新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题20平面解析几何选填压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题20平面解析几何选填压轴题（教师版），共54页。

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵F到渐近线的距离为，∴，
则△FOH的内切圆的半径为，
设△FOH的内切圆与FH切于点M，则
由，得
，
即
即
即，
由，得，由于 解得，
故选：C
2．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．
则，，
解得，，
如图：
在中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
设 则有，，
所以，即有，所以，
所以===，
设,
则,
令，得，
所以在上恒成立,
所以在上单调递减，
当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，
所以，
即：.
故选：C.
3．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
4．（2022·云南昭通·高二期末）已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，即，
所以，即，
所以，
故选：D.
5．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
7．（2022·全国·二模（理））已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得：渐近线方程为，
设切线方程为，联立得：
，
由得：，
解得：，
所以切线方程为，
令得：，所以，
联立与，解得：，
联立与，解得：，
因为N为MQ的中点，
所以，
解得：，
所以离心率为
故选：A
8．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，
，
.
所以
可得．
过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形，
因为，所以，
又，所以有．
设，则，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以离心率，
故选：C
9．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【详解】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故选：D
11．（2022·福建师大附中高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【详解】，
点A是线段的中点，
为直径所对的圆周角，
，
为线段的垂直平分线，
，，
过的直线的倾斜角为，
，
，
，为椭圆C的焦点，
，
且，
，
，
点B在椭圆C上，
，
，
，即，
故答案为：.
12．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．
【答案】
【详解】不妨设的倾斜角为锐角向量与同向，
渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，，
，，
，
，，成等差数列，，，
在直角中，，由对称性可知：的斜率为，
，，（舍去）；
，，，
故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【答案】
【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
故答案为：.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，满足，该双曲线的离心率为___________________．
【答案】2
【详解】因为，所以，
所以，故P点在左支上，
作的内切圆M，设内切圆M与切于点C，与切于点B，该内切圆M切于A点，
连接，则，
且平分，平分，
接下来证明点A为双曲线的左顶点，
由双曲线的定义可知：，因为，
所以，设点A坐标为，
则，解得：，故点A为双曲线的左顶点，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】##
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
②范围（最值）问题
1．（2022·河南·郑州市第七中学高二阶段练习）已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 ，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得，
故有．
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴．
两边开方可得 ，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
2．（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，要使最大只需到中点距离最大，
又且，
令，则，整理得，
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，
故，而，故.
故选：D
3．（2022·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为拋物线与直线只有一个交点，
所以只有一个解，消去得，
所以，，因为，所以，
可化为，即，
所以，，因为点在第一象限，所以，，
因为，所以，可得，
所以，
因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大，
故.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故选：B．
5．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
7．（2022·贵州·高二学业考试）已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
8．（2022·四川南充·高二期末（文））已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得.
所以，
对于函数，其开口向上，其两个零点分别可以作为椭圆和双曲线的离心率，即零点，
根据二次函数零点分布的知识有，
画出不等式组组成的可行域，
令，表示可行域上的点与定点连线的斜率的取值范围，
由，可得，又，
由图可知的取值范围在直线的斜率和的斜率之间，也即.
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
10．（2022·辽宁·高二期末）过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，
则联立后得到，设，
，，则，
同理设可得：，
因为|k1·k2|=2，所以，
当且仅当，即或时，等号成立，
故选：B
11．（2022·全国·高三专题练习）已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________．
【答案】
【详解】（1）当直线斜率不存在时，设，
此时，则，∴，
又，联立解得或（舍去），∴.
（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，
直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，
又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）
联立化为，则，，
，∴，
，
代入（*）可得．
∴，解得，
综上可知：实数m的取值范围为．
故答案为：
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点作的切线，且相交于点，则面积的最小值为_____．
【答案】16
【详解】根据题意可知：，设，直线斜率存在，则设其方程为：，代入，整理可得：，
则，
由，即，则，
故切线的方程为：，
同理切线的方程为：，联立以上方程可得：
，即点，
设点到直线的距离为，则，
而
，
故，
显然，当时，有最小值.
故答案为：.
13．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】即，表示双曲线的一支，
表示过点斜率为的直线，
由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，
当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，
当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为________.
【答案】
【详解】由题意，不妨设在第一象限，
设，由，得，则，
因为双曲线在点处的切线与平行，
所以，解得，则，
所以，
所以点到直线的距离，
因为，，
所以，
所以．
令，则，
因为，所以，所以，
可得，
当且仅当，即时，面积取得最大值．
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）点，是曲线：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于和；线段，的中点分别为，直线与轴垂直且点在上.若以为圆心的圆与直线恒有公共点，则圆面积的最小值为________.
【答案】
【详解】当直线斜率均存在时，令且，
联立与曲线并整理得：，
且，则，
所以，故，
由题意, 得，联立与曲线并整理得：，
同理，，，可得，
所以，
所以直线： ，
整理得：，故过定点，
当直线中一条的斜率不存在时，令，则，
此时，，故仍旧过，
又因为，要使以为圆心的圆与直线恒有公共点，
则点在圆上，或者在圆内，设圆的半径为，则，
因为，
所以，故圆最小面积为.
故答案为：.
③轨迹问题
1．（2022·上海黄浦·二模）将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确B．①②均错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【详解】设，，，则.
对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；
对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，
两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接、、，
则，，，
∴⊥平面，∴，
同理，∴平面．
设，连接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，
连接OP，则，∴，
可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，
OE=，如图：
，，，
则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四边形是菱形，则
∴的长度为，故点P的轨迹长度为．
故选：A．
3．（2022·广东佛山·三模）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．点的横坐标为
C．点的纵坐标为D．的值域是
【答案】C
【详解】连接，则，圆的标准方程为，
该圆的直径为，
设点，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，
当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，，
对任意的，，即函数的定义域为，
，故函数为偶函数，A错；
当点在第一象限时，，因为，此时，B错；
当点不与点重合时，，
因为，则，
当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足，
综上所述，点的纵坐标为，C对；
对于D选项，，所以，，D错.
故选：C.
4．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．
又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，
因为，所以点在圆C的内部．
作直线，垂足为D，设，因为，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，．
此时，又，
所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
故选：A．
5．（2022·湖南益阳·一模）若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则
D．不存在点，使得取得最小值
【答案】C
【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；
设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，
由双曲线的定义可得：，即，
又，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；
由且，解得：，
∴，则，
∴，同理可得：，
设直线，直线，联立方程得，
设△的内切圆的半径为，则，解得，即，
∴，
由，可得，解得，故， C正确；
若与关于y轴对称，则且，而，
∴，故要使的最小，只需三点共线即可，
易知：，故存在使得取最小值，D错误.
故选：C.
6．（2021·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
由，
知G为的重心，则G的坐标为，
由，知点P在角的平分线上，
又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，
如图，设角平分线交于，则，
故，由为角平分线可得，
而，故，故即,
因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．
若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；
所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，，
由，得：，
可知：，
所以，
所以
，
解得，
所以直线MN的方程为：，
则原点O到直线MN的距离为：．
故选：C．
7．（多选）（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（ ）
A．点不是圆的“3倍分点”
B．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为
C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”
D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件
【答案】BCD
【详解】若满足，设，，则有，，，.如下图：
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；
过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：
若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，解得.又，，
即，解得，
又与坐标轴得交点为与，
则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；
在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，
则有，设，，，，则有，，
如下图：
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，即，综上，，
所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正确；
设，，.如下图：
若点是圆的“1倍分点”则有，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，解得，，
由上面的结论可知，若点是圆的“2倍分点”， 解得，，
若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，
则是的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
8．（多选）（2022·全国·高三专题练习）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【答案】ABD
【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；
设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，
故D正确
故选：ABD．
【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：．
性质2：平分切点弦．
性质3：的最大值为，的最小值为．
9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则( )
A．B．直线恒过定点
C．A、B中点轨迹方程：D．面积的最小值为16
【答案】ABD
【详解】圆可化为，则，半径r=1，
∴抛物线的焦点为，∴，，∴抛物线C的方程为，
由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，
由，得，则，即，
∴，，
则，
解得或(舍，否则直线l过原点)，
∴，，故A正确；
直线方程为，恒过定点，故B正确；
设中点为，
则，，消去参数得，故C错误；
，
原点到直线的距离为，
∴，
∴时，为最小值，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选）（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，若，则下列关于动点P的结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所包围的图形的面积等于
B．当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C．当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．若点，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】设，因为，整理得，即．
A：点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16，正确；
B：圆的半径为4且，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，所以△PAB面积的最大值是，错误；
C：当A，B，P不共线时，由，2，，即，故．由角平分线定理的逆定理知：射线PO是∠APB的平分线，正确；
D：因为，即2PB|，则，又P在圆上，如图所示，
所以当P，Q，B三点共线时，取最小值，此时，正确.
故选：ACD．
11．（2022·全国·高三专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；
【答案】
【详解】设点，则的重心，
∵是不等边三角形，∴，
再设的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵点N是的外心，∴，
即，
化简整理得轨迹E的方程是.
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：.
12．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【详解】设，则，
整理得．
设，．联立
整理得，
故①，②．
又，故③．
联立①②③，解得．
故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：．
令，此时，，于是直线过定点．
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点．
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：．
14．（2022·北京房山·高二期末）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；
③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；
④与圆始终有两个交点.
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】
【详解】根据曲线方程，可画图像，根据曲线的方程结合图形可知，曲线关于轴对称，①错误；
当时，曲线方程可写为
时，或
令，上述方程可化为
结合上图得，的整数取值为0，-1，-2.
时，或；
时，上述曲线方程写为，解得，此时不为整数；
时，.
所以时，曲线上有4个整点 分别为②正确；
由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，③正确；
由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点
所以曲线与圆恒有两个交点，④正确.
故答案为：.
15．（2021·江苏·高二单元测试）定圆M:，动圆N过点且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E，设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最小时，则直线AB的斜率是_________．
【答案】
【详解】因为在圆M:内，所以圆N内切于圆M，，
∵，所以点N的轨迹E为椭圆，设椭圆方程为，则，，所以，∴E：，若AB为长轴或短轴时，，若AB斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，，联立方程，所以，，所以，因为，所以，将替换为，可得：，所以由基本不等式得：，此时，当且仅当即时等号成立，综上：面积最小为，此时直线AB的斜率是.
故答案为：
④相切问题
1．（2022·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【答案】C
【详解】由可得在以为圆心，1为半径的圆上，
表示点与点的距离的平方，
即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，
即有，
由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，
圆心与切点的距离为，
由此可得的最小值为．
故选：C．
2．（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A．B．
C．D．e4＋5e2＋5
【答案】C
【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示：
当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案.
故选：C
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，
当时，其图象不存在，
当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行，
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：B．
【点睛】三种距离公式：
（1）两点间的距离公式：
平面上任意两点间的距离公式为；
（2）点到直线的距离公式：
点到直线的距离;
（3）两平行直线间的距离公式：
两条平行直线与间的距离.
4．（2022·辽宁锦州·高二期末）若实数，，，满足，，则的最小值是______．
【答案】2
【详解】设点为函数上任意一点，
点为函数上任意一点，
则
由，可得
设与直线平行的直线与函数相切于，
则，解之得或（舍）则切点
又切点到直线的距离
则最小值为，的最小值为2
故答案为：2
5．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））若实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】因为
所以.
所以点在曲线上.
点在曲线上.
的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值.
等价于曲线平行于的切线到曲线的距离.
设切点为,,
则或（舍）
所以，切点.
该点到直线的距离为：.
所以的最小值为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
【答案】8
【详解】因为实数满足，故在圆：上.
而，设，
则表示到曲线上的点的距离的平方.
又，
因为在为增函数，且，
故当时，即；当时，即；
故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为.
故到曲线上的点的距离最小值为，
而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为，
故的最小值 为.
故答案为：.