2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题02 整式与因式分解（学生卷+教师卷）

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专题02 整式与因式分解
一．选择题
1．（2022·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2
C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；
C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；
D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·四川眉山·中考真题）下列运算中，正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】
解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. ，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
3．（2022·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】
解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
4．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．
【详解】
A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项符合题意；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．
【详解】
解：A、5a-3a=2a，选项错误；
B、6a÷2a=3，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选：D．
【点睛】
题目主要考查单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
6．（2022·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可．
【详解】
解：选项A：，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C正确；
选项D：，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解．
7．（2021·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】
解：、与不是同类项，故不符合题意．
、原式，故符合题意．
、原式，故不符合题意．
、原式，故不符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
8．（2021·四川雅安·中考真题）下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、正确，该选项符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算及合并同类项是解题的关键．
9．（2021·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算即可判断求解．
【详解】
解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．
10．（2021·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D．
【详解】
解：A. ，故选项A计算不正确；       
B. ，故选项B计算正确；
C. ，故选项C计算不正确；       
D. ，故选项D计算不正确．
故选择B．
【点睛】
本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键．
11．（2020·四川巴中·中考真题）下列四个算式中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可．
【详解】
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
12．（2020·四川·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3
C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可．
【详解】
A、a2•a3=a5，故原计算错误；
B、(3a)3 =27a3，故原计算错误；
C、3a﹣2a=a，故原计算错误；
D、(﹣2a2)3=﹣8a6，故原计算正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则．
13．（2020·四川眉山·中考真题）下列计算正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、同类项的合并以及幂的四则运算法则依次判断即可.
【详解】
解：A选项而不是，故A选项错误；
B选项和不是同类项，不能进行加减运算，故B选项错误；
C选项，故C选项正确；
D选项而不是，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了整式乘法的综合，涉及了完全平方公式、同类项的合并及幂的四则运算，熟练掌握相应的运算法则并灵活应用是解题的关键.
14．（2020·四川南充·中考真题）下列运算正确的是（     ）
A．3a+2b=5ab B．3a·2a=6a2 C．a3+a4=a7 D．(a-b)2=a2-b2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可．
【详解】
A．不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．3a·2a=6a2，此选项正确；
C．不是同类项，不能合并，此选项错误；
D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题的关键．
15．（2020·四川遂宁·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A．7ab﹣5a＝2b B．（a+）2＝a2+
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式分别进行计算，再判断即可．
【详解】
7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；
根据完全平方公式可得(a+)2=a2++2，因此选项B不正确；
(﹣3a2b)2=9a4b2，因此选项C不正确；
3a2b÷b=3a2，因此选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式，掌握运算法则是正确计算的前提．
16．（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（       ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据单项式的系数的定义求解即可．
【详解】
解：的系数为-3，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义．
17．（2021·四川乐山·中考真题）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（       ）
A．（元） B．（元） C．（元） D．（元）
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；
【详解】
∵千克的售价为元，
∴1千克商品售价为，
∴8千克商品的售价为（元）；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．
18．（2020·四川达州·中考真题）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据规律求出小球的总个数,再将选项逐项化简求值即可解题.
【详解】
解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,
选项B中,故B,C,D均正确,
故本题选A.
【点睛】
本题考查了图形的规律,合并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.
19．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（       ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】
∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
20．（2021·四川自贡·中考真题）已知，则代数式的值是（　　）
A．31 B． C．41 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可先求出x2-3x的值，再化简，然后整体代入所求代数式求值即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出，是解题的关键．
21．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【详解】
∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
22．（2021·四川泸州·中考真题）已知，，则的值是（   ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，可求再整体代入即可．
【详解】
解: ∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．
23．（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【详解】
∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
二．填空题
24．（2022·四川达州·中考真题）计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：

．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
25．（2022·四川乐山·中考真题）已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】
解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
26．（2021·四川内江·中考真题）若实数满足，则__．
【答案】2020
【解析】
【分析】
由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．
【详解】
解：，
，，





．
故答案为：2020．
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键．
27．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．
【详解】
解：，
，
，
∵，
，
，

，
，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键．
28．（2021·四川德阳·中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据平方差公式即可求出答案．
【详解】
解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
29．（2021·四川达州·中考真题）已知，满足等式，则___________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
【详解】
解：由，变形得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-3
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
30．（2021·四川广安·中考真题）若、满足，则代数式的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】
根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】
解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
31．（2021·四川阿坝·中考真题）若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为___．
【答案】5
【解析】
【详解】
试题分析：先求出m2﹣2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．
解：由m2﹣2m﹣1=0得m2﹣2m=1，
所以，2m2﹣4m+3=2（m2﹣2m）+3=2×1+3=5．
故答案为5．
考点：代数式求值．
32．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【解析】
【分析】
先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点睛】
本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
33．（2022·四川广元·中考真题）分解因式：a3﹣4a＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：原式=；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
34．（2022·四川眉山·中考真题）分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接提取公因式即可得出答案．
【详解】

故答案为：
【点睛】
本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是找准公因式．
35．（2022·四川德阳·中考真题）分解因式：______．
【答案】a(x+1)(x-1)
【解析】
【分析】
先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】
解：ax2-a
=a(x2-1)
=a(x+1)(x-1)
故答案为：a(x+1)(x-1)．
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式法两种方法是解题的关键．
36．（2022·四川自贡·中考真题）分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用提公因式法进行因式分解．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．
37．（2022·四川凉山·中考真题）分解因式：=______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【解析】
【详解】
解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
38．（2020·四川眉山·中考真题）分解因式________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：m3-4m2+4m
=m（m2-4m+4）
=m（m-2）2．
故答案为：m（m-2）2．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
39．（2020·四川攀枝花·中考真题）因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】

故答案为：．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，这是解题关键．
40．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【详解】

故答案为：．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
41．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【解析】
【分析】
直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】
解：多项式是关于，的三次多项式，
，，
，，
或，
或，
或8．
故答案为：0或8．
【点睛】
本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
42．（2020·四川泸州·中考真题）若与是同类项，则a的值是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a的值．
【详解】
解：∵与是同类项，
∴a-1=4，
∴a=5，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
43．（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．

【答案】45
【解析】
【分析】
根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】
根据图形，规律如下表：

三角形3
正方形4
五边形5
六边形6

M边形m
1
1
1
1
1

1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1

1+2

3
1+2+3
1+2+31+2

1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2

1+2+3

4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3

1+2+3+4








n











由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
44．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．

【答案】5
【解析】
【分析】
设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】
解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
45．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．

【答案】127
【解析】
【分析】
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
46．（2021·四川凉山·中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．

【答案】2n+1
【解析】
【分析】
分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．
【详解】
解：由图可知：
拼成第一个图形共需要3根火柴棍，
拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，
拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，
...
拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，
故答案为：2n+1．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
47．（2021·四川遂宁·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．

【答案】20
【解析】
【分析】
根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
【详解】
解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．
48．（2020·四川·中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
三．解答题
49．（2021·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，-22
【解析】
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=，       
当x=-1时，原式==-22．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
50．（2021·四川凉山·中考真题）已知，求的值．
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据已知求出xy=-2，再将所求式子变形为，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．
51．（2020·四川攀枝花·中考真题）已知，将下面代数式先化简，再求值．

【答案】；9
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则展开，再合并同类项，最后将x=3代入即可.
【详解】
解：
=
=
将x=3代入，
原式=9
【点睛】
本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题时要掌握完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则.
52．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【解析】
【分析】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
【详解】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．