2023高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列“非主干”典例剖析与资源

这是一份2023高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列“非主干”典例剖析与资源，共14页。教案主要包含了典型问题剖析，过关练习等内容，欢迎下载使用。
2023高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列“非主干”典例剖析与资源
三、典型问题剖析
非主干板块所涉及的多个部分的内容，各部分内容相对分散、独立，相关题型难于构成一个统一的逻辑结构体系，也难于像其它板块一样归纳总结板块内的典型问题，因此，只能针对不同的知识单元分别列举一个典型例题加以说明．
（一）集合
集合试题一般都为容易题，题序一般在选择题前3题或填空题第1题的位置；集合内容本身主要考查集合的概念、表示法和集合的运算符号和运算；集合试题中常结合考查简单不等式的求解问题．
【例】已知集合，，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
【解析】，所以或，所以．选B．
【评析】本题主要考查集合的表示法，集合的交、并、补运算，二次不等式等基础知识，考查运算求解能力和数形结合思想．解答此类问题的基本步骤为：正确求解不等式，显化已知条件中的集合；根据目标选项的内容进行相关的集合运算（遇区间运算常以数轴为辅助工具，体现数形结合思想的运用）．
（二）复数
高考中复数试题都为容易题，题序一般在选择题前3题或填空题第1题的位置；复数的考查内容有复数基本概念和几何意义、共轭复数概念与模的运算、代数形式下的四则运算，还可能以方程的形式出现；复数试题极少与其它内容综合考查．
【例】已知复数，则
A． B． C． D．
【解析】，从而，
所以．选A．
【评析】本题主要考查共轭复数的概念，复数的代数运算和复数的模等基础知识，考查运算求解能力．解答此类问题的基本步骤为：显化条件，先求出复数（涉及代数形式下的基本运算）和；根据目标要求进行运算求解．全国卷一般不指出“是的共轭复数”，而直接出现”．
（三）计数原理
计数原理的考查有两种可能，一是考查分步分类计数原理和排列组合的应用，二是考查二项式定理的应用．考查分步分类计数原理和排列组合的应用，可能在小题中单独考查，也可能结合到概率中考查，解题关键在于重新设计好完成“一件事”的方案；考查二项式定理的应用，都在小题中出现，且常要结合一些多项式的运算，主要考查项的系数与二项式系数概念、通项公式的应用、用赋值法研究项的系数等．
【例1】（2017年全国卷Ⅱ理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【解析】设计完成事件步骤：4项工作中选2项；3人中选1人完成这2项工作；为另2人分配余下的2项工作；利用排列组合知识列式；计算．选D.
【解析】本题考查分步计数原理与排列组合的简单应用问题，考查抽象概括能力和运算求解能力，检测数学建模素养．此类试题实际难度不大，可能考查的问题模型尽在教材出现过的可控范围内，但实测数据往往不理想．解答此类问题的基本思维过程为：细致读题，明确“要完成的事”指什么；设计完成“一件事”的方案步骤（或方法类型）；根据步骤或类型列式；运算求解．关键要辨析好分类还是分步，有序（排列）还是无序（组合），有无重复或遗漏．
【例2】已知，若的展开式中各项系数的和为1548，则该展开式中项的系数为____．
【解析】令，得，解得．在展开式中，的系数为60，常数项为1，故展开式中项的系数为61．填61．
【评析】本题主要考查多项式的运算、二项式定理及展开式的基本概念及应用，考查运算求解能力和函数与方程思想． 解决此问题关键，一要明确目标要求是什么（如什么项，是项的系数还是二项式系数等），二要正确用好展开式的通项公式．
（四）平面向量
平面向量作为重要的考试内容，显性地单独考查出现的频率很高；作为重要的数学工具，也常有隐性地交汇考查，如与立体几何交汇、与解析几何交汇、与解三角形交汇等．在立体几何、解析几何、解三角形试题中要强化其工具性应用意识．反之，对显性的单独考查平面向量知识的试题中，要落实好四个解题方向的思考，以拓展解题思路：纯向量运算思路；向量的坐标运算思路；转化为解析几何问题思路；转化为平面几何问题或解三角形问题思路．
【例】已知向量，满足，，，则在上的投影的取值范围是 ．
【解析】思路1：由平方得，又，所以在上的投影的取值范围是．
思路2：通过构造平面图形，可将问题转换为“在中，，在边，求在上的投影的取值范围”，再用平几知识求解．
思路3：如思路2转化后，可用正余弦定理求解．
思路4：如思路2转化后，可通过建立平面直角坐标系，用解析几何知识求解．
【评析】本题考查平面向量的投影、夹角与模等概念和向量运算，考查运算求解能力，考查化归与转化思想和数形结合思想． 从前述多种解题思路看，本题可作为解读平面向量、解析几何、平面几何、三角函数内容联系和互为工具作用的典型试题．
（五）不等式
不等式部分比较稳定的考查方向主要有三个：线性规划试题、不等式选讲试题、集合试题．但也要注意常有的隐性考查问题．这里仅举一隐性考查试题的例子．
【例】（2018年江苏高考卷13）在中,角所对应的边分别为的平分线交于点,且,则的最小值为__________.
【解析】由面积得：
化简得

当且仅当，即时取等号. 答案为9.
【评析】本题主要考查三角形的面积公式，基本不等式等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，检测数学抽象、数学建模、数学运算素养等．类似这种自然的交汇在各种试题中都有可能出现．
（六）推理
从思维方法和思想方法上，推理方式与证明方法，到渗透数学问题的方方面面．显性考查，一般有两类试题：合情推理试题和纯推理试题．
【例】网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
脚的长度与鞋号对照表
中国鞋码实际标注（同国际码）mm
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
中国鞋码习惯叫法（同欧码）
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
从上述表格中可以推算出30号的童鞋对应的脚的长度为__________；若一个篮球运动员的脚长为282 mm，则他该穿__________码的鞋．
【解析】通过描点画出散点图，观察散点图猜想两码可能具有线性的换算关系，求解并检验确认关系：中国鞋码习惯叫法=实际标注×．故30号的童鞋对应的脚长为200mm，当脚长为282mm，对应的中国鞋码习惯叫法为，应穿47码鞋．故答案为200mm，47．
【评析】本题意图考查观察能力，考查合情推理能力．观察能力强的或许可以通过观察，猜想规律，验证规律，得出猜想的换算关系．但本题有明显的不公平性缺陷，可能有些考生知道了换算关系， 就没有考查的价值了．
（七）简单逻辑用语
简单逻辑用语主要考查类型有：全称命题与特称命题的概念辨析与命题关系，充要条件的概念辨析，“或”“且”“非”命题运算，命题真假判断．
【例】设：实数，满足，：实数，满足 则是的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】画出，所表示的可行域（如图所示），由图象可知，对应的可行域包含在对应的可行域内．故选A．
【评析】考查综合考查直线与圆的方程、线性规划、充要条件等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想． 对于考查充要条件试题，首先要审题明确条件与结论分别是什么，再判断由条件能否推演结论，由结论能否推演条件，最后要正确应用充要条件的相关概念进行选项的判断．
四、过关练习
（一）集合
【练习1】（2018年全国卷Ⅱ理2）已知集合，则中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
【解析】，故中共有9个元素，选A．
【练习2】（2017年全国卷Ⅰ文1）已知集合，，则
A． B． C． D．
【解析】由，得．选A．
【练习3】（2017年全国卷Ⅲ理1）已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】集合A表示单位圆上的所有点，集合B表示直线y=x上的所有点，显然直线y=x经过圆的圆心（0，0），故共有两个公共点，即AB中元素的个数为2 ，选B．
【练习4】（2017年全国卷Ⅱ理2）设集合，．若，则
A． B． C． D．
【解析】∵ ， ∴ 1是方程的一个根，即，∴ ，
故，选C.
【练习5】（2016年全国卷Ⅰ理1）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，．故．故选D．
【练习6】已知集合，，，则
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【解析】法一：因为，所以．又，，所以或．由得或．但不符合集合中元素的互异性，故舍去，故或．选B．
法二：因为，所以，所以可排除选项C、D．
又当时，，，满足，选B．
（二）复数
【练习1】已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是
A．1 B． C． D．
【解析】 ，所以的虚部是1，选A．
【练习2】（2018年浙江高考卷4）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
【解析】因为，而1+i的共轭复数是1−i，选B．
【练习3】（2017年全国卷Ⅲ文2）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】复数在复平面上所对应的点为位于第三象限．选C．
【练习4】已知表示虚数单位，则
A． B．1 C． D．5
【解析】因为，所以．选A．
【练习5】（2016年全国卷Ⅰ理2）设，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由得，其中是实数，所以，，故．
选B．
【练习6】（2016年全国卷Ⅲ理2）若，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【解析】由题意可得，，选C．
（三）计数原理
【练习1】若，，则的值为
A． B． C． D．
【解析】令，得．令，得．
所以．选B ．
【练习2】的展开式中的系数为_______．
【解析】，所以展开式中的系数为．填4．
【练习3】（2016年全国卷I理14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）
【解析】设展开式的第项为，，∴．
当时，，即，故答案为10．
【练习4】已知对恒成立，且，，则的值为 ．
【解析】令，所以，则，
所以，即 ①，，即 ② ，
联立①②解得．故答案为2．
【练习5】（2018年全国卷I理15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种．（用数字填写答案）
【解析】从2位女生和4位男生，共6人中选3人有种，选出的3人都是男生有种，所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种. 答案为16.
【练习6】古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种. (用数字作答)
【解析】由题意，可看做五个位置排列五种事物，第一位置有5种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一者排放，故有2种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=10，因此共有10种不同的排列方法. 答案为10.
（四）平面向量
【练习1】（2018·天津高考卷8）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，过点作轴，过点B作轴，
，，，.
，，
，，，
，，
设，则，
则，当时，取得最小值为．选择A．
【练习2】（2017年全国卷Ⅱ理12）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法一：建系法，以BC的中点O为原点直线BC为x轴，建立直角坐标系，连接，，，.
，∴ ，
∴
∴，∴ ，
∴最小值为 ，故选B.
解法二：均值法：∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴ ，∴ ，∴最小值为.
【练习3】（2017年全国卷Ⅲ理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立直角坐标系如图所示，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
因为动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，
直线BD方程为，所以点C到直线BD距离为，
则点P轨迹方程为：上，可设点P坐标为，
所以，又=+=，
所以即，
则，（其中）．
所以+的最大值为3，故选A．
【练习4】（2018年全国卷Ⅲ文13理13）已知向量，，．若，则________．
【解析】又，，所以，解得．答案为．
【练习5】(2017年全国卷Ⅰ文13)已知向量，，若向量与垂直，则 ．
【解析】由题得，因为，所以，解得．答案为7．
【练习6】两个半径分别为，的圆，，公共弦长为3，如图所示，则______．
【解析】为两个圆的公共弦，从而圆心，到弦的投影为的中点，进而，在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义．
取中点，连结，，由圆的性质可得：，，
所以，
所以，
所以．填9．
（五）不等式
【练习1】若实数，满足条件则的最大值是__________．
【解析】画出所表示的可行域（如图所示），当直线过时，的最大值为．填6．
【练习2】某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工来完成两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为    元.
【解析】设一个星期生产椅子x把，书桌y张，利润总额为z元，
则可得约束条件（x∈N，y∈N），
目标函数为：z=15x+20y.
作出可行域：
把直线l：15x+20y=0向右上方平移时，直线经过可行域上的点P时，目标函数z=15x+20y取最大值.
解方程 得P（200，900），此时zmax=15×200+20×900=21000.故答案为21000.
（六）推理
【练习1】（2014年全国卷I文14理14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 。
【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市，∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为A。
【练习2】（2016年全国卷II文16理15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。
【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 故答案为：1和3
【练习3】一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算 定义为： 。
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 。
【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数学运算后为1，由可判断中后四个数字恰有一个数字出错；由可判断都正确，从而得恰有一个数字出错；由可判断中恰有一个数字出错；综上只能出错，所以。故答案为：。

（七）简单逻辑用语
【练习1】（2013年全国卷Ⅰ文5）已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
【解析】由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解。∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题，选B。
【练习２】（2018·浙江高考卷6）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵mα，n⊂α，∴当m∥n时,m∥α成立，即充分性成立，
当m∥α时,m∥n不一定成立，即必要性不成立，
则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A
【练习3】（2018·天津高考卷4）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】充分性：若，则，，则，所以充分性成立；
必要性：取，满足，此时不成立，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件
综上所述，答案选择：A.
【练习4】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，
q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A. (￢p)∨(￢q) B. p∨(￢q) C. (￢p)∧(￢q) D. p∨q
【解析】命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”；q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围” ．命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
(￢p)V(￢q)。故选A。
【练习5】（2013年全国卷Ⅱ文11理10）已知函数，下列结论中错误的是
（A）R， （B）函数的图像是中心对称图形
（C）若是的极小值点，则在区间上单调递减
（D）若是的极值点，则
【解析】∵f ´(x)=3x2+2ax+b，∴y＝f (x)的图像大致如右图所示，若x0是f (x)
的极小值点，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．故选C。
【练习6】给出下面四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交;
②“直线l垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l⊥平面α;
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”;
④“直线a∥平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”。
其中正确命题的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”为真命题，“直线a、b不相交”⇒“直线a、b为异面直线”为假命题，故：“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是：直线a、b不相交，即①错误； 根据线面垂直的定义，我们易得②正确；“直线a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题，“a垂直于b在平面α内的射影”⇒“直线a⊥b”也为假命题，故“直线a⊥b”的不充分也不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”，即③错误；“直线α∥平面β”⇒“直线a至少平行于平面β内的一条直线”为真命题，但“直线a至少平行于平面β内的一条直线”⇒“直线α∥平面β”为假命题，即④正确．故选B。