重庆市綦江区联盟校2022-2023学年九年级上学期半期考试数学试题(含答案)

这是一份重庆市綦江区联盟校2022-2023学年九年级上学期半期考试数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答时应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2－＝2B．（x－）2＝0 C．3x2－2xy＋y2＝0 D．ax2－bx＋c＝0
2.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )

A． B． C． D．
3．一元二次方程3x2+5x+2＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．无法判断D．有两个相等的实数根
4．在平面直角坐标系中，与点P（3，﹣1）关于坐标原点成中心对称的点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）
5．已知函数的图像经过点（0，3），c的值是 （ ）
A．0B．1C．2D．3
6．抛物线y=x2+2x-3的对称轴的方程是( )
A．x=-1B．x=1C．x=D．x=-2
7．已知m是方程x2-x-4=0的一个根，则-2m2+2m的值为（）
A.4 B-4 C.8 D.-8
8．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A．y2>y3>y1B．y1=y3>y2C．y1>y3>y2D．y3>y1>y2
9．下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是( )
A．开口向上 B．对称轴是直线x=1
C．顶点坐标是(-1，3) D．函数y有最小值=3
10．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 D．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
11． 如图，函数和（a是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),下列说法：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若方程ax2+c=0 有两个不相等的实数根，则方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)必有两个不相等的实数根； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若c是方程ax2+bx+c=0 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．x2﹣4x＝0的解是 ．
14．二次函数y=2x2+mx+8与x轴只有一个交点，则m= .
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后
得到的△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．
若∠CC'B'＝32°，则∠B的大小是 .
如图，二次函数 的图像与轴交于
和，且，与轴的交点在上方，有以下结论：
①；②；③
④；⑤当m>1时，
a-b三、解答题（本大题共9小题，17，18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．解一元二次方程
（1）x（x-5）＝x-5； （2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．如图，在∆ABC中，，，，将∆ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到∆ADK，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．
19．已知，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1并写出A1，B1的坐标；
（2）在（1）的条件下，∠OAA1＝ ；
21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b和c的值；
（2）连结AB，交抛物线的对称轴于点M．求点M的坐标。
22．綦江永辉超市经销一种高档水果，售价每千克50元．
（1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？
23．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．
（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出
∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）拓展提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，直接写出OA+OB+OC的值．
参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
x1=0,x2=4 14. ±8 15. 77 16. = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
三、解答题（本大题共9小题，17，18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）
17.解：（1）x(x-5)-(x-5)=0
(x-5)(x-1)=0 分
∴x-5=0或x-1=0
∴x1=1或x2=5 分
（2）∵a=3,b=-1,c=-1
∴△=(-1)2 -4×3×(-1)=13>0 分
∴x= 1 ± 13 2 × 3 分
∴ x1=1 +13 6或x2=1 - 13 6 分
18.解：由旋转的性质可得：AB=AD分
∵∠B=60
∴△ABD是等边△ 分
∴BD=AB 分
∵AB=2 BD=3.6
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6 分
解：(1)∵关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴k-1≠0（-2）2-4（k-1）≥0
解得:k≤2且k≠1
当k=2时，方程为：x2﹣2x+1＝0
解得：x1=x2=1
20. 解：（1）∵△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1，A（5，3），B（0，5）
∴A1（-3，5），B1（-5，0）， 分
如图所示，即为所求；分
（2）由旋转的性质可得OA=OA1，∠AOA1=90°，
∴三角形AOA1是等腰直角三角形，
∴∠OAA1=45°， 分
21.解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
， 分
解得：，
∴，；分
设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
， .
解得：，
∴一次函数解析式为：， 分
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：， 分
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．分
解：(1)设每次下降的百分率为x,则
50（1-x)2=32 分
解得x1=0.2,x2=-1.8(与题意不符，舍去）
答：每次下降的百分率为20%. 分
设每千克应上涨m元，则
（10+m）（500-20m）=6000 分
整理得：m2-15m+50=0
∴m1=5,m2=10(与题意不符，舍去)
答：每千克应上涨5元. 分
(3).设每千克应上涨m元，获得的利润为y,则
y=（10+m）（500-20m） （0＜m≤8) 分
∴y=-20m2+300m+5000
∴y=-20(m-7.5)2+6125 分
∵-20＜0
∴ 当m=7.5时，y有最大值为6125
答：每千克应上涨7.5元时，可获得最大利润为6125元. 分
23.解：（1）∵415是“5阶k级数”，
所以为整数，分
∵k＜300，
∴k的最大值为205． 分
（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，
∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）分
∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，
∴与均为整数，
∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，
∴y＝6或1， 分
当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，
＝＝77x+24﹣，
∴x＝8，
∴M＝8311． 分
当y＝6时，M﹣4＝1000x+812
＝＝77x+63﹣，
∴x＝6，
∴M＝6816．
综上所述，满足要求的M为8311或6816． 分
24.解：（1）∵点B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0）， 分
将B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴， 分
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3； 分
（2）设直线AC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝x+3， 分
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACE＝×3×（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+， 分
∴当m＝﹣时，S△ACE的值最大为278，
∴D（﹣，）， 分
（3）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
设Q（n，t），
①当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（3，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（﹣3，6）；
综上所述：当Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形． 分
25.解（1）：解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°； 分
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2． 分
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
D
A
D
C
B
D
C
B