2022-2023学年云南省昆明师范专科学校附属中学高二下学期6月质量监测数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明师范专科学校附属中学高二下学期6月质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据交集的运算即可得到结果.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数四则运算法则以及共轭复数的概念直接求解即可.

【详解】因为，所以，

则.

故选：C.

3．若向量，满足，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由两个向量垂直，转化为两个向量的数量积为零，再由数量积的坐标运算得出结果.

【详解】因为，所以 ，所以，解得．

故选：D.

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角的余弦公式求解.

【详解】解：因为，

所以，

故选：B

5．已知的展开式中，项的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出的展开式的通项公式，令，即可求出结果.

【详解】因为的展开式的通项公式为

令，所以的系数为.

故选：C.

6．已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，若可得，，代入数据，解得的值．

【详解】因为，，…，的平均值为，方差为，

由数据，，…，的平均值为，方差为，

所以，解得，．

故选：A．

7．记为等比数列的前项和．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列前项和公式，即可求解.

【详解】解：由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则

，

解得：，所以，所以，

故选：A.

8．已知函数有两个零点，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】函数的定义域为，因为，当时，，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.

点睛：本题主要考查了导数在求函数零点中的应用，难度一般；函数零点问题，可以研究函数的单调性、极值等，也可以等价转化为相对应方程的解，同时还可转化为两个函数图象交点的问题，在该题中，主要是利用对函数进行求导，利用导数判断单调性，通过判断极值与0的关系，得参数的值.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，则

B．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则

C．若随机变量，，则

D．若随机变量的概率分布列为，则

【答案】BC

【分析】根据二项分布方差公式可求得A错误；由超几何分布概率公式可求得B正确；根据正态分布曲线的对称性可知C正确；根据分布列的性质可求得D错误.

【详解】对于A，，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，，C正确；

对于D，由分布列的性质知：，解得：，D错误.

故选：BC.

10．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则（    ）

A．平面 B．平面

C．点在平面内 D．点F在平面内

【答案】BD

【分析】连接、根据正方体的性质可得，即可得到平面，再根据中位线的性质及平行公理得到，即可得到、、、四点共面，从而得解；

【详解】解：连接、，在正方体中，且，

所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，

又，所以，所以、、、四点共面，即点F在平面内，故B、D正确；

再连接，显然不在平面，所以与平面不平行，故A错误；

由平面，可知点不在平面内，故C错误；

故选：BD

11．已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A、D可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B，利用分析法来判断；对于C，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假.

【详解】对于A，，，且，

，即，

当且仅当时，等号成立，A正确；

同理对于D，，即，

当且仅当时，等号成立，D正确；

对于B，利用分析法：要证，只需证：，

即证，

，，且，

，，B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，C错误；

故选：ABD.

12．已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．在区间单调递增

C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称

【答案】ACD

【分析】对于A：先化简，再借助于为偶函数进行判断；对于B：利用复合函数的单调性法则直接判断；对于C、D：利用代入法进行判断.

【详解】对于A：.

因为为偶函数，所以为偶函数.故A正确；

对于B：当时，.

因为在上递增，在上单减，所以在区间不单调.故B错误；

对于C：因为，所以的图像关于点对称.故C正确；

对于D：因为，所以的图像关于直线对称.故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是         ．

【答案】/

【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．

【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，

从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，

从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，

则由题可知P(C)＝，P(D)＝，

由题可知A、B、C、D互相独立，

故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：

P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝．

故答案为：．

14．安排4名同学去听3个课外知识讲座，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案共有          种．

【答案】

【分析】先分组，再分配，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：首先从4个人中选出个人作为一组，则有种选法，

再将这一组与其余人排到个课外知识讲座，则有种排法，

故不同安排方案有种；

故答案为：

15．已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若，，，则该球的表面积等于           ．

【答案】

【分析】长方体的体对角线是外接球的直径，由此可求得球半径和表面积．

【详解】长方体中设，，，可得，

可得，可得，三式相加可得，

长方体的体对角线是外接球的直径，可得，

所以半径为，球的表面积为，

故答案为：．

16．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率          .

【答案】

【分析】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入计算得到答案.

【详解】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，

由题意可知，

代入双曲线方程得，

即，又，解得.

故答案为：.

【点睛】该题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于简单题目.

四、解答题

17．为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：

（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表：

（2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．

附：（如需计算，结果精确到0.001）

独立性检验中常用小概率值和相应的临界值

【答案】（1）答案见解析；（2）此种疾病治愈与治疗方法有关

【分析】（1）由题知采用化学疗法的治愈率为，治愈的人数为人，进而计算得对应的数据，完成列联表；

（2）根据独立性检验的思想，计算，并根据已知数据判断即可.

【详解】解：（1）根据等高条形图，采用化学疗法的治愈率为，

由列联表得化学疗法治愈的人数为人，

故采用化学疗法的人共有人，

采用外科疗法的有人，其中治愈的有人.

所以列联表如下表：

（2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关，

则根据列联表中的数据计算，

所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于.

18．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由即可求解的通项公式，又根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式；

（2）由，从而根据裂项相消求和法及分组求和法即可求解.

【详解】（1）解：因为，所以，

当时，，

由于满足，所以的通项公式为，

因为数列是公差为的等差数列，，

所以，所以；

（2）解：因为，

所以.

19．在平面内，四边形的内角与互补，，连接，，.

(1)求DC；

(2)若的面积为，求四边形的周长.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）分别在和中运用正弦定理，结合与互补，即，可得；

（2）由三角形面积公式可得，运用余弦定理可得，

求出或，排除，得到，

再求出，即可得四边形周长.

【详解】（1）在中，由正弦定理，

在中同理可得，

因为与互补，所以，

则，即，

解得：.

（2）在中，由面积公式，得，

由余弦定理，得，

解得，或．

若，

此时，

所以，故，

在中，，矛盾，舍去，

若，此时，

所以，那么，所以是等腰直角三角形，

所以，

所以四边形的周长为．

20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．

(1)证明：平面；

(2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理求解即可；

（2）建立坐标系，用向量法求解即可

【详解】（1）取的中点，连接，，

在△中，，且，

又，，

所以，且.

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点为，连接，则.

又平面平面，则平面.

建立如图空间直角坐标系.由已知得

，，，，.

所以，，.

设是平面的法向量，则

即，令，则

设直线与平面所成的角为.

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21．已知函数，．

(1)当时，求函数在点处的切线；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求导函数，再计算斜率，点斜式写出直线方程即可.

（2）根据题意构造函数,再分两种情况和讨论，最后应用零点存在性定理可知不成立可得范围.

【详解】（1）当时，，，

所以，故在点处的切线为，即

（2），即在上恒成立，

设，注意到，

，令，

则在为增函数，且，

所以恒成立，即单调递增，

其中，

若，则恒成立，此时单调递增，又，所以恒成立，

即在上恒成立，即结论成立；

若，则，

又，

故由零点存在性定理可知，在内存在，使得，

当时，，所以单调递减，又，

所以当时，，即，不合题意，舍去；

综上：实数取值范围是

22．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率为和，由求解；

 （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由直线的方程为，令，得到，再结合韦达定理，判断即可.

【详解】（1）解：根据题意，

 解得.

所以椭圆C的方程为：.                                   ...

(2)（2）由（1）知，.

根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

由，得.

根据题意，恒成立，设

则.

直线的方程为，

令，得，所以.

因为，

则直线的斜率分别为，

.

又，

                     ，

                     ，

.

所以，

所以三点共线.