银川一中2023届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附解析）

这是一份银川一中2023届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上， 设，，，…，，，则， 若，则下列不等式成立的是， 函数的图像大致是， 已知实数，且，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。

银川一中2023届高三年级第二次月考
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）

A. 无症状感染者 B. 发病者 C. 未感染者 D. 轻症感染者
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的程序框图，输入3个数，，，，则输出的为（ ）

A. 0 B. C. D.
4. 已知是等差数列，，，则的公差等于（ ）
A. 3 B. 4 C. -3 D. -4
5. 设，，，…，，，则（ ）
A B. C. D.
6. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）．
A. 6 B. 10 C. 14 D. 18
8. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 函数的图像大致是（ ）
A B.
C. D.
10. 已知实数，且，则的最小值是（ ）
A. 6 B. C. D.
11. 已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13. 已知函数，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a=______.
14. 若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.
15. 数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
16. 已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．
三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：（共60分）
17. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为5米和8米，设休闲区的长为米．

（1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于函数解析式；
（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？
18. 已知函数，在处切线的斜率为-2.
（1）求的值及的极小值；
（2）讨论方程的实数解的个数.
19. 已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 对于数列、，把和叫做数列与的前项泛和，记作为.已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列与数列的前项的泛和为，且恒成立，求实数的取值范围；
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.
（二）选考题（共10分.请考生在第22､23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)，直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.
[选修4—5：不等式选讲]
23. 设函数.
（1）求的最小值m；
（2）设正数x，y，z满足，证明：.

银川一中2023届高三年级第二次月考
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）

A. 无症状感染者 B. 发病者 C. 未感染者 D. 轻症感染者
【答案】A
【解析】
【分析】由即可判断S的含义.
【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，
所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可.
【详解】由已知，，，
所以.
故选：D.
3. 如图所示的程序框图，输入3个数，，，，则输出的为（ ）

A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解
【详解】由题意，输入，，
第一步，判定是否成立，由于
因此赋值，
第二步，判定是否成立，由于
因此赋值
输出
故选：D
4. 已知是等差数列，，，则的公差等于（ ）
A 3 B. 4 C. -3 D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．
【详解】，，
则的公差，
故选：C
5. 设，，，…，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求解，归纳可得，即得解
【详解】，，，
，，
所以（）．
故．
故选：A
6. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项．
【详解】取，，则，排除A，B；因为，则，，从而.又，即，则，所以，
故选：D.
7. 若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）．
A. 6 B. 10 C. 14 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,
转换目标函数，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最大值，
此时.
故选：B.
8. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式的解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因为在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．
9. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数过及值域范围，即可确定答案.
【详解】由时，排除B、C；
又，当且仅当时等号成立，故，排除D.
故选：A
10. 已知实数，且，则的最小值是（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
11. 已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果.
【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：

关于x的方程有5个不同的实根，
令，则有两个不同的实根，所以，
令，则，解得，
故选：A.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案.
【详解】依题意，，
，，
依题意，
即，
则，
（由于，所以），
则，
两边取对数得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以，所以.
故选：A
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13. 已知函数，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a=______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用分段函数的性质求解.
【详解】解：因为函数，
所以

又因为a > - 1 ，
所以，
所以，
则，
解得，
故答案为：1.
14. 若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】若，使成立是假命题，
则“，使得成立”是真命题，
即，恒成立，
因为时等号成立，
所以，
所以，
故答案为：.
15. 数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
【答案】2n－1(n∈N*)
【解析】
【分析】利用累加法可得数列通项公式.
【详解】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*).
又时，符合an＝2n－1
故答案为：2n－1(n∈N*).
16. 已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．
【详解】的解集为的解集，令，
则，
因为，所以当时有，
所以，
即当时，单调递增，
又因为，所以，
所以的解集为的解集，
由单调性可知，
又因为为偶函数，所以解集为
【点睛】本题解题的关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．
三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：（共60分）
17. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为5米和8米，设休闲区的长为米．

（1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于的函数解析式；
（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？
【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为40米，25米.
【解析】
【分析】（1）由休闲区的长为米，得出休闲区的宽以及矩形的长与宽，利用矩形面积公式求解即可；
（2）利用基本不等式可得所占面积的最小值．
【详解】（1）因为休闲区的长为米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为；从而矩形的长与宽分别为米，米，
因此矩形所占面积；
（2）；
当且仅当，即时取等号，此时．
因此要使公园所占面积最小1960平方米，休闲区的长和宽应分别为40米，25米．
18. 已知函数，在处切线的斜率为-2.
（1）求的值及的极小值；
（2）讨论方程的实数解的个数.
【答案】（1），极小值；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）由函数在处切线的斜率为-2，可得，解方程得出的值；对函数求导，列表格判断出单调性，进而可得函数的极小值；
（2）由（1）单调性以及极限趋势，分类讨论的范围，可得实数解的个数．
【详解】解：（1），
因为在处切线的斜率为-2，所以，则.
，令，解得或，
当x变化时，，变化情况如下：
x

-2

1



0

0


单调递增

单调递减

单调递增
故的极小值为.
（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.
当或时，方程有1个实数解；
当或时，方程有2个实数解
当时，方程有3个实数解.
19. 已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等差等比数列的性质求解，即可做出判断；
（2）利用裂项求和化简后即可证明.
【详解】（1）若选①，为与的等比中项，
则，由为等差数列，，得，∴，
把代入上式，可得，解得或（舍）.
∴，；
若选②，等比数列的公比，，，
可得，即，即有，即;
又，可得，即，解得，不符题意，
故选①，此时；
（2）∵，
∴；
∴.
20. 对于数列、，把和叫做数列与的前项泛和，记作为.已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列与数列的前项的泛和为，且恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令可求得的值，当时，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，求出的表达式，结合参变量分离法可求得实数的取值范围，综合即可得解.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，由①，可得②，
①②得，，数列是以为首项，为公比的等比数列，.
【小问2详解】
解：对任意的时，，，
当为偶数时，即当时，
，
故对任意的，都成立，
即对任意的恒成立，
易知，当时，，故；
当为奇数时，即当时，
，
故对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立.
易知，当时，，故.
综上所述，实数的取值范围是.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；
（2）构造函数，二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对进行分类讨论，确定实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，定义域为R，
，令，解得：，
当时，，单增，当时，，单减
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
即在无实数解，
令，
则，
令，
则，
因为，所以，所以，
，即在上单调递增，
其中，
当，即时，时，，
在上单调递增，又，
故当时，没有零点；
②当，即时，
令，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，故，，
所以，
又，故存在，使得，
当时，，单调递减，又，
故当时，，所以在内没有零点，
当时，，单调递增，
因为，所以，
且
令，，
，，
令，，
，所以在上单调递增，
又，故时，，
在上单调递增，
所以，故，
又，由零点存在性定理可知，存在，，
故在内，函数有且仅有一个零点，
综上：时满足题意
即的取值范围是
【点睛】导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再进行充分性证明.
（二）选考题（共10分.请考生在第22､23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)，直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.
【答案】（1）：ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0，：；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求.
【详解】（1）曲线C1的参数方程为(α为参数)，直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣(2+2)ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，
∴=.
[选修4—5：不等式选讲]
23. 设函数.
（1）求的最小值m；
（2）设正数x，y，z满足，证明：.
【答案】（1）6 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得函数的最小值；
（2）已知条件适当转化后，然后利用柯西不等式证明.
【小问1详解】
,当且仅当，即时取“等号”，所以的最小值为6；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
所以，
，
故原不等式成立.