2022内江威远中学校高二上学期期中考试数学（理科）试题含答案

威远中学21—22学年高二第一学期期中考试

理科 数学

命题、审题、做题：第三命题组

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

                         第Ⅰ卷   （选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则(   )

A.  B.1 C.2 D.

2.设x，y满足约束条件，则的最小值是(   )

A.－1 B.0 C.1 D.2

3.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为(   )

A.      B.     C.     D.

4.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(   )
A.10          B.12          C.14          D.16

5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(    )

A.      B.      C.       D.

6.已知直线，分别过点，，若它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离d的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7.已知某几何体的三视图(单位: )如图所示，则该几何体的体积是(   )
   A.          B.   

  C.            D.

8、球内接正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是(   )

   A.16π         B.20π     

C.24π          D.32π

9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1 中，若，则异面直线AB1 与C1B 所成的角为（  ）

A、     B、      C、      D、

10.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是(   )

A.  B.
C.  D.

11.已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ）

A.7 B. 4 C.5 D.6

12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（   ）

A. ① B. ② C. ①② D.①②③

第Ⅱ卷 （非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.

13.已知在三角形ABC中，，点C在直线上.   若三角形ABC的面积为10，则点C的坐标为__________.

14、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是 ，则这个三棱柱的体积为 _______.

15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心， 为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是     .

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有       个面，其棱长为          .
 

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若点P为线段的中点，平面与平面有怎样的位置关系？并证明．

18.(本小题满分12分）

已知圆，直线。
（Ⅰ）证明:不论取什么实数，直线与圆恒交于两点;

（Ⅱ）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

19.(本小题满分12分）

已知圆.

（Ⅰ）求圆心的坐标及半径的大小；

（Ⅱ）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；

（Ⅲ）从圆外一点向圆引一条切线，切点为为坐标原点，且，求点P的轨迹方程．

20.(本小题满分12分）

如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.
（Ⅰ）设平面平面，证明：l.

（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分）

在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点设圆的半径为，圆心在直线上.

（Ⅰ）若圆心也在直线上，求圆的方程;

（Ⅱ）在上述的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程;

（Ⅲ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

22.(本小题满分12分）

已知圆C经过点，且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于两点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若，求实数k的值；

（Ⅲ）过点作动直线m交圆C于两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

威远中学21—22学年高二第一学期期中考试

理科数学（参考答案）

1.答案：C解析：分析知直线的斜率存在且不为0.由于直线与直线垂直,且过点所以直线的方程为,因为直线与圆相切,所以,解得,故选C.

2.答案：C  3.答案：C解析：本题考查直线的方程.①当直线不过原点时,设直线的截距式方程为 (其中,分别为直线在轴、轴上的截距)因为直线过点,则有.由题,直线的横、纵截距的绝对值相等,即有.当,时, 可得,此直线的方程为;当,时, 可得,此直线的方程为当,时, 可得,矛盾;当,时, 可得,矛盾;
②当直线过原点时,方程为,在轴、轴上的截距均为,也满足条件.故满足条件的直线共有条.正确答案为C

4.答案：B解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中共有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为.故选B

5.答案：B解析：要使切线长最小,必须直线上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离,求出,由勾股定理可求切线长的最小值.要使切线长最小,必须直线上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离,由点到直线的距离公式得,由勾股定理求得切线长的最小值为.故选B.

6.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P，Q两点间的距离，由两点间的距离公式得.故，之间的距离d的取值范围为.

7.答案：B解析：由三视图可知,该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥,结合所给数据,可得其体积为,故选B.

8.答案： A 解析： 试题分析:设正四棱锥底面边长为a,由 6,得a= ,
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO 1上, 记为O,PO=AO=R,PO 1=3,OO 1=3-R, 在Rt△AO 1O中,AO 1= AC= ,由勾股定理R 2=3+(3-R) 2得R=2,

∴球的表面积S=16π 故选A。

9.答案：B略10.答案：C解析：如图所示

曲线即,表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，圆心到直线的距离等于半径2，可得，所以.当直线过点，直线与曲线有两个公共点，此时.结合图像可得.故选C.

11.答案：D解析：若，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为.

由题意知圆与圆有公共点，所以，易知，所以，故m的最大值为6.

12.答案：C解析：由,得,,即,

所以可为的整数有0,,1,从而曲线恰好经过

六个整点,结论① 正确.由,得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论② 正确.如图所示,易知,则四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.故选C.故选C.

13.解析：设，由的面积为10，得点C到边所在直线的距离为4.又线段所在直线方程为，即.所以解得或所以点C的坐标为或.

14.解析： 设球的半径为 , ∵ ,∴ , ∴正三棱柱的高 ,设正三棱柱底面边长为 , 则 ,∴ , ∴ .

15.解析：由于圆的方程为,圆心为由题意可知到的距离应不大于2,即.整理得,解得,故的最大值为.

16.解析：由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则，延长与交于点G，延长交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，

,，

17. 解析：证明　如图，连接，（1分）由F是线段的中点得F为的中点，

∴为的中位线，∴.（2分）

又∵平面，平面，（4分）∴平面（5分）

(2)解　平面平面，证明如下：在上取中点P，连接.（6分）

∵分别为的中点，∴为的中位线，∴.（7分）

又∵平面，平面，∴ 平面，（8分）

又平面，平面 ，平面，（9分）

∴平面平面.（10分）

注：用线线平行推面面平行，解释合理也给满分

18.解析：（1）.证法1:的方程, （2分）
即恒过定点（4分）
圆心坐标为,半径,,
∴点在圆内,从而直线恒与圆相交于两点。（6分）
证法2:圆心到直线的距离,
,所以直线恒与圆相交于两点。
（2）.弦长最小时, ,,,（8分）
（10分）
代入,得的方程为。（12分）

19.解析：(1) 圆的方程变形为,∴圆心的坐标为,半径为.（3分）

(2) ∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴设直线l的方程为,
∴或。∴所求直线l的方程为或。（7分）

(3) 连接,则切线和垂直,连接,
∴,（9分）
又,
∴（11分）

即,∴点P的轨迹方程为.（12分）

20. 答案：（1）【证明】因为,平面PDC, 平面PDC，（2分）
    所以平面PDC.（3分）又因为平面平面，且平面PAB，（5分）

所以l.（6分）
（2）【解】存在点M，使得平面MBD，此时.（7分）理由如下：
连接AC交BD于点O，连接MO.（8分）
因为CD，所以.又，所以.（9分）
又因为,所以MO.（10分）

又因为平面MBD, 平面MBD，（11分）所以平面MBD.（12分）
 

21. 解析：（1）由得圆心半径为,所以圆方程为（3分）

（2）.由题意知切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,即

由得或（5分）所以所求圆的切线方程为或即或（7分）

（3).设由得

整理得故点在直线上.（9分）

所以点既在圆上又在直线上,

即圆和直线有公共点,所以（11分）所以（12分）

综上所述, 的取值范围为

22.解析：(1).设圆心，半径为r．因为圆C经过点，

所以，即，（1分）

解得，（3分）

所以圆C的方程是（4分）

(2).因为，（5分）

且与的夹角为，所以（6分）

所以圆心C到直线的距离，又，所以（7分）

(3).（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为，，EF即为圆C的直径，而点在圆C上，即圆C也是满足题意的圆（8分）

（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线，

由，消去y整理，得，（9分）

由，得或．设，

则有①

由①得，（10分）②，③

若存在以为直径的圆P经过点，则，所以，

因此，即，

则，所以，满足题意．（11分）

此时以为直径的圆的方程为，

即，（12分）

亦即．综上，在以为直径的所有圆中，

存在圆或，使得圆P经过点