元素与集合的关系--2022-2023学年高一人数学人教A版（2019）期中考前复习练习

元素与集合的关系

1.    已知集合，，，，则中元素的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是(    )

A. 是一个戴德金分割
B. 没有最大元素，有一个最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 没有最大元素，也没有最小元素

3.    已知集合，，若有三个元素，则实数的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”对于集合，，若与构成“全食”，或构成“偏食”，则的取值集合为          ．
5.    定义集合、的一种运算：，其中，，若，，则          ．
6.    已知集合，且下列三个关系：；；有且只有一个正确，则等于          ．
7.    设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是          ．
8.    已知集合，，且，则          ．
9.    已知集合至多有一个元素，则的取值范围为_____________．
10. 设集合，集合，若中恰有个元素．

求实数的取值范围；

定义，，求中元素的个数．

11. 已知集合只有一个元素，，．
    求；
    设是由可取的所有值组成的集合，试判断与的关系．
12. 已知，，求实数的值；

已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用交集定义求出，，，由此能求出中元素的个数．

【解答】

解：集合，，，，
，，，．
中元素的个数为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质，属于中档题．
由题意知，作为有理数集的两个子集：集合与集合，易判断它们中有无最大元素和最小元素．

【解答】

解：，不是戴德金分割，A错误；
，，显然集合中没有最大元素，
集合中有一个最小元素，即选项B可能
假设答案C可能，即集合、中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，
，，
显然集合中没有最大元素，集合中也没有最小元素，即选项D可能．
故选BD．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的并集及其运算及集合中元素的性质，属于基础题．
根据题意得，，分为两种情况：当时，解得或，均符合题意当时，符合题意，即可得的值．

【解答】

解：有三个元素，且，，
分为两种情况：
当时，解得或，当时，；
当时，，均符合题意
当时，，符合题意．
综上，实数的取值为，，．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的新定义问题，含参数的集合关系的问题，属于中档题．

利用“全食”，“偏食”以及集合的包含关系进行运算即可．

【解答】

 解：当时，，符合条件；

当时，

即时，，

此时应构成“全食”或；

解得：或；

综上所述：的取值集合为．

故答案为：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查新概念中的简单计算，集合中元素的互异性，属于基础题．

利用，其中，求解．

【解答】

解：，其中，；，，

，，，，，，

．

故答案为：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，属于中等题．
根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值．

【解答】

解：由得，、、的取值有以下情况：
当时，、或、，此时不满足题意；
当时，、或、，此时不满足题意；
当时，、，此时不满足题意；
当时，、，此时满足题意；
综上得，、、，代入．
故答案为：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，学生的运算求解能力，属于基础题．
根据已知定义，分别集合与集合的元素和，，再利用元素的互异性，进而可以求解．

【解答】

解：因为定义集合，
又，，，，，，，，，
所以集合中的元素分别为，，，，，，，共个，
故答案为：．

8.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，交集的概念及运算，集合元素的互异性．
由便得到或，这样求出，并验证是否满足条件，以及是否满足集合元素的互异性，从而得出的值．

【解答】

解：；；，或；
，或；
时，，，满足条件；
时，，不满足集合元素的互异性；
时，，，满足条件；
故答案为或．

9.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素的个数问题．
分情况讨论若集合中没有元素，即，那么方程无解，若集合中只有一个元素，那么方程只有一个解．

【解答】

解：若集合中没有元素，即，那么方程无解，
即且，所以．
若集合中只有一个元素，那么方程只有一个解．
(ⅰ)当时，，此时，满足题意，
(ⅱ)当时，，所以，此时，满足题意，
综上所述，或．
故答案为或．

10.【答案】解：集合中恰有个元素，，，，即实数的取值范围是．
，，， 由，可知可取，； 由，可知可取，，，，元素的所有结果如下表所示：

中的元素共有个． 

【解析】本题考查集合的新定义问题，依据题意分析求解即可，属于中档题．
 

11.【答案】解：由，得，
；
由，得，
，
．
集合只有一个元素，
当时，方程只有一个实数解，符合题意；
当时，，
解得．
，
． 

【解析】本题考查交集及其运算．
解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
由，得；由，得，由此能求出．
由集合只有一个元素，解得，或故，由此得到．
 

12.【答案】解：因为，所以有或，显然，

当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；

当时，解得，，
由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，
当时，，符合题意

故．

由于中有两个元素，
关于的方程有两个不等的实数根，

，且，即，且．

故实数的取值范围是．

【解析】本题考查元素与集合的关系．
因为，所以有或，再检验是否满足集合元素的互异性即可得到答案；

由于中有两个元素，则关于的方程有两个不等的实数根即可解答．