2023常州高三上学期期中考试数学试卷含答案

常州市教育学会学业水平监测

              高三数学         2022年11月

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U＝R，集合A＝{x|≤1}，B＝{x||x－2|≤1}，则集合(CUA)∩B＝

A．        B．{x|2＜x≤3}        C．{x|2≤x≤3}      D．{x|1≤x≤2}

2．记△ABC的内角为A，B，C，则“A＝B”是“sinA＝sinB”的

A．充分不必要条件                B．必要不充分条件

C．充分必要条件                  D．既不充分又不必要条件

3．已知等比数列{an}的公比q＞0，且a2＋a3＝6，a3a4＝a6，则a4＝

A．8             B．12             C．16              D．20

4．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是

A．y＝     B．y＝       C．y＝       D．y＝

5．若(1－ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝

A．－3           B．－2            C．－1             D．1

6．设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝

附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．

A．0.1587          B．0.1359         C．0.2718         D．0.3413

7．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l＜r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x－，则的值约为

A．2－          B．2－          C．1－        D．1－

8．设a＝e0.2，b＝，c＝ln，则

A．a＜b＜c         B．c＜b＜a         C．c＜a＜b        D．a＜c＜b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知等差数列{an}的公差d＜0，且a12＝a112．{an}的前n项和记为Sn，若Sk是Sn的最大值，则k的可能值为

A．5              B．6               C．10             D．11

10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则

A．B的最小值为               B．cos(A－C)＋cosB＝1－cos2B

C．             D．的取值范围为(0，)

11．已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，若f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(2－x)对任意实数x都成立，则

A．函数f(x)是周期函数

B．函数f′(x)是偶函数

C．函数f′(x)的图象关于(2，0)中心对称

D．函数f(2－x)与f(x)的图象关于直线x＝2对称

12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则

A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为

B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为

C．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为

D．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数f(x)＝tan(sinx)的最小正周期为           ．

14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则直线AH与平面DCC1D1所成角的正弦值为           ．

15．在△ABC中，2sin∠ACB＝sin∠ABC，AB＝2，BC边上的中线长为，则△ABC的面积为           ．

16．将数列{3n}与{2n}的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列{an}，则a684＝          ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Tn．

18．(本小题满分12分)

已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)满足＝32，＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为ŷ＝3x＋(其中∈R)．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为ŷ＝x＋(其中，∈R)．

(1)求的值；

(2)证明回归直线ŷ＝x＋经过点(4，16.5)，并指出与3的大小关系．

参考公式：线性回归方程ŷ＝x＋，其中＝，＝－．

19．(本小题满分12分)

记函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为T．若，且y＝f(x)的图象关于直线对称．

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[，0)上的值域．

20．(本小题满分12分)

甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况)．

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．

(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；

(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E(X)＞E(Y)时，证明：P(A)＞P(B)．

参考公式与临界值表：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．

21．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥A－BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，AC⊥BD，CB＝CD＝，BD＝2，E为BC的中点．

(1)若AD＝，求直线BD与AE所成角的余弦值；

(2)已知点F在线段AC上，且，求二面角F－DE－C的大小．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex－ax，g(x)＝ax－lnx，a∈R．

(1)若f(x)在x＝0处的切线与g(x)在x＝1处的切线相同，求实数a的值；

(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)，直线y＝m与函数F(x)的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，证明：x1＋x2＞1．