人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径示范课课件ppt

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1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
思考 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
　 探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
证明：如图,设CD是⊙O的任意一条直径, A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB ⊥CD，交⊙O于点B, 垂足为E.连接OA,OB.
在△OAB中，∵OA=OB,∴ △OAB是等腰三角形.又AB ⊥CD∴AE=BE.
即 CD是AB的垂直平分线.因此， ⊙O关于直线CD对称.
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
相等线段： AE=BE
∵ CD是直径，CD⊥AB，
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
思考：分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
你会任选一种情况证明吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
AC与BC相等吗？ AD与 BD相等吗？为什么？
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
想一想：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
∴ AB=37，CD=7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.3（m）.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
例1 如图,⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=(x-2)cm,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD.
归纳总结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
1.判断下列说法的正误.
①平分弧的直径必平分弧所对的弦;
　②平分弦的直线必垂直弦;
③垂直于弦的直径平分这条弦;
④平分弦的直径垂直于这条弦 ;
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ;
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦;
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧 .
3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
2cm或12cm
2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
1．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
2．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　 　寸．