北京市昌平区南小兴十马阳融合学区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷　（含答案）

2022-2023学年北京市昌平区南小兴十马阳融合学区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2

3．（2分）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米

4．（2分）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）

A． B． 

C．y＝（x+3）2﹣2 D．

5．（2分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）

A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．

6．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝3，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（　　）

A． B． C．3 D．9

7．（2分）若函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m＝1

8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，当a＞0时，下列说法一定正确的是（　　）

A．若y1y2＜0，则y3＞0 B．若y2y3＞0，则y1＜0 

C．若y1y3＜0，则y2＞0 D．若y1y2y3＝0，则y2＝0

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．（2分）请写出以直线x＝2为对称轴，且经过点（0，1）的二次函数表达式 　   　．

10．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为　   　．

11．（2分）将二次函数y＝x2﹣2x+3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　   　．

12．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1　   　y2．（选填“＞”“＜或“＝”）

13．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　   　．

14．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为　   　．

15．（2分）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，点D在边AB上，AD＝2．若要在AC边上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝　   　．

16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是　   　．

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）

17．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）在网格中，画出该函数的图象．

（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AB于点E．求证：△ABC∽△ADE．

19．（5分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴悬x＝﹣1，求这个二次函数的表达式．

20．（5分）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF，求证：△ABC∽△DEF．

21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在图中画出这个二次函数的图象；

（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．

22．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的长．

23．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．

（1）求证：△BEC∽△ABF；

（2）求AF的长．

24．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面

的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　   　（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　   　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

25．（6分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．

在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝　   　；（用BB'，CC'，BC表示）

若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝　   　．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2+bx的图象上．

（1）当m＝﹣3时．

①求这个二次函数的顶点坐标；

②若点（﹣1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是 　   　；

（2）当mn＜0时，求b的取值范围．

27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．

（1）依据题意，补全图形；

（2）求∠AEF的度数；

（3）连接AC交EF于点H，若＝a，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．

2022-2023学年北京市昌平区南小兴十马阳融合学区九年级（上）期中数学试卷

参考答案

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．D    2．C   3．A   4．D   5．D   6．D   7．A    8．A

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．答案为：y＝（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）．

10．答案为：4．

11．答案为y＝（x﹣1）2+2．

12．答案为：＜．

13．答案为：﹣1＜x＜2

14．答案为10

15．答案为：．

16．答案为：②④

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）

17．解：（1）

（2）令y＝0，代入y＝x2﹣4x+3，则x＝1，3，

∴A（0，1），B（0，3），∴AB＝2，

∵△ABC的面积为3，

∴AB为底的高为3，

令y＝3，代入y＝x2﹣4x+3，则x＝0，4，

∴C（0，3）或（4，3）．

18．证明：∵DE⊥AB于点E，

∴∠AED＝∠C＝90°．

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ADE．

19．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，

将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，

解得：，

则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4．

20．解：根据网格可知：

△ABC三边的长分别为：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，

△DEF三边的长分别为：DF＝＝2，DE＝4，EF＝＝2，

∵，

∴△ABC∽△DEF．

21．解：（1）∵x＝﹣2和x＝0的函数值相同，

∴对称轴为直线x＝﹣1，

∴顶点为（﹣1，﹣4），

设 y＝a（x+1）2﹣4，

将（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，

∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；

（2）如图，

（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．

22．（1）证明：∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED．

∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，

∴∠AEC＝∠BDA．

又∵∠DAC＝∠B，

∴△ABD∽△CAE．

（2）∵△ABD∽△CAE，

∴＝，

∴AE＝•BD＝×2＝．

23．解：（1）在矩形ABCD中，

有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°

∵AF⊥BE，

∴∠AFB＝∠C＝90°，

∴∠BAF＝∠EBC

∴△BEC∽△ABF

（2）在矩形ABCD中，AB＝10，

∴CD＝AB＝10，

∵E为DC的中点，

∴CE＝5，

又BC＝12，

在Rt△BEC中，

由勾股定理得：BE＝13，

由△ABF∽△BEC得：

即：＝，

∴解得：AF＝

24．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），

由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，

把点（0，0）代入得：

0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，

故答案为：方案二，（10，0）；

（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，

所以水面上涨的高度为米．

25．解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC

∴＝，＝，

∴AB2＝BC•B′B，AC2＝BC•C′C，

∴AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C＝BC（BB′+C′C）；

∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，

∴42+32＝6（BB′+C′C），

即6（BC﹣B′C′）＝25，

∴6﹣B′C′＝，

∴B′C′＝．

故答案为BC（BB'+CC'）；．

26．解：（1）当m＝﹣3时．

①把点（1，﹣3）代入y＝x2+bx，得b＝﹣4，

二次函数表达式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，

所以顶点坐标为（2，﹣4）；

②∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．

∴开口向上，对称轴为直线x＝2，

∴点（﹣1，y1）关于直线x＝2的对称点为（5，y1），

∵点（﹣1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，

∴a＜﹣1或a＞5，

故答案为：a＜﹣1或a＞5；

（2）将点（1，m），（3，n）代入y＝x2+bx，可得m＝1+b，n＝9+3b．

当mn＜0时，有两种情况：

①若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得此时不等式组无解．

②若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得解得﹣3＜b＜﹣1．

所以﹣3＜b＜﹣1．

27．解：（1）补全图形如下：

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠D＝∠BAC＝90°，AD＝AB，

∴∠D＝∠ABF＝90°，

∵AE⊥AF，

∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAD，

∴△ABF≌△ADE（AAS），

∴AF＝AE，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴∠AEF＝45°；

（3）过H作HG⊥BC于G，过H作HM⊥CD于M，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∴△CGH是等腰直角三角形，

∴HG＝CG，

∵HG⊥BC，HM⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形HGCM是正方形，

∴HG＝CG＝HM，

∵HG∥CE，HM∥CF，

∴△EHM∽△EFC，△FHG∽△FEC，

∵＝a，

∴＝＝，＝＝，

∴CF＝（a+1）HM，CE＝HG，

而HM＝HG，

∴CE＝，即＝a．