．

4．求方程 的根的情况是（　　）

A．没有实根          B．两个不相等的实数根       C．两个相等的实数根       D．无法确定

5．把抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（    ）

A．  B．  C． D．

6．已知的半径为，圆心到直线的距离为，直线与的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

7．下列说法中，正确的是（    ）

A．长度相等的弧是等弧 B．圆的每一条直径都是它的对称轴

C．直径如果平分弦就一定垂直弦 D．直径所对的弧是半圆

8．如图，已知为的直径，点B为的中点，则下列结论中一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，分别与相切于，，C为上一点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（共6题，每题4分，满分24分。）

11．若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．

12．若二次函数的图象经过三点，则大小关系为___________．

13．在平面直角坐标系中，把点绕原点O顺时针旋转，所得到的对应点Q的坐标为__________．

14．如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，，则的度数为_________．

15．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则___ ．

16．如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________．

（第14题图）                    （第15题图）                         （第16题图）

三、解答题（共9题，满分86分。）

17．（8分）解方程：．

18．（8分）根据二次函数图象，解决下列问题：

(1)  求函数解析式；    

(2)  当x满足什么条件时，y随着x的增大而减小？

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、

(1)若将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，请画出平移后的；

(2)画出绕原点旋转后得到的；

(3)顺次连接，，，，所得到的图形是轴对称图形吗？

20．（8分）如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接OD．

(1)求证：是等边三角形；

(2)当时，试判断的形状，并说明理由．

21．（8分）如图，四边形ABCD内接于，为的直径，弦平分．

(1)试判断的形状，并给出证明；

(2)若，，求的长度．

22．（10分）如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线．

(2)若，，求半径．

23．（10分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．

(1)求与之间的函数关系式；

(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

24．（12分）已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图所示以为直径作圆，

记作．

(1)由题意可得抛物线的解析式为______________，D点坐标为___________；（写出计算过程）

(2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；

(3)在抛物线第一象限的对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；

(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．

①用m的代数式表示直线的截距；

②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．

2022-2023学年平潭综合实验区期中学业水平考试

 九年级数学参考答案

一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每道题有四个选项，只有一个选项符合题目要求。）

1．C      2．A       3．C      4．B       5．B      6．A       7．D      8．B      9． B       10．B

二、填空题（共6题，每题4分，满分24分。）

11．        12．或     13．      14．##度       15．        16．

三、解答题（共9题，满分86分。）

17．（8分）解：原方程的系数分别是，，，

∴，

∴，

∴，．

18．（8分）（1）解：代入顶点，设函数的解析式为

再代入，得：，解得：． 故函数解析式为．

（2）解：由图可知当时，y随着x的增大而减小．

19．(8分）（1）如图所示，即为平移后的图形；

（2）如图所示，即为绕原点旋转后的图形；

（3）由图可知，四边形是轴对称图形．

20．（8分）（1）证明：由旋转得 ，，

∴是等边三角形；

（2）为直角三角形，理由如下：

当，由旋转得，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴是直角三角形．

21．（8分）（1）解： 是等腰直角三角形，证明过程如下：

为的直径，

∴．

∵弦平分．

，

，

．

又，是等腰直角三角形．

（2）在中，，

，

在中，，，

．

即CD的长为：．

22．（10分·）（1）证明：连接，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

为半径，

是的切线；

（2）解：过点作于，

，，

四边形为矩形，

，，

设的半径为，则，

，

，

，

解得．

半径为5．

23．（10分）(1)（1）解：设，

由题意得：，解得：，

∴；

（2）解：由题意得：

；

∵，抛物线开口朝下，有最大值，

∵，

∴当时，有最大值：；

∴当每瓶洗手液的售价定为元时，利润最大，最大利润是元．

24．（12分）（1）抛物线过点，

，

．

抛物线解析式为；

令，则，

解得：或8，

，，

，，

．

为直径作圆，圆心为，

，

，

；

故答案为：，；

（2）直线与相切，理由：

连接，，，过点作轴于点，如图，

点为抛物线的顶点，

，

，，

，

，

，，，

四边形为矩形，

，

，

．

，

，

，

，

，

．

为的半径，

直线与相切；

（3）在抛物线对称轴上存在点，若将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，理由：

点在抛物线的对称轴上，对称轴为直线，

设点，

则，

过点作于点，过点作于点，如图，

由题意得：，，，．

，．

，

，

．

在和中，

，

，

，．

，

，

点在抛物线上，

，

解得：或3，

或．

在抛物线对称轴上存在点，若将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，此时点的坐标为或．

25．（14分）（1）

解：抛物线与轴交于点、，

，

解得：，

抛物线的表达式为，

，

顶点的坐标为；

（2）

解：①设点，直线的解析式为，

则，

解得：，

直线的解析式为，

直线的截距为；

②抛物线顶点的坐标为，

抛物线对称轴为直线，

当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1，

则，

，

，

由①知：直线的截距为，即，

又，

，

，

由题意：，

，

解得：或，

，

，

根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，

符合条件的直线为；

当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，

、，

直线的解析式为，

，

．