北京市昌平区南小兴十马阳融合学区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份北京市昌平区南小兴十马阳融合学区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市昌平区南小兴十马阳融合学区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
3．（2分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
4．（2分）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C．y＝（x+3）2﹣2 D．
5．（2分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）

A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝3，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（　　）

A． B． C．3 D．9
7．（2分）若函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m＝1
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，当a＞0时，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＜0，则y3＞0 B．若y2y3＞0，则y1＜0
C．若y1y3＜0，则y2＞0 D．若y1y2y3＝0，则y2＝0
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）请写出以直线x＝2为对称轴，且经过点（0，1）的二次函数表达式 　 　．
10．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为　 　．

11．（2分）将二次函数y＝x2﹣2x+3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　 　．
12．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1　 　y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
13．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　 　．

14．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为　 　．

15．（2分）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，点D在边AB上，AD＝2．若要在AC边上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝　 　．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）在网格中，画出该函数的图象．
（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AB于点E．求证：△ABC∽△ADE．

19．（5分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，求这个二次函数的表达式．

20．（5分）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF，求证：△ABC∽△DEF．

21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣4
—3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．

22．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．

23．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．

24．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 　（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

25．（6分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．

在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝　 　；（用BB'，CC'，BC表示）
若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝　 　．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2+bx的图象上．
（1）当m＝﹣3时．
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（﹣1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 　 　；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠AEF的度数；
（3）连接AC交EF于点H，若＝a，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．


2022-2023学年北京市昌平区南小兴十马阳融合学区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是直线x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
4．（2分）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C．y＝（x+3）2﹣2 D．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（2分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）

A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝3，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（　　）

A． B． C．3 D．9
【分析】由AD∥BC可得出∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，进而可得出△AOE∽△FOB，再利用相似三角形的性质即可得出△AOE与△BOF的面积之比．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，
∴△AOE∽△FOB，
∴＝（）2＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2分）若函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m＝1
【分析】函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，用根的判别式：Δ＜0，即可求解．
【解答】解：令y＝0，即：x2+2x+m＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，
即：m＞1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用Δ＝b2﹣4ac和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当Δ＞0时，函数与x轴有2个交点，当Δ＝0时，函数与x轴有1个交点，当Δ＜0时，函数与x轴无交点．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，当a＞0时，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＜0，则y3＞0 B．若y2y3＞0，则y1＜0
C．若y1y3＜0，则y2＞0 D．若y1y2y3＝0，则y2＝0
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断y3＞y1＞y2，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c中a＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，
∴y3＞y1＞y2，
当y1y2＜0时，y1，y2异号，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y3＞y1＞0，选项A正确．
当y3＞y1＞y2＞0时，y2y3＞0，
∴选项B错误，
当y1y3＜0时，y3＞0，y1＜0，
∴y2＜y1＜0，选项C错误．
当y1y2y3＝0时，y1，y2，y3中有1个值为0即可，
∴选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）请写出以直线x＝2为对称轴，且经过点（0，1）的二次函数表达式 　y＝（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）　．
【分析】由对称轴确定顶点的横坐标为2，由经过（0，1）点确定x＝0时，y＝1，根据二次函数的顶点式写出解析式．本题答案不唯一．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
∵经过点（0，1），
∴1＝4a+k，
∴k＝1﹣4a，
取a＝1，则k＝﹣3，则y＝（x﹣2）2﹣3，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质，选择合适的二次函数解析式表达．
10．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为　4　．

【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：EC＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
11．（2分）将二次函数y＝x2﹣2x+3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　y＝（x﹣1）2+2　．
【分析】由于二次项系数是1，所以利用配方法可直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）﹣1+3＝（x﹣1）2+2，
即y＝（x﹣1）2+2．
故答案为y＝（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
12．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1　＜　y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
13．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　﹣1＜x＜2　．

【分析】根据图象得出取值范围即可．
【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，
所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2
【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．
14．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为　10　．

【分析】如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，求出x的值即可；
【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，

∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝10，
故答案为10
【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题，属于中考常考题型．
15．（2分）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，点D在边AB上，AD＝2．若要在AC边上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝　　．
【分析】根据相似三角形对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是　②④　．

【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．
【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；
②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；
③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；
④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．
故答案为：②④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）在网格中，画出该函数的图象．
（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令y＝0解方程求出x的值，即可得到与x轴的坐标即可；
（2）先去的A、B的坐标，然后根据三角形的面积求得高，进而求得C的坐标．
【解答】解：（1）

（2）令y＝0，代入y＝x2﹣4x+3，则x＝1，3，
∴A（0，1），B（0，3），∴AB＝2，
∵△ABC的面积为3，
∴AB为底的高为3，
令y＝3，代入y＝x2﹣4x+3，则x＝0，4，
∴C（0，3）或（4，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，主要考查了顶点坐标的求解和与x轴的交点的求解方法，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AB于点E．求证：△ABC∽△ADE．

【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【解答】证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED＝∠C＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19．（5分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，求这个二次函数的表达式．

【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1设解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式．
20．（5分）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF，求证：△ABC∽△DEF．

【分析】分别计算两个三角形三条边的长，再根据三边成比例的两三角形相似可得结论．
【解答】解：根据网格可知：
△ABC三边的长分别为：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
△DEF三边的长分别为：DF＝＝2，DE＝4，EF＝＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣4
—3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．

【分析】（1）设 y＝a（x+1）2﹣4，然后把（0，﹣3）代入求出抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2和x＝0的函数值相同，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣4），
设 y＝a（x+1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）如图，

（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠CED，由等角的补角相等可得出∠AEC＝∠BDA，结合∠DAC＝∠B，即可证出△ABD∽△CAE；
（2）根据相似三角形的性质可得出＝，代入AB、AC、BD的值即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED．
∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，
∴∠AEC＝∠BDA．
又∵∠DAC＝∠B，
∴△ABD∽△CAE．
（2）∵△ABD∽△CAE，
∴＝，
∴AE＝•BD＝×2＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ABD∽△CAE是解题的关键．
23．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．

【分析】（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB＝∠C＝90°，∠BAF＝∠EBC，从而得证；
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，可知CD＝AB＝10，由于E为DC的中点，CE＝5，由勾股定理可求得：BE＝13，最后由△ABF∽△BEC得：，从而可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC
∴△BEC∽△ABF
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，
∴CD＝AB＝10，
∵E为DC的中点，
∴CE＝5，
又BC＝12，
在Rt△BEC中，
由勾股定理得：BE＝13，
由△ABF∽△BEC得：
即：＝，
∴解得：AF＝
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法以及矩形的性质，本题属于中等题型．
24．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　方案二　（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　（10，0）　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；
（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．
【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；

（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
25．（6分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．

在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝　BC（BB′+C′C）　；（用BB'，CC'，BC表示）
若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝　　．
【分析】先利用相似三角形的判定得到△ABC∽△B'BA∽△C'AC，则根据相似三角形的性质得＝，＝，从而得到AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C；然后利用此结论和图3计算B′C′的长．
【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC
∴＝，＝，
∴AB2＝BC•B′B，AC2＝BC•C′C，
∴AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C＝BC（BB′+C′C）；
∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，
∴42+32＝6（BB′+C′C），
即6（BC﹣B′C′）＝25，
∴6﹣B′C′＝，
∴B′C′＝．
故答案为BC（BB'+CC'）；．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2+bx的图象上．
（1）当m＝﹣3时．
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（﹣1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 　a＜﹣1或a＞5　；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②根据二次函数的增减性和对称性即可得到a的取值范围；
（2）分两种情况讨论，根据题意得到关于b的不等式组，解不等式组即可求得．
【解答】解：（1）当m＝﹣3时．
①把点（1，﹣3）代入y＝x2+bx，得b＝﹣4，
二次函数表达式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
所以顶点坐标为（2，﹣4）；
②∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．
∴开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴点（﹣1，y1）关于直线x＝2的对称点为（5，y1），
∵点（﹣1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，
∴a＜﹣1或a＞5，
故答案为：a＜﹣1或a＞5；
（2）将点（1，m），（3，n）代入y＝x2+bx，可得m＝1+b，n＝9+3b．
当mn＜0时，有两种情况：
①若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得此时不等式组无解．
②若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得解得﹣3＜b＜﹣1．
所以﹣3＜b＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠AEF的度数；
（3）连接AC交EF于点H，若＝a，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据已知补全图形即可；
（2）由四边形ABCD是正方形，得∠ABC＝∠D＝∠BAC＝90°，AD＝AB，而AE⊥AF，可证明△ABF≌△ADE（AAS），即得△AEF是等腰直角三角形，故∠AEF＝45°；
（3）过H作HG⊥BC于G，过H作HM⊥CD于M，根据四边形ABCD是正方形，可得△CGH是等腰直角三角形，从而HG＝CG＝HM，由＝a，可知＝＝，＝＝，即得CF＝（a+1）HM，CE＝HG，故＝a．
【解答】解：（1）补全图形如下：

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝∠BAC＝90°，AD＝AB，
∴∠D＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAD，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°；
（3）过H作HG⊥BC于G，过H作HM⊥CD于M，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴HG＝CG，
∵HG⊥BC，HM⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形HGCM是正方形，
∴HG＝CG＝HM，
∵HG∥CE，HM∥CF，
∴△EHM∽△EFC，△FHG∽△FEC，
∵＝a，
∴＝＝，＝＝，
∴CF＝（a+1）HM，CE＝HG，
而HM＝HG，
∴CE＝，即＝a．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，相似三角形的判定及性质等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形转化线段比．

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