江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期中学业水平监测数学试题及答案

这是一份江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期中学业水平监测数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知，且，则，已知函数，且，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．i是虚数单位，复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：
“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．
若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是（ ）
A．60 B． C． D．
7．已知函数，点分别为图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． В． C． D．
8.．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（ ）
参考公式：，其中．参考数据：
A．该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6
B．随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法
C．有的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系
D．没有的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系
11．设内角所对的边为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能有 D．若，则可能有
12．已知为圆柱的母线，为圆柱底面圆的直径，且为的中点，点在底面圆周上运动（不与点重合），则（ ）
A．平面平面
B．当时，点沿圆柱表面到点的最短距离是
C．三棱锥的体积最大值是
D．与平面所成角的正切值的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答）
14．在提醒中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为_________．
15．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．
16．在平面凸四边形中，，且，将四边形沿对角线折起，使点到达点的位置．若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了的一组数据如下表所示：
该社团对上述数据进行了分析，发现与之间具有线性相关关系．
附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值．
（1）画出表中数据的散点图，并指出与之间的相关系数是正还是负；
（2）求出关于的线性回归方程，并写出当时，预测数据的值．
18．（12分）已知中，，点在边上，三等分，靠近靠近．
（1）若，且，求；
（2）若，求．
19．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
20．（12分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？
（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量X的分布和数学期望．
21．（12分）已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（1）求函数的解析式，并直接写出函数的解析式；
（2）若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值．
常州市教育学会 学业水平监测
高三数学
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.
1．【答案】C
【解析】，，选C．
2．【答案】A
【解析】位于第一象限，选A．
3．【答案】D
【解析】为奇函数关于原点对称，排除BC，时，，排除A，选D．
4．【答案】D
【解析】若甲是冠军，则三位预测正确，A错．
若乙是冠军，则一位预测正确，B错．
若丙是冠军，则没人预测正确，C错．
若丁是冠军，则两人预测正确，D对，选D．
5．【答案】A
【解析】，则，则，A对．
，В错．
，C错，，D错，选A．
6．【答案】D
【解析】，，，，
侧棱，，
，，选D．
7．【答案】B
【解析】为锐角三角形，，
恒成立；，，
，选B．
8．【答案】C
【解析】记“阳性”为，记“患病”为，，，，，
，，
选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】AD
【解析】，，，，D对，C错．
，A对．
，B错．
本题考查知识点：三次函数韦达定理：
有三个零点，则，
．
10．【答案】BC
【解析】，A错．
，B对．
，C对，D错，选BC．
11．【答案】ABD
【解析】，则，，A对．
，
，B对．
，则，即，则与矛盾，C错．
，则，不妨设，则，D对．选ABD．
12．【答案】AB
【解析】在以为直径的圆上，，又面，
面面，A对．
时，为半圆中点，展开后，，B对．
到面的距离为2，，，C错．
为直径作为另一条直径，为面的直径，以中点建系，面的法向量的，，，
设与面所成的角为，
，
，
，最大值不是，D错，选AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】216
【解析】5本书送4人共有，甲，乙送一人有个结果，．
14．【答案】3
【解析】如图建系，，，
设，令，，
．
15．【答案】
【解析】，
，
在，，，．
在，，时，；时，；
，，有两个根．
16．【答案】
【解析】，
利用双距离单交线公式，外心到的距离，
的外心到的距离交线，
设二面角平面角为，外接球半径为，
，
，
三棱锥外接球的表面积．
应填：
注：第16题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）是负．
（2）
，∴关于线性回归方程为
当时，．
18．【解析】
（1），
在中，，
．
（2）设，，故，
在中，由正弦定理
，
在中，由正弦定理，
．
在中，
，
．
19．【解析】
（1），
①当时，在上；
②当时，令．
且当时，；当时，．
（2）对恒成立．
①当时，，舍去．
②当时，在上，故只需符合．
综上：．
20．【解析】
（1）记事件为展示的一面颜色是红色，事件为剩下一面的颜色也是红色
，
．
（2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为，
的二项分布的所有可能取值为0，1，2
，，，
的分布列如下：
或由．
21．【解析】
（1）过分别作交于点交于点，
且，
，∴四边形为平行四边形，平面．
（2），
，
，，．
（3）取中点，连接为等边三角形且，．
在中，，由
在中，为中点，，，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系．
．
，又，，
，
设平面的一个法向量，
而平面的一个法向量
，或．
22．【解析】
（1）由图象知周期，且
．
再由，
．
（2）
令两根记为，其中，
作出在上的大致图象如下：
显然中有一个为或1．
①当时，此时，当为偶数时，有个交点，有个交点，此时舍去．
当为奇数时，有个解，有个解，有，舍去．
②当时，，此时．
当为偶数时，有个交点，有个交点，此时舍去．
当为奇数时，有个解，有个解．
，故．古文迷
非古文迷
男生
20
20
女生
40
10
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.841
5.024
6.635
2
3
4
5
6
7
52.5
45
40
30
25
17.5
0
1
2