天津市南开区2022年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下面的几何体中，主视图为圆的是（  ）

A． B． C． D．

2．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（　　）

A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵

C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

3．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

4．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）

A．（3 ，1） B．（3 ，2） C．（2 ，3） D．（1 ，3）

5．如图所示的几何体的主视图是(   )

A． B． C． D．

6．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（ ）

A．6    B．8    C．10    D．12

7．的值是

A． B． C． D．

8． “五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（  ）

A．567×103    B．56.7×104    C．5.67×105    D．0.567×106

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1

10．函数y=的自变量x的取值范围是（    ）

A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．有下列各式：①；②；③；④．其中，计算结果为分式的是_____．（填序号）

12．数据﹣2，0，﹣1，2，5的平均数是_____，中位数是_____．

13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．

14．如图，已知，，则________.

15．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为_____．

16．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为____．

17．计算：=_______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）化简求值：，其中．

19．（5分）先化简，后求值：a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2，其中a=﹣1．

20．（8分）解方程式：- 3 =

21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC的度数；求证：AE是⊙O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长．

22．（10分）某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．

（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．

（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．

23．（12分）如图，AC是的直径，点B是内一点，且，连结BO并延长线交于点D，过点C作的切线CE，且BC平分．

求证：；

若的直径长8，，求BE的长．

24．（14分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．

（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；

（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；

B、的主视图是正方形，故B不符合题意；

C、的主视图是圆，故C符合题意；

D、的主视图是三角形，故D不符合题意；

故选C．

考点：简单几何体的三视图．

2、D

【解析】

试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），

∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；

B、∵10＞8＞6＞4＞2，

∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；

C、∵共有30个数，第15、16个数为5，

∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；

D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），

∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．

故选D．

考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．

3、B

【解析】
选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．

故选B.

4、D

【解析】
解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．

【详解】

由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．

故选D．

5、C

【解析】
主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.

【详解】

解：由图可知，主视图如下

故选C．

【点睛】

考核知识点：组合体的三视图.

6、C

【解析】

试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．

解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，

∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=1．

故选C．

7、D

【解析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．

【详解】

解：，

故选：D．

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

8、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

567000=5.67×105，

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

9、B

【解析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．

【详解】

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，

∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC=3：1，

∴DE：DC=3：4，

∴DE：AB=3：4，

∴S△DFE：S△BFA=9：1．

故选B．

10、D

【解析】
根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.

【详解】

解：∵函数y=有意义,

∴x-20,

即x＞2

故选D

【点睛】

本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、②④

【解析】
根据分式的定义，将每个式子计算后，即可求解.

【详解】

=1不是分式，=，=3不是分式，=故选②④.

【点睛】

本题考查分式的判断，解题的关键是清楚分式的定义.

12、0.8    0   

【解析】
根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

【详解】

平均数=(−2+0−1+2+5)÷5=0.8；

把这组数据按从大到小的顺序排列是：5,2,0,-1,-2，

故这组数据的中位数是：0.

故答案为0.8；0.

【点睛】

本题考查了平均数与中位数的定义，解题的关键是熟练的掌握平均数与中位数的定义.

13、3

【解析】

【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.

【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，

∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，

∴EF=BC=3，AE=AB，

∵DE=EF，

∴AD=DE=3，

∴AE==3，

∴AB=3，

故答案为3.

【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.

14、65°

【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】

∵m∥n,∠1=105°，

∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°

∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°

故答案为：65°.

【点睛】

此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.

15、

【解析】

试题解析：连接

∵四边形ABCD是矩形，

∴CE=BC=4，

∴CE=2CD，

由勾股定理得： 

∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′−S△CDE

故答案为

16、3

【解析】

试题分析：因为等腰△ABC的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．

考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．

17、3

【解析】
先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解.

【详解】

原式=2.

故答案为

【点睛】

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、

【解析】

分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

详解：原式

当时，

点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

19、1

【解析】
先进行同底数幂的乘除以及幂的乘方运算，再合并同类项得到化简后的式子，将a的值代入化简后的式子计算即可.

【详解】

原式=a6﹣a6+a6=a6，

当a=﹣1时，原式=1．

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘除以及幂的乘方运算法则.

20、x=3

【解析】
先去分母，再解方程，然后验根.

【详解】

解：去分母，得1-3（x-2）=1-x，1-3x+6=1-x，x=3，经检验，x=3是原方程的根.

【点睛】

此题重点考察学生对分式方程解的应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.

21、（1）60°;(2)证明略;(3)

【解析】
（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°； 
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．

【详解】

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为==．

【点睛】

本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.

22、 (1)见解析 （2）选择摇奖

【解析】

试题分析：（1）画树状图列出所有等可能结果，再让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；
（2）算出相应的平均收益，比较大小即可．

试题解析：

（1）树状图为：

∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，

∴摇出一红一白的概率=；

（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，

∴摇奖的平均收益是：×18+×24+×18=22，

∵22＞20，

∴选择摇奖．

【点睛】主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
先利用等腰三角形的性质得到，利用切线的性质得，则CE∥BD，然后证明得到BE=CE；

作于F，如图，在Rt△OBC中利用正弦定义得到BC=5，所以，然后在Rt△BEF中通过解直角三角形可求出BE的长．

【详解】

证明：，，

，

是的切线，

，

，

．

平分，

，

，

；

解：作于F，如图，

 的直径长8，

．

，

，

，

，

在中，

设，则，

，即，解得，

．

故答案为（1）证明见解析；（2） ．

【点睛】

本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直也考查了解直角三角形．

24、（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4）

【解析】
（I）当m=3时，抛物线解析式为y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用对称性得到C（5，5），从而得到BC的长；

（II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用对称性得到C（2m-1，2m-1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可；

（III）如图，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，则根据P点坐标得到2m-2=m，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E点坐标；作PH⊥y轴于H，如图，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标．

【详解】

解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，

当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0），

抛物线的对称轴为直线x=3，

∵P（1，3），

∴B（1，5），

∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C

∴C（5，5），

∴BC=5﹣1=4；

（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），

B（1，2m﹣1），

∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，

∴C（2m﹣1，2m﹣1），

∵PC⊥PA，

∴PC2+AC2=PA2，

∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，

整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，

即m的值为；

（III）如图，

∵PE⊥PC，PE=PC，

∴△PME≌△CBP，

∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，

而P（1，m）

∴2m﹣2=m，解得m=2，

∴ME=m﹣1=1，

∴E（2，0）；

作PH⊥y轴于H，如图，

易得△PHE′≌△PBC，

∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，

而P（1，m）

∴m﹣1=1，解得m=2，

∴HE′=2m﹣2=2，

∴E′（0，4）；

综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．