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江苏省无锡市锡山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份江苏省无锡市锡山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了0分，0分），0分)，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程为一元二次方程的是( )
A. ax2+2=0 B. x2-2x-3 C. x2+1=0 D. xy+1=0
2. 如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. AC2=AD⋅AB
D. ADAC=DCBC
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则以A为圆心，3为半径的⊙A与BC的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
4. 如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=23，则DEBC=( )
A. 23
B. 15
C. 25
D. 35
5. 已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为( )
A. 12πcm2 B. 15πcm2 C. 20πcm2 D. 30πcm2
6. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，则∠DAF的度数为( )
A. 100°
B. 105°
C. 125°
D. 120°
7. 下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个，其中不正确的个数( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D(不与O重合)，连结CD.若∠A=22°，则∠ACD的度数为( )
A. 46°
B. 44°
C. 48°
D. 68°
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A. 22
B. 24
C. 105
D. 123
10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG=90°，S△A'EP=8，S△D'PH=2，则矩形ABCD的长为( )
A. 65+10 B. 610+52 C. 35+10 D. 310+52
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 关于x的一元二次方程x2-kx-6=0的有一个根为x=3，则k=______．
12. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为______．
13. 如图，⊙O中，已知∠ACB=130°.则∠D=______．
14. 2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元(新华网).假如每一个5年里人均增长率不变，则这个人均增长率约为多少？答：______．
15. 对于任意实数a、b.定义一种运算：a⊗b=ab-1，若x⊗(x-2)=2.则x的值为______．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
17. P是△ABC边上的任一点(P不与A、B、C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，当点P是边BC上一个三等分点时(PB>PC)，过点P的△ABC的“相似线”最多有______条．
18. 如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103，则△ABC的周长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解方程
(1)x2+4x-5=0；
(2)4x2=(x-3)2．
20. (本小题10.0分)
在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．
22. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC是锐角三角形(AC
(2)在(1)的条件下，若BM=53，BC=2，则⊙O的半径为______．
23. (本小题8.0分)
阅读下面的例题：分解因式：x2+2x-1．
解：令x2+2x-1=0得到一个关于x的一元二次方程．∵a=1，b=2，c=-1，
∴x=-b±b2-4ac2a=-2±222=-1±2.解得x1=-1+2，x1=-1-2；
∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2)=[x-(-1+2)][x-(-1-2)]=(x+1-2)(x+1+2)．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)已知代数式x2-2x-k对应的方程解为-3和5，则代数式x2-2x-k分解后为______；
(2)将代数式x2-3x+1分解因式．
24. (本小题10.0分)
如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=3．
(1)求证：△BOC∽△BCD；
(2)求△BCD的周长．
25. (本小题10.0分)
庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话：
根据他们的对话，解决下面所给问题：
老李透露：他每天租金、损耗等要开支240元；若超市每天还要获得3400元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？
26. (本小题10.0分)
如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC．
(1)求证：DC是∠ADB的平分线；
(2)设线段DC的长为x，请你通过计算用含x的代数式表示四边形ADBC的面积S；
(3)若点M，N分别在线段CA，CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
27. (本小题10.0分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE=2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
28. (本小题10.0分)
在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是(4,2)，M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O'．
(1)①若N与C重合，M是OA的中点，则O'的坐标是______；
②MN//AC，若翻折后O'在AC上，求MN的解析式．
(2)已知M坐标是(3,0)，若△MNO'的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.当a=0时，ax2+2=0不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.x2-2x-3是多项式，不是方程，故本选项不合题意；
C.x2+1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.xy+1=0是二元二次方程，故本选项不合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：A、∠B=∠ACD，∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项A不符合题意；
B、∠ADC=∠ACB，∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项B不符合题意；
C、∵AC2=AD⋅AB，∴ACAD=ABAC，又∵∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项C不符合题意；
D、∵根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，∴ADAC=DCBC不能判断△ABC∽△ACD，故选项D符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定方法主要分析判断即可．
本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法，(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法；(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=AB2-BC2=3，
∵⊙A的半径为3，
∴点C在⊙A上．
∵∠C=90°，
∴⊙A与BC的位置关系是相切．
故选：B．
根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
此题主要考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①如果点P在圆外，那么d>r；②如果点P在圆上，那么d=r；③如果点P在圆内，那么d
4.【答案】C
【解析】解：∵ADDB=23，
∴ADAB=25，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=25，
故选：C．
根据比例的性质以及相似三角形的性质可得DEBC=ADAB=25．
本题考查相似三角形的判定和性质，比例的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．
【解答】
解：底面周长是：2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是：12×6π×5=15π(cm2).
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠DAF=180°-∠E=120°，
故选：D．
连接OE，OB，根据旋转的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，旋转的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，故①不符合题意；
②经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故②符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故③符合题意；
④圆内接四边形有无数个，故④符合题意；
综上所述：正确的是①，
故选：C．
根据切线的判定和性质定理以及圆的有关知识即可解决问题．
本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-22°=68°．
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-68°=112°，
∴∠ACD=180°-∠ADC-∠A，
=180°-112°-22°，
=46．
故选：A．
先连接BC，根据圆周角定理求得∠ACB的度数，从而利用直角三角形的性质求得∠B的度数；再由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，从而得到∠ADC+∠B=180°，从而利用三角形内角和的性质得∠ADC即可．
此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：对于直线y=kx-3k+4=k(x-3)+4，当x=3时，y=4，
故直线y=kx-3k+4恒经过点(3,4)，记为点D．
过点D作DH⊥x轴于点H，
则有OH=3，DH=4，OD=OH2+DH2=5．
∵点A(13,0)，
∴OA=13，
∴OB=OA=13．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC的最小值为2BD=2OB2-OD2=2×132-52=2×12=24．
故选：B．
易知直线y=kx-3k+4过定点D(3,4)，运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(3,4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，
由翻折可知：PA'=AB=x，PD'=CD=x，
∵△A'EP的面积为8，△D'PH的面积为2，
又∵，∠A'PF=∠D'PG=90°，
∴∠A'P D'=90°，则∠A'PE+∠D'PH=90°，
∴∠A'PE=∠D'HP，
∴△A'EP∽△D'PH，
∴A'P2：D'H2=8：2，
∴A'P：D'H=2：1，
∵A'P=x，
∴D'H=12x，
∵S△D'PH=12D'P⋅D'H=12A'P⋅D'H，即12⋅x⋅12x=2，
∴x=22(负根舍弃)，
∴AB=CD=22，D'H=DH=2，D'P=A'P=CD=22，A'E=2D'P=42，
∴PE=(42)2+(22)2=210，PH=(22)2+(2)2=10，
∴AD=42+210+10+2=52+310，
即矩形ABCD的长为52+310，
故选：D．
设AB=CD=x，由翻折可知：PA'=AB=x，PD'=CD=x，因为△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1，推出D'H=12x，由S△D'PH=12A'P⋅D'H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】1
【解析】解：把x=3代入x2-kx-6=0得9-3k-6=0，
解得k=1．
故答案为1．
根据一元二次方程的解的意义，把x=3代入原方程得到k的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12.【答案】1：2
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故答案为1：2．
根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
本题主要考查相似三角形的性质．
13.【答案】50°
【解析】解：∵∠ACB=130°，
∵∠ACB+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠ACB=50°．
故答案为：50°．
由在⊙O中∠ACB=130°，由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆的内接四边形对角互补定理的应用．
14.【答案】这个人均增长率约为50%
【解析】解：设这个人均增长率为x，
依题意得：3.6(1+x)2=8.1，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5(不符合题意，舍去)，
∴这个人均增长率约为50%．
故答案为：这个人均增长率约为50%．
设这个人均增长率为x，根据“十年间，我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】3或-1
【解析】解：∵a⊗b=ab-1，x⊗(x-2)=2．
∴x(x-2)-1=2，
解得x1=3，x2=-1，
故答案为：3或-1．
根据a⊗b=ab-1，x⊗(x-2)=2.可以列出方程x(x-2)-1=2，然后求解即可．
本题考查解一元二次方程、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
16.【答案】23π-3
【解析】
【分析】
连接CE，由扇形CBE面积-三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE=34BC2=3，
∴阴影部分的面积为23π-3．
故答案为：23π-3．
17.【答案】4
【解析】解：如图所示：
当PD//AB时，△PCD∽△BCA；
当PF//AC时，△PBF∽△CBA；
当PE⊥AB时，△PBE∽△ABC；
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴设AC=a，则AB=2a，
则BC=AB2-AC2=3a，
∴PC=33a，
在Rt△ACP中，tan∠CAP=CPAC=33aa=33，
∴∠CAP=30°，
∴△ACP∽△BCA．
故过点P的△ABC的相似线最多有4条．
故答案为：4．
根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
18.【答案】25
【解析】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．
∵EG//AB，EF//AC，FG//BC，
∴∠EGF=∠ABC，∠FEG=∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
∴EF：FG：EG=AC：BC：AB=5：12：13，
设EF=5k，FG=12k，
∵12×5k×12k=103，
∴k=13或-13(舍弃)，
∴EF=53，
∵四边形EKJF是矩形，
∴KJ=EF=53，
设AC=5m，BC=12m，AB=13m，
∵∠ACH=∠AMH=90°，∠HAC=∠HAM，AH=AH，
∴△HAC≌△HAM(AAS)，
∴AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设CH=HM=x，
在Rt△BHM中，则有x2+(8m)2=(12m-x)2，
∴x=103m，
∵EK//CH，
∴ΔAKE∽ΔACH，
∴EKCH=AKAC，
∴1103m=AK5m，
∴AK=32，
∴AC=AK+KJ+CJ=32+53+1=256，
∴BC=15×256×12=10，AB=15×256×13=656，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=256+10+656=25，
故答案为25．
如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J.利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM(AAS)，推出AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设CH=HM=x，在Rt△BHM中，则有x2+(8m)2=(12m-x)2，推出x=103m，由EK//CH，推出EKCH=AKAC，推出1103m=AK5m，可得AK=32，求出AC即可解决问题．
本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)x2+4x-5=0，
(x+5)(x-1)=0，
x+5=0或x-1=0，
解得x1=-5，x2=1；
(2)4x2=(x-3)2，
(2x)2-(x-3)2=0，
(2x+x-3)(2x-x+3)=0，
(3x-3)(x+3)=0，
3x-3=0或x+3=0，
解得x1=1，x2=-3．
【解析】(1)用十字相乘法因式分解解方程即可；
(2)用平方差公式分解解方程即可．
本题考查一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
20.【答案】解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(b+2)2-4(6-b)=0，即b2+8b-20=0；
解得b=2，b=-10(舍去)；
①当a为底，b为腰时，则2+2=4，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，△ABC的周长为：4+4+2=10；
答：△ABC的周长是10．
【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE=AB2+BE2=62+22=210，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴ABDF=AEAD，
∴DF=AB⋅ADAE=6×4210=6105．
【解析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，以及勾股定理．
(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B=90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．
22.【答案】解：(1)如图1，直线l，⊙O即为所求；
(2)12．
【解析】
【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可；
(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图2，过点O作OE⊥AB于E．
设OE=ON=r，
∵BM=53，BC=2，MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=1，
∴MN=BM2-BN2=(53)2-12=43，
∵S△BNM=S△BNO+S△BOM，
∴12×1×43=12×1×r+12×53×r，
解得r=12．
故答案为12．
23.【答案】(x+3)(x-5)
【解析】解：(1)∵代数式x2-2x-k对应的方程解为-3和5，
∴代数式x2-2x-k分解后为(x+3)(x-5)，
故答案为：(x+3)(x-5)；
(2)令x2-3x+1=0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a=1，b=-3，c=1，
∴x=-b±b2-4ac2a=3±52，
解得x1=3+52，x2=3-52．
所以x2-3x+1=(x-x1)(x-x2)=(x-3+52)(x-3-52).
(1)求根法即可得到结论；
(2)先令x2-3x+1=0得到关于x的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入x2-3x+1=(x-x1)(x-x2)即可．
阅读理解题要根据它提供的解题方法进行解题．对于二次三项式的因式分解有：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是ax2+bx+c=0的两根．
24.【答案】证明：(1)∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BCD；
(2)∵∠D=30°，DC=3，∠OCD=90°，
∴DC=3OC=3，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC=3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB=3+3+2+1=3+23．
【解析】(1)由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得∠B=∠OCB=30°，从而可得∠B=∠D=30°，∠DCB=120°=∠BOC，可得结论；
(2)由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是关键．
25.【答案】解：设这种水果的售价定为x元，则每千克的销售利润为(x-22)元，每天可售出160+120×38-x3=(1680-40x)千克，
依题意得：(x-22)(1680-40x)-240=3400，
整理得：x2-64x+1015=0，
解得：x1=29，x2=35，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=29．
答：这种水果的售价应定为29元．
【解析】设这种水果的售价定为x元，则每千克的销售利润为(x-22)元，每天可售出(1680-40x)千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量-每天租金、损耗，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得出这种水果的售价应定为29元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=60°，
同理可得，
∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
(2)解：(方法一)如图1，
延长DA至E，使AE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CB=60°，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠DAC+∠CBD=180°，
∵∠DAC+∠CAE=180°，
∴∠CAE=∠CBD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
由(1)得：∠ADC=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴S△CDE=12CD⋅(CD⋅sin60)=34x2，
∵S四边形ADBC=S△ACD+S△BCD=S△ACD+S△ACE=S△CDE，
∴S=34x2；
(方法二)如图2，
作CE⊥BD，交DB的延长线于E，作CF⊥AD于F，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
由(1)知：CD是∠ADB的平分线，
∴CF=CE，
∵AC=BC，
∴Rt△ACF≌Rt△BCE(HL)，△CDF≌△CDE(AAS)，
∴S四边形ADBC=S△ACF+S△CDF+S△BCD=S△BCE+S△BCD+S△CDF=S△CDF+S△CDE=2S△CDF，
∵S△CDF=12DF⋅CF=12(CD⋅cos∠ADC)⋅(CD⋅sin∠ADC)=34x2；
(3)解：如图3，
作点D关于AC和BC的对称点E，F，连接CE，CF，交AC于M，交BC于N，连接DM，DN，
∴CE=CD，CF=CD，∠ACE=∠ACD，∠BCF=∠BCD，
∴CF=CE=CD，∠FCE=∠ACE+∠ACD+∠BCD+∠BCF=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB=120°，
∴∠CEF=∠CFE=12(180°-∠FCE)=30°，∠FCG=180°-∠FCE=60°，
∴EF=2FG，FG=CF⋅sin60°=32CD，
∴EF=3CD，
同理可得，
DM=EM，DN=NF，
∴DM+DN+MN=EM+NF+MN=EF=3CD，
∴当CD确定时，△DMN的周长最小值为：3CD，
当CD最大时，t的值最大，
∴当CD=4时，t最大=43．
【解析】(1)根据圆周角定理得出：∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，进一步得出结论；
(2)方法一：延长DA至E，使AE=BD，证明△ACE≌△BCD，进而得出△CDE是等边三角形，从而得出四边形ADBC的面积等于△CDE的面积；
方法二：作CE⊥BD，交DB的延长线于E，作CF⊥AD于F，证明Rt△ACF≌Rt△BCE(HL)，△CDF≌△CDE，进一步得出结果；
(3)作点D关于AC和BC的对称点E，F，连接CE，CF，交AC于M，交BC于N，连接DM，DN，CE=CD，CF=CD，∠ACE=∠ACD，∠BCF=∠BCD，DM=EM，DN=NF，从而DM+DN+MN=EM+NF+MN=EF=3CD，当CD确定时，△DMN的周长最小值为：3CD，当CD最大时，t的值最大，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
27.【答案】解：(1)∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，(1分)
∴PDAP=BCAC=12，(1分)
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴PEAE=PDAP=12.(1分)
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，
∴PE=2DE，(1分)
∴AE=2PE=4DE，(1分)
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP=x，
∴PD=12x，
∵PD//HE，
∴HEPD=AEAD=43．
∴HE=23x.(1分)
又∵AB=25，y=12(25-x)⋅23x，即y=-13x2+253x.(1分)
∵点D是AC上一点，
∴AD<4，AP=2PD，
∴AP<855，
定义域是0
另解：由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=43×52x=253x，(1分)
∴S△ABE=12×253x×2=253x，
∴S△BEPS△ABE=BPAB，即y253=25-x25，
∴y=-13x2+253x.(1分)
定义域是0
(3)由△PEH∽△BAC，得PEHE=ABAC，
∴PE=23x⋅52=53x.(1分)
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．
(i)当∠BEP=90°时，PEPB=BCAB，
∴53x25-x=15．
解得x=354.(1分)
∴y=-13x×916×5+253×354=2516.(1分)
(ii)当∠EBP=90°时，同理可得x=352，(1分)
y=54.(1分)
【解析】(1)先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出PDAP=BCAC=12，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；
(2)由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD//HE可得出HEPD=AEAD=43，进而可得出y与x的关系式；
(3)由△PEH∽△BAC，得PEHE=ABAC，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解(3)时要注意分类讨论，不要漏解．
28.【答案】(2,2)
【解析】解：(1)①如图1，
∵OM=ON=2，∠AOC=90°，
∴∠OCM=∠OMC=45°，
由折叠知：∠MNO'=∠ ，OCM=45°，CO'=CO=2，
∴∠OCO'=90°，
∴点O'在BC上，
∴Q'(2,2)，
故答案为：(2,2)；
②如图2，
连接OO'，
由轴对称的性质可得：OO'⊥MN，OD=DO'=12OO'，
∵MN//AC，
∴OO'⊥AC，△OMN∽△OAC，
∴ONOC=OMOA=ODOO'=12，
∴ON=12OC=1，OM=12 OA=2，
∴N(0,1)，M(2,0)，
设AC的解析式为：y=kx+b，
∴b=12k+b=0，
∴b=1k=-12，
∴y=-12x+1；
(2)如图3，
设MN的中点为I，⊙I切BC于D，连接DI，DI的延长线交OA于E，
∴DI⊥BC，
∴∠IDC=90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO=∠COE=90°，
∴∠IDC=∠BCO=∠COA=90°，
∴四边形DCOE是矩形，⊙I过点O，
∴DE=OC=2，OE=EM=12OM=32，
∵IM=IN，
∴ON=2IE，
设IE=x，则DI=IM=DE-IE=2-x，
在Rt△IEM中，由勾股定理得，
IE2+EM2=IM2，
∴x2+(32)2=(2-x)2，
∴x=716，
∴IE=716，
∴ON=2IE=78，
当78≤n≤2时，△MNO'的外接圆与线段BC有公共点．
(1)①四边形MONO'是正方形，从而得出结果；
②可证得MN是△AOC的中位线，进而得出结果；
(2)求出MN为直径的圆与BC相切时的n的值：设MN的中点为I，⊙I切BC于D，连接DI，DI的延长线交OA于E，设IE=x，则DI=IM=DE-IE=2-x，在Rt△IEM中，由勾股定理列出方程求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解决问题的关键是找出临界点，利用勾股定理列方程．
2022-2023学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程为一元二次方程的是( )
A. ax2+2=0 B. x2-2x-3 C. x2+1=0 D. xy+1=0
2. 如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. AC2=AD⋅AB
D. ADAC=DCBC
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则以A为圆心，3为半径的⊙A与BC的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
4. 如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=23，则DEBC=( )
A. 23
B. 15
C. 25
D. 35
5. 已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为( )
A. 12πcm2 B. 15πcm2 C. 20πcm2 D. 30πcm2
6. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，则∠DAF的度数为( )
A. 100°
B. 105°
C. 125°
D. 120°
7. 下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个，其中不正确的个数( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D(不与O重合)，连结CD.若∠A=22°，则∠ACD的度数为( )
A. 46°
B. 44°
C. 48°
D. 68°
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A. 22
B. 24
C. 105
D. 123
10. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG=90°，S△A'EP=8，S△D'PH=2，则矩形ABCD的长为( )
A. 65+10 B. 610+52 C. 35+10 D. 310+52
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 关于x的一元二次方程x2-kx-6=0的有一个根为x=3，则k=______．
12. 若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为______．
13. 如图，⊙O中，已知∠ACB=130°.则∠D=______．
14. 2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元(新华网).假如每一个5年里人均增长率不变，则这个人均增长率约为多少？答：______．
15. 对于任意实数a、b.定义一种运算：a⊗b=ab-1，若x⊗(x-2)=2.则x的值为______．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
17. P是△ABC边上的任一点(P不与A、B、C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，当点P是边BC上一个三等分点时(PB>PC)，过点P的△ABC的“相似线”最多有______条．
18. 如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103，则△ABC的周长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解方程
(1)x2+4x-5=0；
(2)4x2=(x-3)2．
20. (本小题10.0分)
在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．
22. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC是锐角三角形(AC
(2)在(1)的条件下，若BM=53，BC=2，则⊙O的半径为______．
23. (本小题8.0分)
阅读下面的例题：分解因式：x2+2x-1．
解：令x2+2x-1=0得到一个关于x的一元二次方程．∵a=1，b=2，c=-1，
∴x=-b±b2-4ac2a=-2±222=-1±2.解得x1=-1+2，x1=-1-2；
∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2)=[x-(-1+2)][x-(-1-2)]=(x+1-2)(x+1+2)．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)已知代数式x2-2x-k对应的方程解为-3和5，则代数式x2-2x-k分解后为______；
(2)将代数式x2-3x+1分解因式．
24. (本小题10.0分)
如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=3．
(1)求证：△BOC∽△BCD；
(2)求△BCD的周长．
25. (本小题10.0分)
庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话：
根据他们的对话，解决下面所给问题：
老李透露：他每天租金、损耗等要开支240元；若超市每天还要获得3400元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？
26. (本小题10.0分)
如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC．
(1)求证：DC是∠ADB的平分线；
(2)设线段DC的长为x，请你通过计算用含x的代数式表示四边形ADBC的面积S；
(3)若点M，N分别在线段CA，CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
27. (本小题10.0分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE=2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
28. (本小题10.0分)
在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是(4,2)，M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O'．
(1)①若N与C重合，M是OA的中点，则O'的坐标是______；
②MN//AC，若翻折后O'在AC上，求MN的解析式．
(2)已知M坐标是(3,0)，若△MNO'的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.当a=0时，ax2+2=0不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.x2-2x-3是多项式，不是方程，故本选项不合题意；
C.x2+1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.xy+1=0是二元二次方程，故本选项不合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：A、∠B=∠ACD，∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项A不符合题意；
B、∠ADC=∠ACB，∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项B不符合题意；
C、∵AC2=AD⋅AB，∴ACAD=ABAC，又∵∠BAC=∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项C不符合题意；
D、∵根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，∴ADAC=DCBC不能判断△ABC∽△ACD，故选项D符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定方法主要分析判断即可．
本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法，(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法；(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=AB2-BC2=3，
∵⊙A的半径为3，
∴点C在⊙A上．
∵∠C=90°，
∴⊙A与BC的位置关系是相切．
故选：B．
根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
此题主要考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①如果点P在圆外，那么d>r；②如果点P在圆上，那么d=r；③如果点P在圆内，那么d
4.【答案】C
【解析】解：∵ADDB=23，
∴ADAB=25，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=25，
故选：C．
根据比例的性质以及相似三角形的性质可得DEBC=ADAB=25．
本题考查相似三角形的判定和性质，比例的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．
【解答】
解：底面周长是：2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是：12×6π×5=15π(cm2).
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠DAF=180°-∠E=120°，
故选：D．
连接OE，OB，根据旋转的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，旋转的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，故①不符合题意；
②经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故②符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故③符合题意；
④圆内接四边形有无数个，故④符合题意；
综上所述：正确的是①，
故选：C．
根据切线的判定和性质定理以及圆的有关知识即可解决问题．
本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-22°=68°．
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-68°=112°，
∴∠ACD=180°-∠ADC-∠A，
=180°-112°-22°，
=46．
故选：A．
先连接BC，根据圆周角定理求得∠ACB的度数，从而利用直角三角形的性质求得∠B的度数；再由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，从而得到∠ADC+∠B=180°，从而利用三角形内角和的性质得∠ADC即可．
此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：对于直线y=kx-3k+4=k(x-3)+4，当x=3时，y=4，
故直线y=kx-3k+4恒经过点(3,4)，记为点D．
过点D作DH⊥x轴于点H，
则有OH=3，DH=4，OD=OH2+DH2=5．
∵点A(13,0)，
∴OA=13，
∴OB=OA=13．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC的最小值为2BD=2OB2-OD2=2×132-52=2×12=24．
故选：B．
易知直线y=kx-3k+4过定点D(3,4)，运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(3,4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，
由翻折可知：PA'=AB=x，PD'=CD=x，
∵△A'EP的面积为8，△D'PH的面积为2，
又∵，∠A'PF=∠D'PG=90°，
∴∠A'P D'=90°，则∠A'PE+∠D'PH=90°，
∴∠A'PE=∠D'HP，
∴△A'EP∽△D'PH，
∴A'P2：D'H2=8：2，
∴A'P：D'H=2：1，
∵A'P=x，
∴D'H=12x，
∵S△D'PH=12D'P⋅D'H=12A'P⋅D'H，即12⋅x⋅12x=2，
∴x=22(负根舍弃)，
∴AB=CD=22，D'H=DH=2，D'P=A'P=CD=22，A'E=2D'P=42，
∴PE=(42)2+(22)2=210，PH=(22)2+(2)2=10，
∴AD=42+210+10+2=52+310，
即矩形ABCD的长为52+310，
故选：D．
设AB=CD=x，由翻折可知：PA'=AB=x，PD'=CD=x，因为△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1，推出D'H=12x，由S△D'PH=12A'P⋅D'H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】1
【解析】解：把x=3代入x2-kx-6=0得9-3k-6=0，
解得k=1．
故答案为1．
根据一元二次方程的解的意义，把x=3代入原方程得到k的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12.【答案】1：2
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故答案为1：2．
根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
本题主要考查相似三角形的性质．
13.【答案】50°
【解析】解：∵∠ACB=130°，
∵∠ACB+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠ACB=50°．
故答案为：50°．
由在⊙O中∠ACB=130°，由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆的内接四边形对角互补定理的应用．
14.【答案】这个人均增长率约为50%
【解析】解：设这个人均增长率为x，
依题意得：3.6(1+x)2=8.1，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5(不符合题意，舍去)，
∴这个人均增长率约为50%．
故答案为：这个人均增长率约为50%．
设这个人均增长率为x，根据“十年间，我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】3或-1
【解析】解：∵a⊗b=ab-1，x⊗(x-2)=2．
∴x(x-2)-1=2，
解得x1=3，x2=-1，
故答案为：3或-1．
根据a⊗b=ab-1，x⊗(x-2)=2.可以列出方程x(x-2)-1=2，然后求解即可．
本题考查解一元二次方程、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
16.【答案】23π-3
【解析】
【分析】
连接CE，由扇形CBE面积-三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE=34BC2=3，
∴阴影部分的面积为23π-3．
故答案为：23π-3．
17.【答案】4
【解析】解：如图所示：
当PD//AB时，△PCD∽△BCA；
当PF//AC时，△PBF∽△CBA；
当PE⊥AB时，△PBE∽△ABC；
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴设AC=a，则AB=2a，
则BC=AB2-AC2=3a，
∴PC=33a，
在Rt△ACP中，tan∠CAP=CPAC=33aa=33，
∴∠CAP=30°，
∴△ACP∽△BCA．
故过点P的△ABC的相似线最多有4条．
故答案为：4．
根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
18.【答案】25
【解析】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．
∵EG//AB，EF//AC，FG//BC，
∴∠EGF=∠ABC，∠FEG=∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
∴EF：FG：EG=AC：BC：AB=5：12：13，
设EF=5k，FG=12k，
∵12×5k×12k=103，
∴k=13或-13(舍弃)，
∴EF=53，
∵四边形EKJF是矩形，
∴KJ=EF=53，
设AC=5m，BC=12m，AB=13m，
∵∠ACH=∠AMH=90°，∠HAC=∠HAM，AH=AH，
∴△HAC≌△HAM(AAS)，
∴AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设CH=HM=x，
在Rt△BHM中，则有x2+(8m)2=(12m-x)2，
∴x=103m，
∵EK//CH，
∴ΔAKE∽ΔACH，
∴EKCH=AKAC，
∴1103m=AK5m，
∴AK=32，
∴AC=AK+KJ+CJ=32+53+1=256，
∴BC=15×256×12=10，AB=15×256×13=656，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=256+10+656=25，
故答案为25．
如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J.利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM(AAS)，推出AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设CH=HM=x，在Rt△BHM中，则有x2+(8m)2=(12m-x)2，推出x=103m，由EK//CH，推出EKCH=AKAC，推出1103m=AK5m，可得AK=32，求出AC即可解决问题．
本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)x2+4x-5=0，
(x+5)(x-1)=0，
x+5=0或x-1=0，
解得x1=-5，x2=1；
(2)4x2=(x-3)2，
(2x)2-(x-3)2=0，
(2x+x-3)(2x-x+3)=0，
(3x-3)(x+3)=0，
3x-3=0或x+3=0，
解得x1=1，x2=-3．
【解析】(1)用十字相乘法因式分解解方程即可；
(2)用平方差公式分解解方程即可．
本题考查一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
20.【答案】解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(b+2)2-4(6-b)=0，即b2+8b-20=0；
解得b=2，b=-10(舍去)；
①当a为底，b为腰时，则2+2=4，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，△ABC的周长为：4+4+2=10；
答：△ABC的周长是10．
【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE=AB2+BE2=62+22=210，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴ABDF=AEAD，
∴DF=AB⋅ADAE=6×4210=6105．
【解析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，以及勾股定理．
(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B=90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．
22.【答案】解：(1)如图1，直线l，⊙O即为所求；
(2)12．
【解析】
【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可；
(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图2，过点O作OE⊥AB于E．
设OE=ON=r，
∵BM=53，BC=2，MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=1，
∴MN=BM2-BN2=(53)2-12=43，
∵S△BNM=S△BNO+S△BOM，
∴12×1×43=12×1×r+12×53×r，
解得r=12．
故答案为12．
23.【答案】(x+3)(x-5)
【解析】解：(1)∵代数式x2-2x-k对应的方程解为-3和5，
∴代数式x2-2x-k分解后为(x+3)(x-5)，
故答案为：(x+3)(x-5)；
(2)令x2-3x+1=0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a=1，b=-3，c=1，
∴x=-b±b2-4ac2a=3±52，
解得x1=3+52，x2=3-52．
所以x2-3x+1=(x-x1)(x-x2)=(x-3+52)(x-3-52).
(1)求根法即可得到结论；
(2)先令x2-3x+1=0得到关于x的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入x2-3x+1=(x-x1)(x-x2)即可．
阅读理解题要根据它提供的解题方法进行解题．对于二次三项式的因式分解有：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是ax2+bx+c=0的两根．
24.【答案】证明：(1)∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠DCB=120°=∠BOC，
又∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BCD；
(2)∵∠D=30°，DC=3，∠OCD=90°，
∴DC=3OC=3，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC=3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB=3+3+2+1=3+23．
【解析】(1)由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得∠B=∠OCB=30°，从而可得∠B=∠D=30°，∠DCB=120°=∠BOC，可得结论；
(2)由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是关键．
25.【答案】解：设这种水果的售价定为x元，则每千克的销售利润为(x-22)元，每天可售出160+120×38-x3=(1680-40x)千克，
依题意得：(x-22)(1680-40x)-240=3400，
整理得：x2-64x+1015=0，
解得：x1=29，x2=35，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=29．
答：这种水果的售价应定为29元．
【解析】设这种水果的售价定为x元，则每千克的销售利润为(x-22)元，每天可售出(1680-40x)千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量-每天租金、损耗，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得出这种水果的售价应定为29元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=60°，
同理可得，
∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
(2)解：(方法一)如图1，
延长DA至E，使AE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CB=60°，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠DAC+∠CBD=180°，
∵∠DAC+∠CAE=180°，
∴∠CAE=∠CBD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
由(1)得：∠ADC=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴S△CDE=12CD⋅(CD⋅sin60)=34x2，
∵S四边形ADBC=S△ACD+S△BCD=S△ACD+S△ACE=S△CDE，
∴S=34x2；
(方法二)如图2，
作CE⊥BD，交DB的延长线于E，作CF⊥AD于F，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
由(1)知：CD是∠ADB的平分线，
∴CF=CE，
∵AC=BC，
∴Rt△ACF≌Rt△BCE(HL)，△CDF≌△CDE(AAS)，
∴S四边形ADBC=S△ACF+S△CDF+S△BCD=S△BCE+S△BCD+S△CDF=S△CDF+S△CDE=2S△CDF，
∵S△CDF=12DF⋅CF=12(CD⋅cos∠ADC)⋅(CD⋅sin∠ADC)=34x2；
(3)解：如图3，
作点D关于AC和BC的对称点E，F，连接CE，CF，交AC于M，交BC于N，连接DM，DN，
∴CE=CD，CF=CD，∠ACE=∠ACD，∠BCF=∠BCD，
∴CF=CE=CD，∠FCE=∠ACE+∠ACD+∠BCD+∠BCF=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB=120°，
∴∠CEF=∠CFE=12(180°-∠FCE)=30°，∠FCG=180°-∠FCE=60°，
∴EF=2FG，FG=CF⋅sin60°=32CD，
∴EF=3CD，
同理可得，
DM=EM，DN=NF，
∴DM+DN+MN=EM+NF+MN=EF=3CD，
∴当CD确定时，△DMN的周长最小值为：3CD，
当CD最大时，t的值最大，
∴当CD=4时，t最大=43．
【解析】(1)根据圆周角定理得出：∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，进一步得出结论；
(2)方法一：延长DA至E，使AE=BD，证明△ACE≌△BCD，进而得出△CDE是等边三角形，从而得出四边形ADBC的面积等于△CDE的面积；
方法二：作CE⊥BD，交DB的延长线于E，作CF⊥AD于F，证明Rt△ACF≌Rt△BCE(HL)，△CDF≌△CDE，进一步得出结果；
(3)作点D关于AC和BC的对称点E，F，连接CE，CF，交AC于M，交BC于N，连接DM，DN，CE=CD，CF=CD，∠ACE=∠ACD，∠BCF=∠BCD，DM=EM，DN=NF，从而DM+DN+MN=EM+NF+MN=EF=3CD，当CD确定时，△DMN的周长最小值为：3CD，当CD最大时，t的值最大，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
27.【答案】解：(1)∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，(1分)
∴PDAP=BCAC=12，(1分)
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴PEAE=PDAP=12.(1分)
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，
∴PE=2DE，(1分)
∴AE=2PE=4DE，(1分)
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP=x，
∴PD=12x，
∵PD//HE，
∴HEPD=AEAD=43．
∴HE=23x.(1分)
又∵AB=25，y=12(25-x)⋅23x，即y=-13x2+253x.(1分)
∵点D是AC上一点，
∴AD<4，AP=2PD，
∴AP<855，
定义域是0
另解：由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=43×52x=253x，(1分)
∴S△ABE=12×253x×2=253x，
∴S△BEPS△ABE=BPAB，即y253=25-x25，
∴y=-13x2+253x.(1分)
定义域是0
(3)由△PEH∽△BAC，得PEHE=ABAC，
∴PE=23x⋅52=53x.(1分)
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．
(i)当∠BEP=90°时，PEPB=BCAB，
∴53x25-x=15．
解得x=354.(1分)
∴y=-13x×916×5+253×354=2516.(1分)
(ii)当∠EBP=90°时，同理可得x=352，(1分)
y=54.(1分)
【解析】(1)先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出PDAP=BCAC=12，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；
(2)由△EPD∽△EAP，得DEPE=PDAP=12，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD//HE可得出HEPD=AEAD=43，进而可得出y与x的关系式；
(3)由△PEH∽△BAC，得PEHE=ABAC，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解(3)时要注意分类讨论，不要漏解．
28.【答案】(2,2)
【解析】解：(1)①如图1，
∵OM=ON=2，∠AOC=90°，
∴∠OCM=∠OMC=45°，
由折叠知：∠MNO'=∠ ，OCM=45°，CO'=CO=2，
∴∠OCO'=90°，
∴点O'在BC上，
∴Q'(2,2)，
故答案为：(2,2)；
②如图2，
连接OO'，
由轴对称的性质可得：OO'⊥MN，OD=DO'=12OO'，
∵MN//AC，
∴OO'⊥AC，△OMN∽△OAC，
∴ONOC=OMOA=ODOO'=12，
∴ON=12OC=1，OM=12 OA=2，
∴N(0,1)，M(2,0)，
设AC的解析式为：y=kx+b，
∴b=12k+b=0，
∴b=1k=-12，
∴y=-12x+1；
(2)如图3，
设MN的中点为I，⊙I切BC于D，连接DI，DI的延长线交OA于E，
∴DI⊥BC，
∴∠IDC=90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO=∠COE=90°，
∴∠IDC=∠BCO=∠COA=90°，
∴四边形DCOE是矩形，⊙I过点O，
∴DE=OC=2，OE=EM=12OM=32，
∵IM=IN，
∴ON=2IE，
设IE=x，则DI=IM=DE-IE=2-x，
在Rt△IEM中，由勾股定理得，
IE2+EM2=IM2，
∴x2+(32)2=(2-x)2，
∴x=716，
∴IE=716，
∴ON=2IE=78，
当78≤n≤2时，△MNO'的外接圆与线段BC有公共点．
(1)①四边形MONO'是正方形，从而得出结果；
②可证得MN是△AOC的中位线，进而得出结果；
(2)求出MN为直径的圆与BC相切时的n的值：设MN的中点为I，⊙I切BC于D，连接DI，DI的延长线交OA于E，设IE=x，则DI=IM=DE-IE=2-x，在Rt△IEM中，由勾股定理列出方程求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解决问题的关键是找出临界点，利用勾股定理列方程．
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