2022昆明师范专科学校附中高二上学期期中考试数学试卷含答案

昆明师专附中高2023届2021－2022学年上学期期中考试

      数学答案

一、单选题

1. 若向量，，且，则实数的值是（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，，所以，

因为，所以，解得．故选：C．

2．如图，空间四边形中，，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，又因为，

所以.故选：A

3. 已知直线平分圆的面积，则的值为（    ）

A．              B．      C．            D．

【答案】D

【详解】解：因为圆，所以圆C的圆心坐标为，

又因为圆上存在两点，关于直线对称，

所以直线过圆心，则，解得.故选：D.

4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满足题意，

斜率存在时，设直线方程为，即，

由，得，直线方程为，即．

故选：B．

5．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【详解】由x2+y2-2x-4y=0得，∴，

由得，

所以△ABC的面积为.故选：C.

6．圆：关于直线：对称的圆的方程为（    ）

A．           B．

C．           D．

【答案】A

【详解】由题设，圆的圆心为，半径为2，则对称圆的半径为2，

若对称圆的圆心为，则在上，即，

由对称性，知：圆心连线与直线垂直，则，即，

综上，得：，∴对称的圆的方程为.故选：A

7．圆与圆的公共弦长等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：联立，解得或，

故公共弦长等于.故选：B

8.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)

A．4　             B．　　           　C.　　        D．

【解析】　选D.∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴3∶2＝6∶m，∴m＝4.直线3x＋2y－3＝0可以化为6x＋4y－6＝0，由两条平行直线间的距离公式可得：d＝＝＝.

二、多选题

9．（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

C．直线的方向向量，平面的法向量是，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

【答案】AB

【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且

，所以或，C选项错误；

对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，

所以，选项D错误.故选：AB

10．（多选）已知圆心为的圆与点，则（    ）

A．圆的半径为2           B．点在圆外

C．点与圆上任一点距离的最大值为

D．点与圆上任一点距离的最小值为

【答案】BCD

依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；

因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD

11．(多选)如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是（    ）

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

【答案】ABC

【详解】以D为坐标原点，分别以所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

由在面、面、面的射影、、，即，，，又，则AC1⊥面CB1D1，∴B、C正确；

设正方体棱长为1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，

∴，即BD∥面CB1D1，故A正确；

∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，∴，

∴AD与CB1所成的角为45°，故D错，故选：ABC．

12．（多选）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.则下列说法正确的是（    ）

A．

B．平面的法向量

C．平面

D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【详解】依题意，是正方形，，AC与BD的交点O为原点，，在给定的空间直角坐标系中，

，而，则点，

，A不正确；

，，设平面的法向量，则，令，得，B正确；，即平面，C正确；

因，则点A到平面的距离，D正确.

故选：BCD

三、填空题：

13. 由原点向圆：引切线，切点为，则切线长________.

【答案】

【详解】因为圆：的圆心为，半径为1，

所以,，因此，故答案为：.

14．过与交点，且与垂直的直线的一般方程为               .

【答案】

【详解】设交点坐标为 联立方程 又直线的斜率为1，故与垂直的直线的斜率为-1，故所求直线方程为化为一般式方程为,故答案为：

15．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是________．

【答案】

【详解】解：圆的圆心为，

圆的圆心为，

则两圆圆心所在直线方程为：，即，

因为两圆圆心所在直线垂直平分线段AB，

所以线段AB的垂直平分线的方程是.故答案为：.

16.设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，，则点到直线的距离为___________.

【答案】

【详解】

因为，

所以，

，

，，所以，，

因为，所以在上的射影长为，

所以点到直线的距离.故答案为：.

四、解答题

17.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.

(1)求向量a，b，c；

(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．

解：(1)∵a∥b，a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，

∴＝＝，∴x＝2，y＝－4，∴a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．

又b⊥c，c＝(3，－2，z)，∴b·c＝0，即－2×3＋(－4)×(－2)＋(－1)×z＝0，

∴z＝2，∴c＝(3，－2，2)．

(2)由(1)知，a＋c＝(2，4，1)＋(3，－2，2)＝(5，2，3)，

b＋c＝(－2，－4，－1)＋(3，－2，2)＝(1，－6，1)．

设a＋c与b＋c的夹角为θ，则cosθ＝

＝＝＝－.

即a＋c与b＋c夹角的余弦值为－.

18.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，由两点式得BC的方程为x＋2y－4＝0.

(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2，则D(0，2)．

BC边的中线AD经过A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，

即2x－3y＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由(2)知，点D的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

19．已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过A（2，1）､B（1，2）两点

（1）求圆C的标准方程.

（2）求点P（4，-2）与圆C上任一点连线的中点的轨迹方程

【答案】（1）；（2）

【详解】设圆的标准方程为 ，由题可知

解得 所以圆C的标准方程为

（2）设中点，圆C上任一点，

因为P（4，-2），所以 整理得 ，

代入圆的方程得：整理得 

所以，中点的轨迹方程为

20．已知圆，直线．

（1）当为何值时，直线与圆相切；

（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为

若直线与圆相切，则有，解得

（2）设圆心到直线的距离为，则有

即，即，由，解得或

所以直线的方程为或

21．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值．

【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.

【详解】

（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,,,,,，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，

所以,,,

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

因为，所以，

因为平面，所以平面；

（II）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的正弦值为.

22．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，Q为中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【详解】

（Ⅰ）证明：因为平面，

所以，又，

建立以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴的空间直角坐标系（如图）．

因为．

所以，又Q为中点，所以．

所以，，所以，所以．

（Ⅱ）解：设平面的法向量为，

则因为，，所以，

令，得，则．

∵，

∴直线与平面所成角的正弦值为.