安徽省皖南八校2022-2023学年高三数学上学期第一次大联考试卷（Word版附答案）

2023届“皖南八校”高三第一次大联考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、向量

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.“”是“”的（    ）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

3.函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

4.设，，，则（    ）

A. B. C. D.

5.设，且，则（    ）

A. B.10 C.20 D.100

6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ）

A. B. C. D.

7.下列说法正确的有（    ）

A.若向量，，则

B.若向量，则向量、的夹角为锐角

C.向量，，是三个非零向量，若，则

D.向量，是两个非零向量，若，则

8.若角的终边经过点，且，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9.已知（，），则的最小值是（    ）

A. B. C. D.

10.已知函数，若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

11.已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是（    ）

A. B. C. D.

12.若，则下列说法正确的是（    ）

A.的最小正周期是

B.的对称轴方程为（）

C.存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）

D.若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，满足，，则______.

14.写出一个最小正周期为3的奇函数______.

15.函数在上的最大值为______.

16.设，是正实数，记为，，中的最小值，则的最大值为______.

三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

若正数，满足.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

18.（12分）

已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

19.（12分）

已知函数，.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

20.（12分）

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值.

21.（12分）

对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.

（1）已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；

（2）若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围.

22.（12分）

已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.

（参考数据：，，…）

2023届“皖南八校”高三第一次大联考·数学

参考答案、解析及评分细则

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. A  由题意，得，，.故选A.

2. B  当时，，充分条件成立.解方程，得或，必要条件不成立.“”是“”成立的充分不必要条件.故选B.

3. C  由题可得解得且.故选C.

4. B  ，，，，.故选B.

5. D  由，可得，，，，，，.故选D.

6. A  由，得时，，即；时，；，.故选A.

7. D  对于A，若，则与不一定平行，故A错误；对于B，，由得，向量与的夹角为锐角或0°角；对于C，由得，则；对于D，由题可知，向量，共起点，作平行四边形，对角线相等，此四边形是矩形，.故选D.

8. D  ，，，，，，，，.

.故选D.

9. C  由得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选C.

10. C  由（），得，.记，易知在上单调递增，，，，记，，时，，单调递减，时，，单调递增，，，.故选C.

11. A  ，

的两根为0和，

的三个零点，，，满足：，

，即，且，

又

（），，设（），，时，，时，，在上单调递减，在单调递增，时，，.故选A.

12. B  ，.

，.

对于A，，

为的周期，A错误；对于B，的对称轴方程为.

（）.即（）.B正确.

对于C，对，有，.

由（，2）的的图象如图所示

.

或.无解.C错误；

对于D，的根为与交点横坐标.

有奇数个交点，，

且，，，，，，，，D错误.故选B.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13.  ，.

.

14.  答案不唯一..

15.  .令，.

，时，，时，，

在单调递增，在单调递减..

16. 2  由题意知，，则，，所以，

解得，当且仅当时取等号，故的最大值为2.

三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以当，时，.

（2）.

当且仅当时等号成立，

所以当，时取最小值.

18.解：（1），，，

；

（2），，，

，，

.

19.解：（1）

.

所以的最小正周期.

（2）由，，得，，

所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.

又，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为.

20.解：（1）当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；

当时，若，即，解得（舍）或；

所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

（2）设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为.

因此人均通勤时间，

整理得：，

因为在和为减函数；

在为增函数，，，

所以的最小值为44.

21.解：（1）嘉禾为“准奇函数”，存在满足，

有解，化为无解，不是“准奇函数”；

（2）为定义在的“准奇函数”，

在上有解，在上有解，

令，在上有解，

又对勾函数在上单调递减，

在上单调递增，且时，；时，，

，的值域为，

，.

22.解：（1）当，，，，

曲线过点在处的切线方程为，即

（2）.

，

令，，，，

易知在单调递增，当，，单调递减，，，单调递增.

当时，，在上恒成立，单调递增，

，

记（），，

在区间上单调增递，

，

，时，恒成立.

当时，又，即时，，

，，

记，，，

在上单调递增，在单调递减，在单调递增，

，，，

，，，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，

，

令，

，

时，，，单调递减，

，时，，

当时，，，

记，，，

易知单调递增，在单调递减，单调递增，

，，，

，

在上单调递增，上单调递减，上单调递增.

，当时，不符合题意，

的最小值为5.