江西省南昌市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（文）试题

这是一份江西省南昌市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（文）试题，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试，先将 50 个零件进行编号，编号分别为
01，02，…，50，从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行：
若从表中第 1 行第 9 列开始向右依次读取数据，则得到的第 4 个样本编号是（）
为人们生活的一部分.某地旅游部门从 2020 年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（）
估计 2020 年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%
估计 2020 年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半
估计 2020 年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多
估计 2020 年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%
一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A，“第二次出现反面”为事件 B，则 P(B|A)＝（）
66 6740 37 1464 05 71 1105 65 09 95 8668 76 83
20 37
9
57 1603 1163 1490 8445 21 75 73 88 05 90 5223
5943
1
A．10B．05C．09D．20
1
2
1
4
1
6
1
8
2．已知复数 z 满足i  2 z  4  3i ，则 z =（）
已知r 表示变量 X 与Y 之间的线性相关系数， r 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且
2
3
B．C．
2
D． 2
12
5
r  0.837 ， r  0.957 ，则（）
下列命题中正确的是（）
若ab  0 ， a  b ，则 1  1
ab
C．若a  b ， c  d ，则a  c  b  d
4x  y  1
若a  b ，则ac2  bc2
D．若a  b ， c  d ，则 a  b
cd
12
变量 X 与Y 之间呈正相关关系，且 X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
变量 X 与Y 之间呈负相关关系，且 X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
变量U 与V 之间呈负相关关系，且 X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性
变量U 与V 之间呈正相关关系，且 X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性

若实数 x ， y 满足约束条件： 2x  y  5 ，则 z  3x  y 的最小值为（）

x  0
A．  5B．  6C．  7D．1
9．当 x  (0, ) 时可得到不等式 x  1  2 ， x  4
xx2
则 p 的值为（）
 3 ， x  27  4 ，由此可以推广为 x 
x3
p  n  1，
xn
某旅游景点打造的民宿类型种数 x 与年游客接待人数 y （单位：万人）之间有如下对应数据：
A． nB． n 1
n2
2021
nn
x
2
4
5
6
8
y
30
40
t
50
70
10．运行下图所示的算法框图，若输出结果为 1011 ，则判断框中应该填的条件是（）
A．k>1009B．k>1010C．k>1011D．k>1012
根据上表，求出 y 关于 x 的回归直线方程为 y  6.5x 16.5 ．则t 的值为（）
A．40B．45C．50D．55
旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非
甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等 待的概率是（ ）
定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成
5
A． 16
11
16
9
16
7
D． 16
已知使不等式 x 2  (a  1)x  a  0 成立的任意一个 x ，都满足不等式3x  1  0 ，则实数 a 的
取值范围为（）
19．（本题 12 分）上饶市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按 80：1 的比例随机抽取 200 人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为6 组画出频率分布直方图( 如图所示) ，
  1 , 
 1 ,  
 ,  1 
 ,  1 
现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的 3 倍．
A．  3
B．  3
C． 3 
D． 3 


（1）若次数在120 以上( 含120 次) 为优秀，试估计全市高一学
二、填空题（共 4 小题，合计 20 分）
若复数 a  3i 是纯虚数，则实数a 的值是 .
1 2i
若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a，b，c，则三角形的面积 S  1 (a  b  c)r ，利用类比思想：
2
若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为 S1，S2，S3，S4，则四面体的体积 V= .
x  y  2  0

已知 x ， y 满足x  2y  2  0 若 z  y  ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为 ．

2x  y  2  0
生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（2）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
20．（本题 12 分）某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司 1 月份至 6 月份销售量
若实数 x，y 满足 x  y  0 ，且 x  y  1，则 2 1 的最小值为 ．
x  4 yx  y
及销售单价进行统计，销售单价
x （千元）和销售量
y （千件）之间的一组数据如下表所示：
三、解答题
17．（本题 10 分）农业专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试
验田中各抽取 6 株麦苗测量麦苗的株高，如图给出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图（单位：
cm）分别求所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．（结果精确到 0.1）
18．（本题 12 分）用适当的方法证明下列命题，求证：
试根据 1 至 5 月份的数据，建立 y 关于 x 的回归直线方程；
n
若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65 千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
 xi yi  n  x  y
n
参考公式：回归直线方程 yˆ  bˆx  aˆ ，其中bˆ  i1 .
i
 x2  nx 2 i1
月份i
1
2
3
4
5
6
销售单价 xi
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量 yi
11
10
8
6
5
15
（1） a2  b2  c2  ab  bc  ac ；（ a, b, c  R ）552
7
6
参考数据：  xi yi  392 ，  xi
 502.5 .
5
（2）
 2
i1
i1
21．（本题 12 分）某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义.为了了解垃圾分类的效果，
该小区物业随机抽取了400 位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意” 的评价.在这400 份问卷中，持满意态度的频率是0.65 ，50 岁及以下的居民的频率是0.60 ，持不满意态度的51岁及以上的居民的频率是0.175 .
满意
不满意
总计
51岁及以上的居民
50 岁及以下的居民
总计
400
（1）完成下面的2  2 列联表，并判断能否有99.5% 的把握认为“ 51岁及以上”和“ 50 岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异？
22．（本题 12 分）为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为640m2 的矩形隔离病区，拟划分 6 个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长 x m .
在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为北边长 x 的函数 f  x  ，并写出 x 的取值范围；
2
若平均每个人隔离所需病区面积为 2.5m 2 ，那么北边长如何设计才能使得病区同时隔离的人数
（2）按“ 51岁及以上”和“ 50 岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5 份调查问卷，再从这5 份调查问卷中随机抽取2 份进行电话家访求电话家访的两位居民的年龄都在50 岁及以下的概率.
附表及参考公式：
最多，并求出同时隔离的最多人数.（
 1.4，结果精确到整数）
P K 2  k 
0
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K 2 
n ad  bc 2
a  b c  d a  c b  d 
，其中n  a  b  c  d .35
2021-2022 学年度高二年级文科数学期中考试参考答案
（2）要证
 2
成立，
5
7
6
5
即证
 7 2  24 ，即证
 6 ，
6
CCABDAACDBDB
即证35  36 ，而35  36 显然成立，
5
7
故 2
成立；12 分
13、6
14、V  1 R (S  S
S  S )
3
15、1或 2
16 、 7  4 3
55
1234
19、【解】（1）由频率分布直方图，分数在 120 分以上的频率为(0.030  0.018  0.006) 10  0.54 ， 所以全市高一学生的优秀率为 54%2 分
因此全市优秀学生有0.54 20080  8640 （人）； 4 分
17、解： x甲
 9 10 11 12 10  20  12 ，1 分
6
8 14 13 10 12  21
（2）设第一组频率为 x ，则第二组频率为3x ，
x乙 6
 13 ，2 分
所以 x  3x  0.34  0.54  1， x  0.03 ，
s2  1 9 122  12 122  11122  10 122  10 122  20 122   13.7 ， 4 分
甲6 
s2  1 8 132  10 132  12 132  13 132  14 132  21132   16.7 ， 6 分
第一组频率为0.03 ，第二组频率为0.09 ．6 分
前 3 组数据的频率和为(0.003  0.009  0.034) 10  0.46 ，中位数在第四组，
乙6 
因为 x甲  x乙 ，所以乙种麦苗平均株高较高，8 分
设中位数为n ，则
n  120 130  120
 0.3  0.46  0.5 ， n  364  121.3 ．9 分
3
甲乙
又因为 s2  s2 ，所以甲种麦苗长得较为整齐．10 分
18、解（1）证明∵ a2  b2  2ab ， b2  c2  2bc ， a2  c2  2ac ，
∴ 2 a2  b2  c2   2ab  2bc  2ac
即a2  b2  c2  ab  bc  ac ．当且仅当“ a  b  c ”时取得等号6 分
平均数为0.03 95  0.09105  0.34115  0.3125  0.18135  0.06145  121.9 ．12 分
20、【详解】
40090 70 170 702
2

1
因为 x
5
9  9.5 10 10.5 11  10 ，1 分
K 160 240 260140
 8.974  7.8795 分

y
1 1110  8  6  5  8 ，2 分
5
所以bˆ  392  5 10  8  3.2 ，5 分
502.5  5 102
得aˆ  8  3.210  40 ，6 分
于是 y 关于 x 的回归直线方程为 yˆ  3.2x  40 ；7 分
（2）当 x  8 时， yˆ  3.28  40  14.4 ，8 分
则 yˆ  y  14.4 15  0.6  0.65 ，10 分
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的12 分
故有99.5% 的把握认为“ 51岁及以上”和“ 50 岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差
异6 分
设电话家访的两位居民的年龄都在50 岁及以下为事件A7 分
利用分层抽样的特点可知：“ 51岁及以上”居民抽到2 份记为： a1 ， a2 ；
“ 50 岁及以下”居民抽到3 份记为： b1 ， b2 ， b38 分
基本事件共有：a1, a2  ，a1 ,b1  ，a1 ,b2  ，a1, b3  ，a2 , b1  ，a2 , b2  ，a2 , b3  ，b1, b2  ，b1, b3  ，
b2 , b3 ，共有 10 个 10 分
满足条件的事件有： b1, b2  ， b1, b3  ， b2 , b3 ，共有 3 个 11 分
 P  A 
3
1012 分
21、解：（1）在这400 份问卷中，持满意态度的频数为400  0.65  260 ，持不满意态度的频数为
400  260  140 ，
f ( x)  ( x 10)  640  8
22、（1）由题可知
 x
………………………………3 分
50 岁及以下的居民的频数是400  0.60  240 ，持不满意态度的51岁及以上的居民的频数
400  0.175  70 .
所以2  2 列联表如下：2 分

f ( x)  720  8x  6400 ，10  x  80
x
备注：没写 x 的范围扣 1 分
………………………………5 分
2
满意
不满意
总计
51岁及以上的居民
90
70
160
50 岁及以下的居民
170
70
240
总计
260
140
400
（2） f (x)  720  8x  6400  720  (8x  6400 )  720  320
 272
…………8 分
xx
当且仅当 x  28 时等号成立，10 分
且 272  2.5＝108.8 ，11 分
故最多为108 人12 分