高三数学总复习必刷题系列之拔高训练 平面解析几何章末综合训练（有答案）

这是一份高三数学总复习必刷题系列之拔高训练 平面解析几何章末综合训练（有答案），共25页。试卷主要包含了4平面解析几何章末综合训练等内容，欢迎下载使用。

第九章 解析几何
9.4平面解析几何章末综合训练
一、单选题(共16题)
1．椭圆y249+x224=1与双曲线y2−x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为(　　)
A．48 B．24 C．2243 D．123
2．若圆C:x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，由点Pa,b向圆C作切线，切点为A，则PA的最小值是（    ）
A．4 B．25 C．3 D．6
3．已知双曲线x24−y2b2=1 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　）
A．x24−3y24=1 B．x24−4y23=1
C．x24−y28=1 D．x24−y212=1
4．已知M是抛物线C：y2=−4x上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，则点M的横坐标为（    ）
A．－3 B．－2 C．－4 D．－23
5．已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点，定点Q2,0，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）
A．x236+y232=1 B．x232+y236=1
C．x29+y25=1 D．x25+y29=1
6．P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点，M,N分别为圆C:(x−3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(00,b>0)的左、右焦点分别是F1(−2,0)、F2(2,0)，A、B是其右支上的两点，AF2=3F2B,|AF1|=|AB|，则该双曲线的方程是（    ）
A．x23−y2=1 B．x22−y2=1 C．x22−y22=1 D．x2−y23=1
9．抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若AB=8，则p=（    ）
A．12 B．1 C．2 D．4
10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且OA=OF2=2OM，则椭圆C的离心率为
A．104 B．106 C．55 D．53
11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率的取值范围为(2,3)，则该双曲线的渐近线与圆P:(x−2)2+y2=3的公共点的个数为
A．1 B．2 C．0 D．4
12．已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l过F1，且l与一条渐近线平行，若F2到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）
A． (5,+∞) B． (1,5) C． 52,+∞ D． 1,52
13．已知椭圆x2a2+y2b2=1 a>b>0的左、右焦点分别为F1−c，0，F2c，0，P是椭圆上一点，PF2=F1F2=2c，若∠PF2F1∈π3,π，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A．0，12 B．0，13 C．12，1 D．13，12
14．直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（　　）
A．a+b B．a+b2 C．ab D．12ab
15．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的右顶点为A，离心率为32，若直线l与椭圆C交于E,F两点(E,F不是左、右顶点)且满足AE⋅AF=0，则直线l在x轴上的截距为(    )
A．−2 B．−65 C．2或65 D．65

16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C与直线y=kx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，曲线C的左､右焦点分别为F1，F2.若kPA⋅kPB=116，则下列说法正确的是（    ）
A．a=2
B．双曲线C的渐近线方程为y=±4x
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为1
D．双曲线C的离心率为52
二、多选题(共4题)
17．已知圆C：x−22+y2=1，直线l：x+y=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（    ）
A．直线l与圆C相交
B．PQ的最小值为2−1
C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个
D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2
18．已知椭圆C：x29+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上（异于左右顶点），记△PF1F2的面积为S，则（    ）
A．当∠F1PF2=60°时，S=3
B．PF1⋅PF2的取值范围为3,6
C．△PF1F2的面积的最大值为32
D．椭圆C上有且只有4个点P，使得△PF1F2是直角三角形
19．已知抛物线C：y2=4x，圆F：x−12+y2=14（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A(−1,0)，则下列结论中正确的是（    ）
A．PQ的最小值是12 B．PFPA的最小值是12
C．当∠PAQ最大时，AQ=152 D．当∠PAQ最小时，AQ=152
20．已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为π3的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且MP=MF1，下列判断正确的是（    ）
A．∠F1PF2=π6 B．E的离心率等于2+3
C．△PF1F2的内切圆半径是3−1 D．双曲线渐近线的方程为y=±2x
三、填空题(共6题)
21．已知圆C:x2+y2−2x−2y+1=0，直线l:x+y−4=0，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA,MB，切点分别为A,B，则∠ACB最小时，原点O到直线AB的距离为___________.
22．已知离心率e=52的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点．若△AOF的面积为1，则实数a的值为___．
23．已知点A2,0，抛物线C:x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交与点M，与其准线相交于点N，则FM:MN=___________.
24．圆C的圆心C在抛物线y2=2x上,且圆C与y轴相切于点A,与x轴相交于P,Q 两点,若OC⋅OA=9( O为坐标原点),则PQ＝_______．
25．圆x2+y2=4与y轴交于点A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的交点分别为C，D，当梯形ABCD的周长最大时，此双曲线的方程为________________．
26．已知双曲线C:x2a2−4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1:4x−3y+6=0和l2:x=−1的距离之和的最小值为__________．
四、解答题(共6题)
27．已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x，且过点P（3，2）．
(1)求C的方程；
(2)设Q（1，0），直线x=t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．
28．已知离心率为22的椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)经过抛物线x2=−4y的焦点F，斜率为1的直线l经过(1,0)且与椭圆交于C,D两点.
（1）求△COD面积；
（2）动直线m与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x=1,x=2分别交于A,B两点，F2为椭圆的右焦点，证明AF2BF2为定值.
29．已知抛物线L:y2=2pxp>0，且过抛物线焦点F作直线交抛物线所得最短弦长为4，过点M5,0作斜率存在的动直线l与抛物线L交于A,B两点.
（1）求抛物线L的方程；
（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点Px0,0，使得直线PB与直线m的交点恒在一条直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.
30．设抛物线C:x2=2py00的左､右焦点分别为F1､F2，点P在椭圆上，有PF1+PF2=4，椭圆的离心率为e=12；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知N4,0，过点N作直线l与椭圆交于A,B不同两点，线段AB的中垂线为l'，线段AB的中点为Q点，记l'与y轴的交点为M，求MQ的取值范围.
32．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M：x2+y2+2x−15=0的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.


9.4平面解析几何章末综合训练(答案)
一、单选题(共16题)
1．椭圆y249+x224=1与双曲线y2−x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为(　　)
A．48 B．24 C．2243 D．123
【答案】B
【详解】
        结合椭圆性质,可以得到F1(0,5),F2(0,−5)
        建立方程{y2−x224=1y249+x224=1,得到点P的坐标为(245,75),
        故SΔPF1F2=12⋅F1F2⋅245=24,故选B.
2．若圆C:x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，由点Pa,b向圆C作切线，切点为A，则PA的最小值是（    ）
A．4 B．25 C．3 D．6
【答案】A
【详解】因为圆x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，所以直线2ax+by+6=0过圆的圆心，
由圆的方程得圆心C −1,2，代入直线得−2a+2b+6=0，整理得a−b=3，
因为点Pa,b，所以P为直线x−y=3上一动点，
因为PA与圆相切，所以PA⊥AC，PA=PC2−AC2=PC2−2，所以PA最小时，PC也最小，PCmin=−1−2−31+1=62=32，所以PAmin=18−2=4.
故选：A.
3．已知双曲线x24−y2b2=1 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　）
A．x24−3y24=1 B．x24−4y23=1
C．x24−y28=1 D．x24−y212=1
【答案】D
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2＝4，双曲线的两条渐近线方程为y=±b2x，
不妨设A在第一象限，则Ax,b2x，x>0，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得2x⋅bx=2b，又x>0，
∴x=1，
将A1,b2代入x2+y2＝4，可得1+b24=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为x24−y212=1，
故选：D．
4．已知M是抛物线C：y2=−4x上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，则点M的横坐标为（    ）
A．－3 B．－2 C．－4 D．－23
【答案】A
【详解】设Mx0，y0(x0≤0)，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，由抛物线性质知y02=3，则y0=23，代入抛物线C：y2=−4x，得x0=−3．
故选：A.
5．已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点，定点Q2,0，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）
A．x236+y232=1 B．x232+y236=1
C．x29+y25=1 D．x25+y29=1
【答案】C
【详解】根据题意，作图如下：

易知NM=|NQ|，则NP+NM=6，即NP+NQ=6>PQ=4，
故点N的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>1)，则c=2,2a=6，则a=3，
故b=a2−c2=5，则椭圆方程为：x29+y25=1.
故选：C.
6．P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点，M,N分别为圆C:(x−3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(00,b>0)的左、右焦点分别是F1(−2,0)、F2(2,0)，A、B是其右支上的两点，AF2=3F2B,|AF1|=|AB|，则该双曲线的方程是（    ）
A．x23−y2=1 B．x22−y2=1 C．x22−y22=1 D．x2−y23=1
【答案】D
【详解】设F2B=m，则AF2=3m,|AB|=4m，
∴AF1=|AB|=4m，由|AF1|−|AF2|=2a得m=2a,∴BF1=4a，
设∠AF2F1=θ，
由余弦定理可知：(8a)2=42+(6a)2−48a⋅cosθ   ①(4a)2=42+(2a)2+16a⋅cosθ   ②
由①，②得a2=1，又a2+b2=c2=4，∴b2=3，
∴双曲线方程为x2−y23=1.
故选：D.

9．抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若AB=8，则p=（    ）
A．12 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】设过F且斜率为1的直线方程为y=x−p2,联立y=x−p2y2=2px,化为x2−3px+p24=0,
设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=3p,x1x2=p24,
∴|AB|=(1+1)x1+x22−4x1x2=29p2−p2=8,解得p=2.
故选:C.
10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且OA=OF2=2OM，则椭圆C的离心率为（    ）
A．104 B．106 C．55 D．53
【答案】D
【详解】设椭圆的左焦点为F1,
因为OA=OF2=OF1,所以∠F1AF2=90°,如图所示,

所以tan∠AF2F1=OMOF2=12,
设AF1=m,AF2=n,则m:n:2c=1:2:5,
所以e=2c2a=2cm+n=53,
故选:D
11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率的取值范围为(2,3)，则该双曲线的渐近线与圆P:(x−2)2+y2=3的公共点的个数为（    ）
A．1 B．2 C．0 D．4
【答案】D
【详解】由题意可得20的焦点到渐近线的距离为1，则b=1，所以双曲线方程为C：x2a2−y2=1a>0，由y=kxx2a2−y2=1可得1a2−k2x2−1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=0，即x2=−x1，∴B−x1,−y1，设Px0,y0
则x12a2−y12=1，x02a2−y02=1，所以x12−x02a2=y12−y02，即y12−y02x12−x02=1a2，
又kPA=y1−y0x1−x0，kPB=−y1−y0−x1−x0，kPA⋅kPB=116，所以kPA⋅kPB=y1−y0x1−x0⋅−y1−y0−x1−x0=y02−y12x02−x12=1a2=116，∴a2=16，即a=4，故A错误；
所以双曲线C：x216−y2=1，b=1，c=17
双曲线C的渐近线方程为y=±14x，离心率为174，故B错误，D错误；
若PF1⊥PF2，则PF12+PF22=PF1−PF22+2PF1PF2=2172，
所以PF1PF2=2，△PF1F2的面积为1，故C正确.
故选：C.
二、多选题(共4题)
17．已知圆C：x−22+y2=1，直线l：x+y=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（    ）
A．直线l与圆C相交
B．PQ的最小值为2−1
C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个
D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2
【答案】BC
【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则d=2+02=2，圆的半径r=1.
对于A：因为d=2>1，所以直线l与圆C相离.故A错误；
对于B：由圆的几何性质可知：PQmin=d−r=2−1（此时CQ⊥l，P在C,Q之间）.

对于C：设m：x+y+λ=0到直线l：x+y=0的距离为1.
则λ2=1，所以λ=±2.

当λ=2时，直线m1：x+y+2=0，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则d1=2+22=2+1>1.此时到直线m1与圆C相离，没有交点；
当λ=−2时，直线m2：x+y−2=0，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则d2=2−22=2−10)，|BC|=t(0b>0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M：x2+y2+2x−15=0的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.
【答案】（1）x24+y23=1；（2）12,83
【详解】（1）由题意知ca=12，则a=2c，
圆M的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而椭圆的左焦点为F1−1，0，即c=1，
所以a=2，又b2=a2−c2，得b=3．
所以椭圆的方程为：x24+y23=1.
（2）可知椭圆右焦点F21，0．
（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时k不存在，直线l：x=1，直线l1:y=0，
可得：AB=3，CD=8，四边形ACBD面积为12.  
（ⅱ）当l与x轴平行时，此时k=0，直线l:y=0，直线l1:x=1，
可得：AB=4，CD=43，四边形ACBD面积为83.  
（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx−1 k≠0，并设Ax1,y1，Bx2,y2.
由y=k(x−1),x24+y23=1,得4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0.
显然Δ>0，且x1+x2=8k24k2+3， x1x2=4k2−124k2+3.
所以AB=1+k2x1−x2=12(k2+1)4k2+3.      
过F2且与l垂直的直线l1:y=−1k(x−1)，则圆心到l1的距离为2k2+1，
所以CD=242−(2k2+1)2=44k2+3k2+1.  
故四边形ACBD面积：S=12ABCD=121+14k2+3.
可得当l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,83).
综上，四边形ACBD面积的取值范围为12，83．