专题23 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题23 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题23 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）
一、单选题
1．（2022·房山模拟）将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　)

A．433cm B．22cm C．4cm D．233cm
2．（2021九上·门头沟期末）在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则sinA的值是（　　）
A．23 B．13 C．255 D．55
3．（2021九上·通州期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到AB的位置．已知AO=4米，若栏杆的旋转角∠AOA=47°，则栏杆端点A上升的垂直距离AH为（　　）

A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．4sin47°米
4．（2021九上·石景山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=4，BC=3，则sinA的值为（　　）

A．35 B．34 C．43 D．45
5．（2021九上·昌平期末）已知∠A为锐角，且sinA＝12，那么∠A等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2021九上·平谷期末）如图，角α在边长为1的正方形网格中，则tanα的值是（　　）

A．23 B．31313 C．21313 D．32
7．（2021·东城模拟）如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交 ⊙O 于点C，连接OA，OB，BC．若 AO=2,OP=4 ，则 ∠C 等于（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（2021九下·海淀月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝ 12 （弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　）

A．35 B．2425 C．45 D．1225
9．（2020九上·顺义期末）在Rt△ABC中， ∠C=90° ， AB=5 ， AC=2 ，则tanB的值为（　　）
A．12 B．2 C．55 D．255
10．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：

设铁塔顶端到地面的高度 FE 为xm，根据以上条件，可以列出的方程为(　　)
A．x=(x-10)tan50°
B．x=(x-10)cos50°
C．x-10=xtan50°
D．x=(x+10)sin50°
二、填空题
11．（2022·门头沟模拟）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为　 　分钟．

12．（2022九下·北京市开学考）在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 　 　．
13．（2021九上·密云期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为　 　cm（结果保留根号）．

14．（2021九上·顺义期末）如图，在ΔABC中，sinB=13，tanC=22，AB=3，则AC的长为　 　．

15．（2021九上·通州期末）在△ABC中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，那么AC的长为　 　．
16．（2021九上·石景山期末）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为　 　m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

17．（2021九上·平谷期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=13，AC=2，那么AB的长为　 　．
18．（2021九上·北京月考）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 △ABC 绕着点A逆时针旋转得到 △AC'B' ，则tan B' ′的值为　 　．

19．（2021九上·北京月考）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点B恰好落在 AD 的F处，若 AB：BC=2：3 ，则 cos∠DCF 值为=　 　．

20．（2021·朝阳模拟）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD=100m，则这栋建筑物的高度BC约为　 　m（ 2≈1.4,3≈1.7 ，结果保留整数）．

三、综合题
21．（2022·昌平模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC，AC与⊙O交于点F，D，BE为⊙O直径，点E在AB上，连接BD，DE，∠ADE=∠DBE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinA=35，⊙O的半径为3，求BC的长．
22．（2022·海淀模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BE，若AB = 2，tan C =12，求BE的长．
23．（2022八下·大兴期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B位于y轴正半轴，AB=42，点C位于x轴正半轴，∠OCB=30°．

（1）求点B，C的坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与线段AB，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G．横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形DFGE围成的区域（不含边界）为W．若点D的纵坐标为yD，当区域W内整点个数达到最多时，直接写出yD的取值范围．
24．（2022·北京模拟）如图， AB 为 ⊙O 的直径，点C在 ⊙O 上，过点C作 ⊙O 的切线 CM ，过点A作 AD⊥CM 于点D，交 BC 的延长线于点E．

（1）求证： AB=AE ；
（2）若 AB=10 ， cosB=35 ，求 CD 的长．
25．（2022·平谷模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．

（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cos∠EBF＝ 35 ，BF＝5，连接CD，求CD的长．
26．（2022·门头沟模拟）我们规定：在平面直角坐标系 xOy 中，如果点P到原点O的距离为 a ，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．

（1）当点 P1 的坐标为 (-1.5，0) 时，
①如果点 P1 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是　 　；
②如果点 M(x，y) 是点 P1 的k倍关联点，且满足 x=-1.5 ， -3≤y≤5 ．那么k的最大值为　 　；
（2）如果点 P2 的坐标为 (1，0) ，且在函数 y=-x+b 的图象上存在 P2 的2倍关联点，求b的取值范围．
27．（2022·房山模拟）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．

（1）求证：∠PAO=2∠PBO；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠PAO=34，求BP的长．
28．（2022·朝阳模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若cos∠CAD=45，AB=5，求CD的长．
29．（2022·朝阳模拟）如图，在矩形 ABCD中，AD=10，tan∠AEB=34，点E为BC 上的一点，ED平分∠AEC，

（1）求BE的值；
（2）求sin∠EDC．
30．（2022·朝阳模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
（1）求作∠PBC，使得∠PBC=30°且点P在AC上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB=42，∠A=45°，求AC的长度．

答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，

作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴AM=BN=2cm，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
在Rt△ABN中，AB=BNsin60∘=232=433cm．
故答案为：A．

【分析】先证明△AOB是等边三角形，再利用解直角三角形的方法可得AB=BNsin60∘=232=433cm。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由tanA=BCAC=2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=BC2+AC2=(2x)2+x2=5x，
因此，sinA=BCAB=2x5x=255，
故答案为：C．

【分析】根据tanA=2，设BC=2x，则AC=x， 再利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥AB于H，

由题意得OA′=OA=4米，
在Rt△OA′H中，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，
∴栏杆端点A上升的垂直距离AH=sin∠AOH⋅OA=4sin47°米，
故答案为：A．
【分析】过点A′作A′H⊥AB于H，根据题意得出OA′=OA=4米，∠A′OH＝47°，sin∠AOH=AHOA，即可得出栏杆端点A上升的垂直距离。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
则AB＝AC2+BC2＝42+32＝5，
∴sinA＝BCAB=35，
故答案为：A．

【分析】先求出AB的长，然后利用正弦的定义求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A为锐角，sinA=12，∴∠A=30°．
故答案为：B．
【分析】直接根据30°角的三角函数值即可求解.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图

tanα=ABBC=23
故答案为：A

【分析】根据图象可得AB=2，BC=3，再利用正切的定义求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解： ∵PB 与 ⊙O 相切于点 B ，
∴∠PBO=90° ．
∵OB=OA=2 ， OP=4 ，
∴cos∠POB=OBOP=12 ，
∴∠POB=60° ，
∴∠C=12∠POB=30°
故答案为：B．

【分析】根据切线的性质可得PA=PB，∠OAP=∠OBP=90∘，根据AO=OB=2，OP=4，可得∠APO=∠BPO=30∘，进而得∠C的度数。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．交圆弧于C，

由题意：AB＝8，HC=3，
∴OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH＝BH＝ 12AB =4，
在Rt△OAH中
由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，
∴42＝（OA＋OH）（OA﹣OH），
∴OA＋OH＝ 163 ，
∴OA＝ 256 ，OH＝ 76 ，
∴cos∠OAB＝ AHOA=4256=2425 ，
故答案为：B．
【分析】如图，作射线OH⊥AB于H．交圆弧于C，利用垂径定理以及勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．
9．【答案】B
【解析】【解答】在Rt△ABC中， ∠C=90° ， AB=5 ， AC=2 ，
．
∴BC= AB2-AC2=1 ，
∴tanB= ACBC=2 ，
故答案为：B．

【分析】利用勾股定理求出BC的长，再利用正切值的定义求解即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵α=45° ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 FE 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， tan50° = EFCE = xx-10
即 x=(x-10)tan50° ，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】12
【解析】【解答】解：如下图所示，

根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE= OEOF = 2244=12 ，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴FAB=240πR180=4πR3 ，
∵圆转动的速度为 2πR18=πR9 ，
∴最佳观赏时长为 4πR3 ÷ πR9 =12（分钟），
故答案为：12．
【分析】先利用弧长公式求出FAB=240πR180=4πR3，再利用“时间=路程÷速度”可得答案。
12．【答案】223
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝ AB2-BC2=32-12=22，
∴cosA＝ ACAB=223，
故答案为： 223．

【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
13．【答案】43
【解析】【解答】如图，过点C作CH⊥DE，点C到底座DE的距离为CH
∵CD=8cm，∠CDE=60°，

∴CH=8sin60°=8×32=43
故答案为：43．

【分析】过点C作CH⊥DE，点C到底座DE的距离为CH，再利用解三角函数的性质列出算式CH=8sin60°求解即可。
14．【答案】3
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，

在RtΔABD中，sinB=13，AB=3，
∴AD=AB⋅sinB=1，
在RtΔACD中，tanC=22，
∴ADCD=22，即CD=2，
根据勾股定理得：AC=AD2+CD2=1+2=3，
故答案为3

【分析】过A作AD⊥BC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AD、BD的长，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在利用勾股定理求出AC的长，在利用三角形的面积公式求出面积即可。
15．【答案】6
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，
∴AC=BCtanA=8×34=6；
故答案为6．

【分析】根据题意知∠C=90°，tanA=43，BC=8，即可得出AC的长。
16．【答案】18
【解析】【解答】解：由题意得：AB=30，∠ABH=37°，∠AHB=90°，
∴sin37°=AHAB，
∴AH=30×0.60=18m，
故答案为：18

【分析】根据正弦的定义计算即可得出答案。
17．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，

∵cosA=ACAB=13，AC=2
∴AB=6
故答案为：6

【分析】根据余弦的定义可得cosA=ACAB=13，AC=2，再求出AB的长即可。
18．【答案】13
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ AC'B' ，根据旋转特征 ∠B=∠B/ ，在三角形ABC中，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan B' = tanB= 13
【分析】根据旋转的性质和锐角三角函数求解即可。
19．【答案】23
【解析】【解答】解： ∵ 矩形 ABCD ， AB：BC=2：3 ，
设 AB=2m， 则 BC=3m，
∴AB=CD=2m，AD=BC=CF=3m，∠D=90°，
∴cos∠DCF=DCFC=2m3m=23.
故答案为： 23
【分析】先求出AB=CD=2m，AD=BC=CF=3m，∠D=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】270
【解析】【解答】∵在 Rt△ABD 中， ∠BAD=45∘
∴BD=AD =100（米）
在 Rt△ACD 中， ∠DAC=60∘ ，
∴tan60∘=CDAD
∴CD=AD×3=1003 （米）
∴BC=BD+CD=100+1003≈270 （米）
故答案为：270
【分析】根据等腰直角三角形得出BD=AD =100（米），在Rt△ACD中，得出CD=AD·tan∠DAC
，由BC=BD+CD计算即得结论.
21．【答案】（1）证明：连接OD，如图，

∵OD=OB=OE，
∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，
∴∠DBE+∠ODE=90°，
∵∠ADE=∠DBE，
∴∠ADE+∠ODE=90°，
∴OD⊥AC，
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：根据（1）的结论，有OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴BCOD=ABOA，
∵在Rt△ADO中，sinA=ODOA=35，
又∵OD=OB=3，
∴OA=5，
∴AB=OA+OB=8，
∵BCOD=ABOA，
∴BC=ABOA×OD=85×3=245．
即BC为245．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得出 ∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED， 得出 ∠ADE=∠DBE， 根据圆周角定理得出 ∠ADE+∠ODE=90°， 得出 OD⊥AC， 即可得出结论；
（2） 根据（1）的结论，有OD⊥AC， 解直角三角形即可。
22．【答案】（1）证明：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，
∴ DF∥AC， EF∥AB．
∴ 四边形AEFD是平行四边形．
∵ ∠A=90°，
∴ 四边形AEFD是矩形．

（2）∵ AB=2，tanC=12，
∴ 在Rt△ABC中，AC=ABtanC=4．
∵ E是AC的中点，
∴AE=12AC=2．
∴ 在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=22．
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再结合∠A=90°，可得四边形AEFD是矩形；
（2）先利用解直角三角形求出AC=ABtanC=4，再求出AE=12AC=2，最后利用勾股定理求出BE=AB2+AE2=22即可。
23．【答案】（1）解：如图1，

∵点A（﹣4，0），
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
OB=AB2-OA2=(42)2-42=4，
∴点B（0，4），
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OBOC，即tan30°=4OC，
∴OC=4tan30°=43，
∴点C（43，0）；
（2）解：如图2，易知四边形DFGE为矩形，DF=EG，
由（1）可知，OA=OB，即△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=45°，
在Rt△AFD中，AF=DF，
在Rt△CEG中，∠GCE=30°，GC=EGtan30°=3EG，

设OF=x，则DF=AF=4-x，OG=OC-GC=OC-3EG=43-3(4-x)=3x，
区域W内整点个数最多时，有4-x>23x>3，解得3 ∴2<4-x<4-3，
即2 【解析】【分析】（1）由A坐标可得OA=4，利用勾股定理求出OB=4，可得B（0，4），根据tan∠OCB=OBOC，可求出OC，即得C的坐标；
（2）由（1）知△OAB为等腰直角三角形，可得△AFD为等腰直角三角形，即得AF=DF， 在Rt△CEG中，∠GCE=30°， 可得CG=3EG， 设OF=x，则DF=AF=4-x ，可得OG=3x， 由于区域W内整点个数最多时，有4-x>23x>3 求出x范围，再求出4-x的范围即得结论.
24．【答案】（1）证明：连结 OC ，
∵CD 是 ⊙O 的切线， OC 为 ⊙O 的半径

∴OC⊥CD ，
又 ∵AD⊥CM ，
∴OC//AE ．
∴∠OCB=∠E
∵OB=OC
∴∠OCB=∠B
∴∠E=∠B
∴AB=AE ；
（2）解：连接 AC ，
∵AB 为 ⊙O 的直径
∴∠ACB=∠ACE=90°
在 Rt△ACB 中， AB=10 ， cosB=35 ．
∴CB=6 ，

∴AC=102-62=8 ，
∵∠DCE+∠E=∠DCE+∠ACD=90°
∴∠E=∠ACD
∴cos∠ACD=cosE=cosB=35
又 ∵AC=8 ，
∴CD=245 ．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可；
（2）连接AC，根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可得到答案。
25．【答案】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE=DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：∵四边形AEBF是菱形，
∴AE∥BF ，AE=BF=BE=5，
∴∠AEC=∠EBF，
∵∠ACB=90°，
∴cos∠AEC=cos∠EBF=CEAE=35 ，
∴CE=3，
∴AC=AE2-CE2=4 ，BC=CE+BE=8，
∴AB=AC2+BC2=45 ，
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=12AB=25 ．
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再结合EF⊥AB，即可得到四边形AEBF是菱形；
（2）先求出AC和BC的长，然后根据勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案。
26．【答案】（1）（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）；3
（2）解：∵点 P2 的坐标为 (1，0)
∴a＝1，
∴P2 的2倍关联点在以点 P2(1，0) 为圆心，半径为2 的圆上
∵在函数 y=-x+b 的图象上存在 P2 的2倍关联点，
∴当直线 y=-x+b 与⊙ P2 相切时，即直线 y=-x+b1 和 y=-x+b2 ，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示，

在Rt△ P2 AB中，∠ P2 AB＝90°，∠AB P2 ＝45°，A P2 ＝2
∴sin∠AB P2 ＝ AP2P2B
∴P2B=AP2sin45°=22
∴点B的坐标是（1＋ 22 ，0）
代入 y=-x+b1 得
﹣（1＋ 22 ）＋b1＝0
解得b1＝1＋ 22
∴直线AB为 y=-x+1+22
在Rt△ P2 CD中，∠ P2 DC＝90°，∠DC P2 ＝45°，D P2 ＝2
∴sin∠DC P2 ＝ DP2P2C
∴P2C=DP2sin45°=22
∴点C的坐标是（1－ 22 ，0）
代入 y=-x+b2 得
﹣（1－ 22 ）＋b2＝0
解得b2＝1－ 22
∴直线CD为 y=-x+1-22
∴1－ 22 ≤b≤1＋ 22
【解析】【解答】解：(1)①∵点 P1 的坐标为 (-1.5，0) ，
∴ 点 P1 到原点的距离为1.5，
∴a＝1.5，
∵点 P1 的2倍关联点M在x轴上
∴2a＝3
∴点M的横坐标为-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5
∴点M的坐标是（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）
故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）
②∵点 M(x，y) 是点 P1 的k倍关联点，且满足 x=-1.5 ， -3≤y≤5
∴a＝1.5
∴点M的坐标是（-1.5，1.5k）
当 -3≤y≤0 时，即 0≤-1.5k≤3 ，解得 0≤k≤2 ，
当 0≤y≤5 时，即 0≤1.5k≤5 ，解得 0≤k≤103 ，
∴k的取值范围为 0≤k≤103 ，
∵k是整数，
∴k的最大值是3
故答案为：3
【分析】（1）①根据k倍关联点的定义即可求出答案；
②根据k倍关联点的定义，以及点M与点P的横坐标相同，可知y=4.5时，k值最大，列方程求解即可；
（2）当直线 y=-x+b 与⊙ P2 相切时，即直线 y=-x+b1 和 y=-x+b2 ，b分别取最大值b1和最小值b2，根据题意列出方程求出b1和b2的值即可得到答案。
27．【答案】（1）证明：连接PO

∵AP切⊙O于点P
∴OP⊥AP
∴∠A+∠AOP=90°
∵OA⊥OB
∴∠POE+∠AOP=90°
∴∠A=∠POE
∵OP=OB
∴∠OPB=∠PBO
∴∠POE=2∠PBO
∴∠PAO=2∠PBO
（2）解：过点P作PM⊥EB于点M
∵tan∠PAO=34
∴tan∠POM=34
∴设PM=3k，MO=4k
∴由勾股定理得：OP=5k
∵⊙O半径为5
∴OB=OP=5
∴k=1
∴PM=3，MO=4
∴BM=BO+MO=9
∴在Rt△PMB中，∠PMB=90°
PB=PM2+MB2=310
【解析】【分析】（1）连接PO，根据切线的性质得出∠POE+∠AOP=90°，再利用等角的余角相等得出∠A=∠POE，再根据圆周角定理得出∠POE=2∠PBO，即可得出结论；
（2）过点P作PM⊥EB于点M，得出tan∠POM=34，设PM=3k，MO=4k，由勾股定理得：OP=5k，得出k的值，推出PM=3，MO=4，再利用勾股定理计算BP的长。
28．【答案】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CD为⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC//AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC，即AC平分∠DAB；
（2）解：如图2，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠OAC，
∴cos∠OAC=ACAB=cos∠CAD，即AC5=45，
解得AC=4，
∵cos∠CAD=ADAC=45，
∴AD=45AC=45×4=165，
∴CD=AC2-AD2=42-(165)2=125．
【解析】【分析】（1）先证明OC//AD，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠OCA=∠OAC，即可得出结论；
（2）连接BC，由AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，推出cos∠OAC=ACAB=cos∠CAD，得出AC的值，再得出AD的值，利用勾股定理求解即可。
29．【答案】（1）解：∵ ED平分∠AEC，
∴∠AED=∠CED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵ tan∠AEB=ABBE=34，
设AB=3k，则BE=4k，
∴AE=(3k)2+(4k)2=5k，
∵AE=AD=10，
∴k=2，
∴AB=6，BE=8，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，
∵BC=AD=10，BE=8，
∴CE=BC-BE=2，
∵CD=AB=6，
∴DE=EC2+DC2=22+62=210．
∴sin∠EDC=ECED=2210=1010．
【解析】【分析】（1）证明∠AED=∠ADE，则AD=AE，再根据tan∠AEB=ABBE=34，设AB=3k，则BE=4k，由勾股定理得AE=5k，则 k=2， 即可求解；
（2）由（1）得 AB=6，BE=8，求出 CE=BC-BE=2， 再根据勾股定理求出DE，再求出sin∠EDC。
30．【答案】（1）解：如图，∠PBC即为所求（过点B作BP⊥AC）

（2）解：如图，由（1）得∠APB=∠BPC=90°，

∵∠A=45°，
∴∠ABP=45°，
在Rt△ABP中，AP=BP=AB⋅sin45°=42×22=4，
在Rt△BPC中，∠PBC=30°，PC=BP⋅tan30°=4×33=433，
∴AC=AP+PC=4+433=12+433．
【解析】【分析】 （1）过点B作BP⊥AC于P即可；
（2）解直角三角形求出AP、PC即可