鲁教版五四制九年级数学基础知识点练习题及答案

这是一份鲁教版五四制九年级数学基础知识点练习题及答案，共190页。

第一章　反比例函数
1　反比例函数

1.反比例函数的概念
一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=　　　　 (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数. 
2.反比例函数的三种形式:　　　　、　　　　、　　　　. 
3.反比例函数的自变量x不能为　　　　. 

反比例函数的概念
[典例1] (2022泰山模拟)下列函数不是反比例函数的是(　　)
A.y=-32x B.y=-x5
C.y=5x-1 D.xy=10
忽视反比例函数中的比例系数不为0致错.
[典例2] (2022芝罘模拟)若函数y=(m2-3m+2)·x|m|-3是反比例函数,则m的值是(　　)
A.1 B.-2
C.2或-2 D.2

识别两个变量是否为反比例函数关系的“三步法”:
(1)观察形式:反比例函数表达式的三种形式为
①一般式:y=kx(k≠0);
②乘积式:xy=k(k≠0);
③负指数幂形式:y=kx-1(k≠0).
(2)辨别系数:确定系数k是否不等于0.
(3)得出结论:确认是否为反比例函数关系.
反比例函数表达式的确定
[典例3] 已知x与y成反比例,当x=-92时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;




(2)当x=-32时,y的值是多少?




[变式1] 已知y是x的反比例函数,下表给出了x,y的一些值:
x
-1
-2
　　 
1
2
　　 
y
3
　　 
1
　　 
　　 
6
(1)写出这个反比例函数的表达式;
(2)根据所求的表达式完成上表.



根据实际问题列反比例函数表达式
[典例4] 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了6 h到达目的地,当他按原路匀速返回时,汽车的平均速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为(　　)
A.v=480t B.v+t=480
C.v=80t D.v=t-6t
[变式2] 一批零件200个,一个工人每小时做10个,则人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为　　　　　　. 
2　反比例函数的图象与性质
第1课时　反比例函数的图象

1.反比例函数的图象是两支　　　　. 
2.反比例函数y=kx的图象:当k>0时,两支曲线分别位于第　　　　、
　　　象限;当k<0时,两支曲线分别位于第　　　、　　　　象限.
3.画图象的三个步骤:　　　　,　　　　,　　　　. 

反比例函数图象的画法
[典例1] 已知反比例函数y=-3x.
(1)在平面直角坐标系中画出函数的图象;
(2)写出当1≤x≤3时,函数值y的取值范围.



用描点法画反比例函数图象的一般步骤:
(1)列表;(2)描点;(3)连线.
注意:连线时要按从左到右的顺序用光滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.
反比例函数图象的分布
[典例2] (2022商河模拟)反比例函数y=2x的图象大致是(　　)

ABCD
[变式1] 反比例函数y=m+2x(x<0)的图象如图所示,则m的取值范围为　　　　. 

反比例函数图象的对称性
[典例3] 如图所示,已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点的坐标为(3,4),则它们的另一个交点的坐标是　　　　. 

[变式2] 如图所示,以点O为圆心的圆与反比例函数的图象相交,若其中一个交点P的坐标为(5,1),则图中两块阴影部分的面积和为　　　　. 


双曲线具有轴对称性:关于直线y=x(第一、三象限的角平分线所在的直线)对称,又关于直线y=-x(第二、四象限的角平分线所在的直线)对称.
双曲线具有中心对称性:双曲线中的任意一支绕原点旋转180°后,都能与另一支完全重合.
第2课时　反比例函数的性质

1.反比例函数的性质
当k>0时,图象位于第　　　　象限,在每一象限内,y的值随x值的增大而　　　　;当k<0时,图象位于第　　　　象限,在每一象限内,y的值随x值的增大而　　　　. 
2.反比例函数y=kx中比例系数k的几何意义
过双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积为　　　　;过双曲线上任一点向坐标轴作一条垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为　　　　. 



反比例函数的增减性
[典例1] 关于函数y=-27x,下列说法错误的是(　　)
A.函数的图象在第二、四象限
B.y的值随x值的增大而增大
C.函数的图象与坐标轴没有交点
D.函数的图象关于原点对称
[变式1] 若反比例函数y=k+2x的图象在其所在的每一象限内,y随x的增大而减小,则k的取值范围是(　　)
A.k<-2
B.k>-2
C.k<2
D.k>2

(1)在反比例函数中,比较函数值大小的方法:图象法和特殊值法.
在利用反比例函数的增减性比较大小时,一定要看清是否为同一分支上的点,不确定时,应分点在同一个象限与不同象限两种情况讨论 求解.
(2)反比例函数y=kx的增减性:
当k>0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
反比例函数中比例系数k的几何意义
[典例2] (2021沂源期末)若如图所示的反比例函数的表达式均为y=4x,则阴影面积为4的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式2] (2022周村模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,点P(1,4),Q(m,n)在函数y=kx(x>0)的图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点A,B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点C,D.QD交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积(　　)
A.减小 B.增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小

[变式2]图
根据k的几何意义求值时忽略双曲线所在象限.
[典例3] 如图所示,点P是反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点,BP⊥y轴于B,PA⊥x轴于A,四边形APBO的面积为5,则k的值为　　　　. 

[典例3]图


如图所示,设P(x,y)是反比例函数 y=kx(k是常数,k≠0)图象上的一点,过点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点M,N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.
连接OP,则S△POM=S△PON=12|k|.
k的几何意义:过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,两垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.过双曲线上任意一点向坐标轴作一条垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为12|k|.
3　反比例函数的应用

1.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路
(1)通过题目提供的信息,明确变量之间的函数关系,设出相应的函数表达式,再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值;
(2)已知反比例函数的表达式,运用反比例函数的图象及性质解决 问题.
2.反比例函数与一次函数图象的交点问题
(1)反比例函数y=k1x与正比例函数y=k2x:
①若k1,k2同号,则这两个函数图象有　　　　个交点,这两个交点关于　　　　对称; 
②若k1,k2异号,则这两个函数图象　　　　交点. 
(2)已知反比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b,则对于方程k2x2+bx-k1=0,
①若Δ>0,则两个函数的图象有　　　　个交点; 
②若Δ=0,则两个函数的图象有　　　　个交点; 
③若Δ<0,则两个函数的图象　　　　交点. 

反比例函数的实际应用
[典例1] (2022平阴模拟)心理学家研究发现,一般情况下,一节课40 min,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.学生的注意力指数y随时间x(min)的变化规律如图所示.(其中AB,BC为线段,CD为双曲线的一部分)
(1)上课后的第5 min与第30 min相比较,第 　　　　min学生的注意力更集中. 
(2)一道数学题需要讲18 min,为了学生听课效果更好,要求学生的注意力指数不低于40,那么经过适当的时间安排,教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题?请说明理由.





[变式] (2022任城模拟)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图所示的是试验阶段某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:
(1)求y与x(10≤x≤24)的函数表达式;
(2)大棚内的温度低于10 ℃时,蔬菜会受到伤害.问:这天内,恒温系统最多可以关闭多长时间,才能使蔬菜避免受到伤害?





反比例函数与一次函数的综合应用
[典例2] 如图所示,一次函数y1=k1x+b(k1,b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0,x>0)的图象交于点 A(m,8)与点B(4,2).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)根据图象说明,当x为何值时,k1x+b-k2x<0.

确定不等式的解集时,忽略分类讨论.
[典例3] (2022张店模拟)如图所示,直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=kx(k≠0)交于点A(m,-1.5)和点B(-2,3),则不等式ax+b≥kx的解集是　　　　　　　　. 

第二章　直角三角形的边角关系
1　锐角三角函数
第1课时　正切

1.正切的概念
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的　　　　与　　　的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=　 　　.
2.坡度和坡角的概念
(1)坡度:坡面的　　　　 　　与　　 　　　　的比叫做坡度(或坡比); 
(2)坡角:　　　　 　　与　　　 　　　的夹角叫做坡角(或倾斜角). 
3.坡度与坡角的关系
坡度是坡角的　　　 　,即i=tan α. 坡度越大,坡角越　　　　,坡面就越　　　　. 

正切
[典例1] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D.若AC=5,BC=2,则tan∠ACD的值为　　 　　. 

[变式1] 已知在直角三角形ABC中,∠C为直角,tan∠ABC=2,AC=2,则AB=　　　 　. 
因忽视角所在的三角形为斜三角形而出错.
[典例2] (2022荣成模拟)在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正切值是(　　)

A.31010 B.12 C.13 D.1010
坡度(坡比)
[典例3] 如图所示,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的坡角是∠BAC,若坡度为25,则此斜坡的水平宽度AC为(　　)

A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m
[变式2] 如图所示,水坝的横断面是梯形,斜坡BC为 90 m,斜坡AD的坡度为1∶2,坝顶DC为25 m,坝高CE为45 m.
(1)求斜坡BC的坡度;
(2)求坝底AB的长.






在解决坡度、坡角问题时,作垂线,构造直角三角形,利用坡角的正切值求边的长度或角的度数.
第2课时　正弦、余弦

1.正弦的概念
在Rt△ABC中,∠A的　　　　与　　　　的比叫做∠A的正弦. 
2.余弦的概念
在Rt△ABC中,∠A的　　　　与　　　　的比叫做∠A的余弦. 

正弦和余弦
[典例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若b=6,c=10,求∠A的正弦值和余弦值.



[变式] (2022泰安模拟)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,若每个小正方形的边长为1,求sin B的值.







正弦、余弦和正切的定义都是利用直角三角形给出的,应用时要避免对任意三角形随便套用.锐角三角函数的本质是两条线段的比,是一个数值,无单位.
锐角三角函数的有关计算
[典例2] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3.
(1)求BC的长;
(2)求sin A的值.




因未进行分类讨论而导致漏解.
[典例3] 已知在△ABC中,tan B=23,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为D,且满足BD∶CD=2∶1,求△ABC的面积.






在直角三角形中,当只知两边长度的数量关系,而具体数值未知时,可通过设参数分别表示出两边的长度,再利用勾股定理表示出第三边的长度,进而进行相关计算.若已知锐角及斜边或角的对边时,可直接根据正弦的定义求角的对边或斜边,然后利用勾股定理求第三边.
2　30°,45°,60°角的三角函数值

30°,45°,60°角的三角函数值:
度数
sin α
cos α
tan α
30°
　　　 
　　　 
　　　 
45°
　　　 
　　　 
　　　 
60°
　　　 
　　　 
　　　 

30°,45°,60°角的三角函数值
[典例1] 计算:
(1)tan 60°-2tan 45°+2cos 30°;
(2)3tan 30°+cos245°-2sin 60°.






[变式1] 在△ABC中,∠C,∠B为锐角,且满足|sin C-22|+(32-cos B)2=0,则∠A的度数为(　　)
A.100° B.105°
C.90° D.60°

30°,45°,60°角的三角函数值的记忆方法:
30°,45°,60°角的正弦值分别为12,22,32;
余弦值分别为32,22,12;
正切值分别为33,93,273.
这样正、余弦值的分母都是2,正切值的分母都是3,它们的分子的被开方数可简记为“一二三,三二一,三九二十七”.运用时,把各值化简即可.



特殊角三角函数值的应用
[典例2] 如图所示,某同学周末到郊外放风筝,风筝飞到C处时的线长BC为20 m,此时该同学正好站在A处,并测得∠CBD=60°,牵引底端B离地面1.5 m,CE⊥AE于点E,BD⊥CE于点D,求此时风筝离地面的高度.(3≈1.732,2≈1.414,结果精确到0.1 m)





[变式2] 学校进行实践活动,喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动,如图所示,河对岸有一码头A,小伟在河岸B处测得 ∠ABC=45°,沿河岸到达C处,在C处测得∠ACB=30°,已知河宽为20 m,求B,C两点之间的距离.





3　用计算器求锐角的三角函数值

1.用科学计算器求锐角三角函数值时,要用到　 　　、　　 　和
　　　　键.
2.已知三角函数值,用科学计算器求角度时,要用到　　　　、
　　　　和　　　键的第二功能“　　　　、　　　　、　　　　”
和　　　　键. 
3.用科学计算器求角度时,计算器显示的结果是以“　　　　”为单位的,再按　　　　键即可显示以“　　　　、　　　　、　　　　”为单位的结果. 

用科学计算器求已知锐角的三角函数值
[典例1] 用科学计算器求sin 67°38′24″的值.








[变式1] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若利用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是(　　)


用科学计算器由三角函数值求锐角的度数
[典例2] 已知sin A=0.455 3,试求∠A的度数.(用度、分、秒表示)




[变式2] 如图所示,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3 m,铅直高度BC为2.8 m,则∠A的度数约为　　　　.(用科学计算器计算,结果精确到0.1°) 


4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形

1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,一共有　　 　　个元素,即　　　　条边和　　 　　个锐角,由直角三角形中的　　 　　元素,求出其他所有　　　 　元素的过程,叫做解直角三角形. 
2.解直角三角形的类型
在直角三角形中除直角外的五个元素中,如果知道　　　 　条边或　　　 　条边和　　 　　个锐角,那么这个三角形的所有元素就可以被确定下来. 

已知两边解直角三角形
[典例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件,解这个直角三角形.
(1)a=1,b=3;(2)a=1,c=2.





已知两边解直角三角形的方法:
(1)利用勾股定理求出第三边;
(2)利用已知两边所对应的三角函数求出一个锐角;
(3)利用两锐角互余求出另一个锐角.
已知一边一锐角解直角三角形
[典例2] 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件,解这个直角三角形.
(1)∠B=60°,a=4;(2)cos A=12,c=3.




[变式] 如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC的长.






(1)已知一锐角及一边解直角三角形的方法:
①利用两锐角互余求出另一角;
②利用一锐角及一边所对应的两个三角函数求出另两边.
(2)解直角三角形时遵循“有斜用弦,无斜用切,宁乘不除”的原则,会使计算更方便一些.
第2课时　解简单的斜三角形

转化非直角三角形为直角三角形的技巧
对于非直角三角形问题,往往通过图形中的高或作图形一边上的
　　　　构造　　　　三角形来解决. 

构造直角三角形求解斜三角形
[典例1] 如图所示,三条笔直公路两两相交,交点分别为A,B,C,测得∠CAB=30°,∠ABC=45°,AC=8 km,求A,B两点间的距离.(参考数据:2≈1.4,3≈1.7.结果精确到1 km)




[变式] 如图所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,夹边BC的长为6,求△ABC的面积.




[典例2] 某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=200 m,CD=100 m,求AD,BC的长.(结果精确到1 m,3≈1.732)






若图形中没有直角三角形,则往往需要添加辅助线构造直角三角形求解.其一般思路为
(1)作三角形的高线,构造直角三角形;
(2)构造含有特殊角的直角三角形;
(3)利用图形的性质构造直角三角形,如等腰三角形“三线合一”的性质,菱形的对角线互相垂直的性质等.

5　三角函数的应用
第1课时　仰角、俯角与方向角问题

1.仰角
当从低处观测高处的目标时,　　 　　与　　 　　所成的锐角称为仰角. 
2.俯角
当从高处观测低处的目标时,　　 　　与　　 　　所成的锐角称为俯角. 
3.方向角
方向角是以　　　　为中心,以　　　　或　　　　方向为始边,旋转到　　　　　　的方向线时所成的锐角. 

仰角、俯角问题
[典例1] (2022任城模拟)测量计算物体长度是日常生活中的常见现象,如图所示,建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB,从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°,观测旗杆底部点B的仰角为45°.若已知旗杆的高度AB=5 m,求建筑物BC的高度.(参考数据:sin 50°≈0.8,tan 50°≈1.2)



解双直角三角形的两个基本图形:
(1)如图①所示,若BC=m,设AD=x,由BD+CD=m,得xtanα+xtanβ=m,解得x=mtanα·tanβtanα+tanβ;
(2)如图②所示,若BC=m,设AD=x,由BD-CD=m,得xtanα-xtanβ=m,解得x=mtanα·tanβtanβ-tanα.

方向角问题
[典例2] 如图所示,小明从P处出发,沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6 min后到达A处,接着沿正南方向步行一段时间后到达终点B处,在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上,求小明步行的总路程.(结果精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75,2≈1.4,3≈1.7)







[变式] (2022莱阳模拟)如图所示,已知公路l上A,B两点之间的距离为20 m,点B在点C的南偏西30°的方向上,点A在点C的南偏西60°方向上,则点C到公路l的距离为　　　　m. 

第2课时　坡度、坡角问题

坡角与坡度之间的区别与联系
坡角和坡度是两个不同的概念,坡角是　　　　与　　　　的夹角,是一个　　　 　;坡度是坡角的　　 　　,是一个　　 　　,一般写成　　　　的形式,没有单位. 

利用坡度、坡角求值
[典例1] 如图所示,水坝的横截面是梯形ABCD,现测得坝顶DC=4 m,坡面AD的坡度i为1∶1,坡面BC的坡角β为60°,坝高为3 m.(3≈1.732)
(1)求坝底AB的长.(精确到0.1)
(2)水利部门为了加固水坝,在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度,使新坡面DE的坡度i为1∶3,原水坝底部正前方2.5 m处有一千年古树,此加固工程对古树是否有影响?请说明理由.


混淆名词术语(如坡度、坡角)的含义致错.
[典例2] 如图所示,小明从点A出发,先沿着坡角为α(sin α=413)的斜坡向上走了65 m到达点B,然后又沿着坡度i=1∶3的斜坡向上走了50 m达到点C.
(1)小明从点A到点B上升的竖直高度是多少米?
(2)小明从点A到点C上升的高度CD是多少米?(结果保留根号)






求坡角度数
[典例3] 某地的一座人行天桥如图所示,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1∶3.若新坡面的坡角为α,求坡角α的度数.






[变式] 一辆汽车爬坡的最大倾斜角度数是28°.若一段坡的坡比是1∶3,试判断这辆汽车能否爬过此坡.





6　利用三角函数测高

1.测量底部可以到达的物体的高度,实际上是先测量出一个直角三角形中的一个　　　　　　和一条　　　　　　,然后应用三角函数求出物体的高度; 
2.测量底部不可以到达的物体的高度,需要测量四个数据,即测倾器在两个测点分别测得的物体的　　 　　、两个测点之间的　　　　 以及测倾器的　　 　　. 

测量底部可以到达的物体的高度
[典例1] (2020苏州)如图所示,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他做了如下操作:①在点D处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角 ∠ACE=α;②量得测角仪的高度CD=a;③量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为(　　)

A.a+btan α B.a+bsin α
C.a+btanα D.a+bsinα
测量底部不可以到达的物体的高度
[典例2] 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度.如图所示,他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,再往摩天轮的方向前进50 m到达D处,测得最高点A的仰角为60°.求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB.(3≈1.732,结果保留整数)












计算物体的高度时忘记加上测倾器的高度而致错.
[典例3] 极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑,它建立在一座平台上.如图所示,为了测量“八卦楼”的高度AB,小华在D处用高1.1 m的测角仪CD测得楼的顶端A的仰角为22°;再向前走63 m到达F处,测得楼的顶端A的仰角为39°.已知平台的高度BH约为13 m,请你求出“八卦楼”的高度.(参考数据:sin 22°≈720,tan 22°≈25,sin 39°≈1625,tan 39°≈45)





[变式] 某数学兴趣小组要测量一座小山的高度,在小山山顶上有一高度为20 m的发射塔AB,如图所示,在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°,向小山前进80 m到达E处,测得塔顶A的仰角为60°,求小山BC的高度.




第三章　二次函数
1　对函数的再认识
第1课时　函数与函数值

1.函数
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x在某一范围内的　　　　　　,变量y都有　　　　　　与它对应,那么我们就称y是x的函数,其中x是　　　　,y是　　　　. 
2.函数值
对于自变量x在可以取值范围内的一个　　　　　,函数y有唯一确定的　　　　　,这个　　　　叫做当　　　　时函数的值,简称函数值. 

函数的概念
[典例1] 下列式子:①y=3x-5;②y2=x;③y=|x|;④y=x-1.其中y是x的函数的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式1] (2021临沭期末)下列各图象中表示y是x函数的是(　　)

ABCD

对于函数的概念要把握三点:
(1)变量在同一个变化过程中;
(2)两个变量:自变量是在变化过程中居于主导地位的变量,因变量是随之变化的另一个变量;
(3)两变量的对应关系:对于自变量在取值范围内的每一个确定值,因变量(函数)都有唯一确定的值与它对应.
函数值
[典例2] (2021崂山期末)如图所示,梯形上底长是x,下底长是15,高是8.
(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是　　　　　　. 
(2)当x每增加1时,y如何变化?
(3)当x=0时,求y的值,并说明此时y表示的是一个什么图形的面积?



[变式2] (2022文登模拟)已知y=(a-1)x+2a-4,当x=-1时,y=0.
(1)求a的值;
(2)当x=1时,求y的值.


第2课时　函数的表示方法

1.用来表示　　　　　的数学式子叫做函数的表达式(或解析式),用数学式子表示函数的方法称为　　　　.函数还可以用　　 　　和
　　　　表示,分别称为　　 　　和　 　　　. 
2.函数自变量的取值范围
(1)表达式为整式时,自变量取　　　　　　; 
(2)表达式为分式时,自变量取　　　　　　的任意实数; 
(3)表达式是二次根式时,自变量取　　 　　　　的任意实数; 
(4)表达式是两个或两个以上代数式的复合式子时,应先分别求出每一个代数式中　　　　的取值范围,然后取它们的　　　　; 
(5)在解决实际问题时,还必须使　　　　　　有意义. 

函数的表示方法
[典例1] 某游泳池有水4 000 m3,现放水清洗池子.工作人员记录的放水时间x(单位:min)与池内水量y(单位:m3)的对应变化情况如下表所示:
时间x/min
…
10
20
30
40
…
水量y/m3
…
3 750
3 500
3 250
3 000
…
(1)根据上表提供的信息,计算当放水到第80 min时,池内还有多 少水?
(2)请你用函数表达式表示y与x之间的关系.


[变式1] 已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间的函数关系的图象是(　　)



函数自变量的取值范围
[典例2] 求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=3x-1;


(2)y=x-2+1x-3;


(3)y=(x-1)02.


[变式2] 如图所示,观察图形,并根据下表中的数据回答问题:
梯形的个数
1
2
3
4
5
…
图形的周长
5
8
11
14
17
…

(1)设图形的周长为l,梯形的个数为n,l与n的关系能用函数表达式表示吗?若能,请写出函数表达式,并求出自变量n的取值范围.
(2)当n=11时,求图形的周长l.


2　二次函数

二次函数的概念
一般地,形如　　　 　　　的函数叫做x的二次函数,其中　　　　,　　　　,　 　　　分别是二次项、一次项、常数项;　　　　,　　　　分别是二次项系数、一次项系数. 

二次函数的概念
[典例1] 下列y与x的函数表达式中,是二次函数的为(　　)
A.y=(x+1)(x-3) B.y=x3+1
C.y=x2+1x D.y=x-3
忽略二次函数中二次项系数不为0致错.
[变式1] 已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1.
(1)当m为何值时,此函数是一次函数?
(2)当m为何值时,此函数是二次函数?





对于二次函数的一般形式要把握三点:
(1)ax2+bx+c是整式;
(2)自变量x的最高次数是2;
(3)二次项系数a不等于0,b,c可以是任意实数.
[典例2] (2022莱芜模拟)若y=(m-3)xm2-5m+8+2x-3是关于x的二次函数,则m的值是(　　)
A.3 B.-2 C.2 D.2或3
建立二次函数模型
[典例3] 已知一个直角三角形的两条直角边的和为20 cm.
(1)当它的一条直角边长为8 cm时,求这个直角三角形的面积;
(2)设这个直角三角形的面积为S cm2,其中一条直角边长为x cm,写出S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式及自变量x的取值范围.






[变式2] (2022任城模拟)共享单车为市民出行带来了便利,某单车公司第一个月投放了a辆单车,计划第三个月投放y辆单车,设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是(　　)
A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2
C.y=(1-x)2+a D.y=x2+a


3　二次函数y=ax2的图象与性质
第1课时　二次函数y=±x2的图象与性质

1.画函数图象的一般步骤:　　　　,　　　　,　　　　.描出的点越密集,图象越准确. 
2.用描点法画二次函数y=±x2的图象时,在选取自变量时,要以
　　　　为对称中心,均匀地选取一些便于计算的x的值. 
3.二次函数y=x2的图象是一条　　 　　,它的开口　　 　　,且关于　　 　　对称,对称轴与抛物线的交点是图象的顶点,它是图象的　　 　　点. 

二次函数y=±x2的图象与性质
[典例] (1)在同一直角坐标系中画出函数y1=x2与y2=-x2的图象.
(2)根据图象回答问题:
①写出两函数图象的开口方向,对称轴及顶点坐标.
②当x>0时,随着x值的增大,y1的值如何变化?








[变式] (2022博山模拟)已知点A,B在二次函数y=x2的图象上,并且A,B两点关于图象的对称轴对称.已知点A的坐标是(-5,a),求a的值和点B的坐标.







二次函数y=x2与y=-x2的图象都是经过原点的抛物线,这两条抛物线既关于x轴成轴对称,又关于原点成中心对称.
第2课时　二次函数y=ax2的图象与性质

二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条　　　　　　,抛物线的对称轴是　　　　,顶点是　　　　　　.当a>0时,抛物线开口　　　　,
顶点是它的最　　　　点;当a<0时,抛物线开口　　　　,顶点是它的最　　　　点. 

二次函数y=ax2(a≠0)的图象
[典例1] (2022烟台模拟)已知二次函数y=12x2.
(1)根据下表给出的x值,求出对应的y值后填写在表中;
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=12x2
…
 
 
 
 
12
 
92
…
(2)在给出的直角坐标系中画出函数y=12x2的图象.

[变式1] 在同一直角坐标系中,下列函数的图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是(　　)
A.y=12x2 B.y=-12x2
C.y=-2x2 D.y=-x2


对于抛物线y=ax2:
(1)a的正负决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线的开口向上,当a<0时,抛物线的开口向下;
(2)|a|的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.
二次函数y=ax2(a≠0)的性质
[典例2] 已知y=ax2(a>0)的图象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3)三个点,试比较y1,y2,y3的大小.





[变式2] (2022张店模拟)已知二次函数y=(m+2)·xm2-3,当x<0时,y随x的增大而增大,试求m的值.







利用二次函数y=ax2(a≠0)的性质判断函数值大小的方法:先判断抛物线的开口方向、对称轴的位置、对称轴左右抛物线的增减性,然后根据各点的横坐标即可判断函数值的大小.
4　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象与性质

1.二次函数y=ax2+k的图象与抛物线y=ax2的形状　　　　,只是位置不同,二次函数y=ax2+k的图象可看成是由抛物线y=ax2向
　　　　(k>0)或向　　　　(k<0)平移　　　　个单位得到的. 
2.对于抛物线y=ax2+k,当a>0时,开口　　　　,对称轴是　　　　,
顶点坐标是　　　　,当x>0时,y随x的增大而　　　　;当x<0
时,y随x的增大而　　 　　.当a<0时,开口　　 　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　 　,当x>0时,y随x的增大而　　　　;当x<0时,y随x的增大而　　　　. 

二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系
[典例1] 在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象.
(1)分别写出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标;


(2)抛物线y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?






[变式1] 抛物线y=x2+k向上平移2个单位后与抛物线y=ax2重合,则a+k=　　　　. 

(1)抛物线向上(下)平移多少个单位,y值就增加(减小)多少,即“上加下减”.
(2)对于抛物线y=a1x2+k1与y=a2x2+k2,当a1=a2时,它们的形状相同,可以通过上下平移相互得到.反之,如果这两条抛物线的形状相同,那么必有|a1|=|a2|.
二次函数y=ax2+k的图象与性质
[典例2] 关于二次函数y=-2x2+3,下列说法中正确的是(　　)
A.它的图象开口方向是向上
B.当x<-1时,y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是(-2,3)
D.当x=0时,y有最小值3

[变式2] 求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数表达式:
(1)经过点(-3,2);
(2)与y=12x2图象的开口大小相同,方向相反;
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.











(1)抛物线y=ax2+k,k决定着顶点在y轴上的位置,当k>0时,顶点在y轴的正半轴上;当k=0时,顶点是原点,此时抛物线是y=ax2;当k<0时,顶点在y轴的负半轴上.
(2)抛物线y=ax2+k的对称轴是y轴,反之,对称轴是y轴的抛物线的表达式是y=ax2+k.


第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

1.抛物线y=a(x-h)2可以看成由抛物线y=ax2沿x轴平移得到的:当h>0时,向　　　　平移　　　 　个单位;当h<0时,向　　 　　平移　　　　个单位. 
2.抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　,当a>0时,开口向　　 　　,且x>h时,y随x的增大而　　　　,当xh时,y随x的增大而　　　　,x
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系
[典例1] 二次函数y=12(x-3)2与y=12(x+1)2的图象分别是由二次函数y=12x2的图象如何平移得到的?









[变式1] 如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是(　　)
A.y=x2-1 B.y=x2+1
C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2

将抛物线y=ax2向左平移h(h>0)个单位得到抛物线y=a(x+h)2,向右平移h(h>0)个单位得到抛物线y=a(x-h)2,简称为“左加右减”.
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
[典例2] (2022博山模拟)已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3),求此二次函数的关系式,并写出当x为何值时,y随x的增大而增大.






[变式2] 对于函数y=-2(x-3)2的图象,下列说法不正确的是(　　)
A.开口向下
B.对称轴是直线x=3
C.最大值为0
D.与y轴不相交


二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h,顶点坐标是(h,0),其图象可由抛物线y=ax2平移得到.
当a>0时,抛物线y=a(x-h)2的开口向上,在对称轴的左边,即xh时,函数y随x的增大而增大.顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值,即当x=h时,y最小值=0.
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2的开口向下,在对称轴的左边,即xh时,函数y随x的增大而减小.顶点是抛物线的最高点,此时,函数y取得最大值,即当x=h时,y最大值=0.









第3课时　二次函数y=a(x-h)2 +k的图象与性质

抛物线y=a(x-h)2+k可以看成由抛物线y=ax2向上(下)和向右(左)平移得到的,平移的方向和距离由　　　　,　　　　决定.抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　,当a>0时,开口向　　　　;当a<0时,开口向　　　　. 





二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移
[典例1] 将抛物线y=2x2向上平移3个单位,再向右平移2个单位,所得到的抛物线的表达式为(　　)
A.y=2(x+2)2+3
B.y=2(x-2)2+3
C.y=2(x-2)2-3
D.y=2(x+2)2-3
未搞清楚平移的“基准”图象.
[典例2] 将二次函数y=12(x+3)2-2的图象平移得到二次函数y=12x2的图象的方法:先向　　　　(填“左”或“右”)平移　　　　个单位,再向　　　　(填“上”或“下”)平移　　　　个单位. 

对于抛物线的平移问题,一般有两种解决方法:一是将问题转化为顶点的平移问题解决;二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减,上加下减”解决.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
[典例3] 已知函数y=12x2,y=12(x+2)2+2和y=12(x+2)2-3.
(1)分别写出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;


(2)试讨论函数y=12(x+2)2-3函数值的变化情况及最大(小)值.




对抛物线顶点式的记忆模糊不清.
[典例4] 已知一条抛物线的函数表达式为y=(2x+1)2-2,则这条抛物线的顶点坐标是　　　　. 

第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方可化为y=a(x+b2a)2+4ac-b24a的形式,其图象的对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　　　　,当a>0时,开口向　　　　,y有最小值,即当x=-b2a时,y最小值=　　　　　　,且当x>-b2a时,y随x的增大而　　　　,当x<-b2a时,y随x的增大而　　　　;当a<0时,开口向　　　　,y有最大值,即当x=-b2a时,y最大值=　　　　　　,且当x>-b2a时,y随x的
增大而　　　　,当x<-b2a时,y随x的增大而　　　　. 

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
[典例1] 关于二次函数y=x2-6x+7,有下列说法:
①将图象向上平移3个单位,再向左平移2个单位后过点(3,5);
②当x=3时,y有最小值-2;
③x=2对应的函数值比最小值大3.
其中正确的是　　　　　　.(填序号) 
[变式1] 已知函数y=-x2-2x-32,用配方法求这个函数图象的对称轴和顶点坐标.



二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系
[典例2] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,则下列结论正确的是(　　)
A.a<0 B.c>0
C.2a=-b D.b>a

[变式2] 如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,其与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),对称轴是直线x=1,有下列说法:
①2a>0;
②2a+b=0;
③3a+b+c>0;
④当-10.
其中正确的是　　　　　　.(填序号) 


对于二次函数y=ax2+bx+c.
(1)a,b的值共同决定了对称轴的位置,即a,b同号时对称轴在y轴左侧,a,b异号时对称轴在y轴右侧,可简记为“左同右异”.
特别地,当b=0时,对称轴为y轴.
(2)关注几个特殊点的坐标:
(1,a+b+c);(-1,a-b+c);
(2,4a+2b+c);
(-2,4a-2b+c)等.
它们在求代数式的值或范围时应用较广.
5　确定二次函数的表达式

1.顶点式
如果知道抛物线的　　　 　坐标及二次函数图象上另一点的　　　　,就可以设二次函数的表达式为　　　　　　　　. 
2.一般式
如果知道抛物线上　　　　个点的坐标,就可以设二次函数的表达式为　　　　　　　　. 

由两点确定二次函数的表达式
[典例1] 已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,求该二次函数的表达式.





[变式] 如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),C(0,-3)两点,对称轴为直线x=1,点B为点A关于对称轴对称的点.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)写出当0







由三点确定二次函数的表达式
[典例2] 已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=0时,y=1;当x=-1时,y=6;当x=1时,y=0.求这个二次函数的表达式.




未考虑到二次函数图象的特征导致漏解.
[典例3] 已知二次函数的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为　　　　　　. 

在设函数的表达式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:
(1)当已知抛物线上的三点坐标或三组x,y的对应值时,可设函数表达式中的一般式y=ax2+bx+c.
(2)当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时,可设函数表达式中的顶点式y=a(x-h)2+k.
(3)当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数表达式中的交点式y=a(x-x1)·(x-x2).
(4)特别地,当抛物线顶点在x轴上时,可直接设函数表达式为y=a(x-h)2;当抛物线顶点在y轴上时,可直接设函数表达式为y=ax2+k.
6　二次函数的应用
第1课时　用二次函数解决面积最值问题

列二次函数表达式求图形面积的最值问题,一般含有　　　　个变化的未知量,我们可以设其中一个量为　　　　,然后利用图形中存在的　　　　用这个　　　　表示出另一个变化的　　　　,再利用图形面积公式列出　　　　　　,最后利用二次函数的性质求出　　　　,即可求得图形面积的　　　　. 

用二次函数解决面积最值问题
[典例] 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时,点P,Q均停止运动),求在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值.







[变式] 如图所示,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=34,AB=6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,求在运动过程中,△PBQ的最大面积.







第2课时　用二次函数解决最大利润问题

利用二次函数的最值解决商品销售中的最大利润问题时,可采用以下步骤
(1)设出自变量,用含自变量的代数式表示　　　　　　、
　　　　　　以及　　　　　　; 
(2)用含自变量的代数式表示销售的商品的　　　　　　; 
(3)用含自变量的代数式表示　　　　　　,即可得到函数表达式; 
(4)根据函数表达式求其　　　　　　以及取得　　　　　　时自变量的值,注意结果要符合　　　　　　及　　　　　　. 

用二次函数解决最大利润类问题
[典例1] 因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天的销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)当销售单价定为多少元时,药店每天获得的利润最大?最大利润为多少元?



忽视自变量的取值范围产生错误.
[典例2] 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.通过调查发现,这种水产品每千克售价y1(元)与销售月份x(月)之间满足函数表达式y1=-38x+36,而每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数图象如图所示.
(1)求b,c的值.
(2)求这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数表达式.
(3)“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润为多少?











(1)解决商品经营问题常用的关系式:销售利润=(单件售价-单件进价)×销售量.对于分段函数,求最值时应分段计算出各自的最大值,再进行比较,从而得出最大值.
(2)在实际问题中,要特别注意自变量的取值范围的限制,对于二次函数y=a(x-h)2+k,有可能x=h不在这个自变量的取值范围之内.这时,可结合图象进行分析,函数的图象可能只是抛物线y=a(x-h)2+k上的某一个特定的曲线段,如果图象的顶点不在这个曲线段上,就要结合图象两个端点的位置,观察出最大(或小)值,或结合函数增减性求出最大(或小)值.
第3课时　用二次函数解决抛物线形问题

利用二次函数解决抛物线形问题时,先在图形上建立合适的　　　　　　,再根据题意设出适当的　　　　　　,然后由已知点的坐标,利用待定系数法求出　　　　　　,从而得到函数表达式,最后根据函数表达式解决问题. 

用二次函数解决抛物线形问题
[典例] 甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图所示,甲在点O正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离 x(m) 之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为 5 m,球网的高度为 1.55 m.
(1)当a=-124时:
①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面的高度为125 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.








[变式] (2022新泰模拟)如图所示,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8 m,宽AB为2 m,抛物线的顶点E到BC边的距离为6 m.
(1)建立合适的直角坐标系,求出抛物线的表达式.


(2)如果该隧道内是双行道,现有一辆货运卡车高为4.5 m,宽为2.4 m,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算证明你的结论.





7　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交,那么交点的
　　　　就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况:　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　. 
(1)当二次函数的图象与x轴有　 　　　时,b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实根. 
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有　　 　　时,b2-4ac=0,则方程有两个相等的实根. 
(3)当二次函数的图象与x轴　 　　　时,b2-4ac<0,则方程无实根. 



二次函数图象与一元二次方程解的关系
[典例1] 小兰画了函数y=x2+ax+b的图象如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是(　　)

A.无解 B.x=1
C.x=-4 D.x1=-1,x2=4
对二次函数图象与一元二次方程解的关系未理解透彻.
[典例2] 二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-2t=0(t为实数)在-1
A.-0.5≤t<1.5 B.1.5≤t≤4
C.-0.5≤t≤4 D.1.5≤t<4
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=kx+m的关系
[典例3] 求抛物线y=x2-3x与直线y=2x的交点坐标.




抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点和方程ax2+bx+c=kx+m的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c和直线y=kx+m的交点情况,实际上就是由方程组y=ax2+bx+c,y=kx+m 转化成的一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根的情况:
(1)Δ>0⇔抛物线与直线有两个不同的交点,方程的两个不相等的实数根就是这两个交点的横坐标;
(2)Δ=0⇔抛物线与直线只有一个交点,方程的两个相等的实数根就是这个交点的横坐标;
(3)Δ<0⇔抛物线与直线无交点,方程无实数根.
[变式] 如图所示,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是　　　　. 

[变式]图
二次函数图象与不等式解集的关系
[典例4] 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(　　)

A.x<2 B.x>-3
C.-31
第2课时　利用二次函数图象求一元二次方程的近似根

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤
(1)画出函数y=ax2+bx+c的图象;
(2)确定抛物线与x轴的交点在　　　　　　之间; 
(3)列表,在(2)中的　　　　之间取值估计,近似根就出现在对应y值　　　　交换的地方. 

利用二次函数图象估算一元二次方程的近似根
[典例1]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根为(　　)

A.x1=-2.1,x2=0.1
B.x1=-2.5,x2=0.5
C.x1=-2.9,x2=0.9
D.x1=-3,x2=1


[变式1] 已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-2,1),关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根是-4,求另一个根.






利用表格求一元二次方程的近似根
[典例2] (2022崂山模拟)已知二次函数y=-x2-2x+2.
(1)填写表格,并在给出的直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
 
 
 
 
 
 
 
…
(2)结合函数图象,写出方程-x2-2x+2=0的近似根.(指出在哪两个连续整数之间即可)





[变式2] 下表是二次函数y=x2+3x-5的部分自变量x与函数值y的对应值:
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是(　　)
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3



第四章　投影与视图
1　投影
第1课时　投影与中心投影

1.投影
物体在　　　　　　的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象.影子所在的平面称为　　　　　　. 
2.中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从　　　　　　发出的,这样的光线所形成的投影称为中心投影. 

中心投影
[典例] 如图所示,点P表示广场上的一盏照明灯.
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子.(用线段表示)
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5 m,照明灯P到灯柱的距离为1.5 m,小丽目测照明灯P的仰角为55°,她的目高QB为1.6 m,试求照明灯P到地面的距离.(结果精确到0.1 m.参考数据:tan 55°≈1.428,sin 55°≈0.819,cos 55°≈0.574)



[变式] 如图所示,路灯(点P)距地面8 m,身高1.6 m的小红从距路灯的底部(点O)20 m的点A,沿AO所在的直线行走14 m到B点时,影子是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?







在中心投影中,点光源、物体的点及影子上的对应点在同一条直线上,这样根据其中的两个点,就可以确定第三个点的位置.

第2课时　平行投影、正投影

1.平行投影
太阳光线可以看成　　　　光线,　　　　光线所形成的投影称为平行投影;在太阳光下,同一时刻,甲物体的　　　　与其　　　　之比等于乙物体的　　　　与其　　　　之比. 
2.正投影
在平行投影中,当投影线垂直于　　　　(即投影线正对着　　　　)时,物体在投影面上的投影称为正投影. 

平行投影
[典例1] 如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影 BC=3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB投影的同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.


[变式] 阳光通过窗口照到教室内,竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子(即DE=2.1 m),如图所示,已知点E到窗下墙脚的距离CE=3.9 m,窗口底边离地面的距离BC=1.2 m,试求窗口的高度(即AB的长).






正投影
[典例2] 如图所示为一个正方体,请按图示方向画出它的正投影,并分别写出正方体各个面和棱A1A,C1D1的正投影.






2　视图
第1课时　三种视图及其画法

1.从某一角度看物体,将所见物体的轮廓形状图用　　　　　　画出来,这其实就是“视图”. 
2.三种视图
通常我们把从　　　　得到的视图叫做主视图,从　　　　得到的视图叫做左视图,从　　　　得到的视图叫做俯视图. 
3.三种视图的画法
(1)在主视图的　　　　画出俯视图,注意与主视图“　　　　”; 
(2)在主视图的　　　　画出左视图,注意与主视图“　　　　”,与俯视图“　　　　”. 
4.画三种视图的规定
在画视图时,看得见部分的轮廓线要画成　　　　,看不见部分的轮廓线要画成　　　　. 

三种视图的辨识
[典例1] 如图所示几何体的主视图是(　　)


ABCD
[变式1] 紫砂壶成型工艺特别,造型式样丰富,色泽古朴典雅,鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图所示是一把做工精湛的紫砂壶,下面四幅图中是从上面看到的是(　　)


ABCD




三种视图的画法
[典例2] 如图所示,桌面上放着1个长方体和1个圆柱,试画出该组合体的三种视图.







[变式2] 如图所示是由一个长方体截成的几何体,请在网格中依次画出这个几何体的三种视图.








画三种视图的规则:由于主视图反映物体的长和高,俯视图反映物体的长和宽,左视图反映物体的高和宽,因此在画物体的三种视图时,应遵循“主、俯两图长对正,主、左两图高平齐,左、俯两图宽相等”这样的画图规则.
画三种视图的注意事项:
(1)三种视图的外轮廓及内部结构都需遵循画三种视图的规则;
(2)看得见部分的轮廓线画成实线,看不见部分的轮廓线画成虚线;
(3)当虚线与实线重合时,画成实线.
第2课时　由三种视图判断几何体及其相关计算

由三种视图确定几何体形状的常用方法
根据主视图、俯视图和左视图确定几何体的　　　　、　　　　和
　　　　的形状以及几何体的　　　　、　　　　、　　　　.根据实线和虚线确定几何体　　　　和　　　　的轮廓线. 

由三种视图确定几何体形状
[典例1] (2022泰山模拟)诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,告诉我们要认清事物的本质,就必须从不同角度去观察.如图所示是对某物体从不同角度观察到的图形,则对该物体的判断最接近本质的是(　　)

A.是圆柱形物体和球形物体的组合体,里面有两个垂直的空心管
B.是圆柱形物体和球形物体的组合体,里面有两个平行的空心管
C.是圆柱形物体,里面有两个垂直的空心管
D.是圆柱形物体,里面有两个平行的空心管
[变式1] 已知一个组合体由几个相同的正方体组成,该组合体的主视图与俯视图如图所示,则该组合体中正方体的个数最多是(　　)

A.10 B.9
C.8 D.7



由三种视图判断几何体的形状时,首先可根据三种视图构成情况,判断几何体由哪些基本立体图形组成或切割而成,再由轮廓线判断基本立体图形的位置关系,如左右、前后、上下或内外关系.


借助三种视图确定的几何体形状进行相关计算
[典例2] 一个几何体的三种视图如图所示,则该几何体的表面积是　　　　　　. 

[变式2] (1)如图所示是一个几何体的两种视图,请写出这个几何体是由哪两种几何体组成的;
(2)根据两种视图中的数据(单位:cm),计算这个几何体的体积.(结果保留π)


第五章　圆
1　圆

1.圆的有关概念
平面内到定点的距离　 　　　定长的所有点组成的图形叫做　　 　　,定点就是　　 　　,定长就是　 　　　. 
2.等圆的概念
　　　　相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够重合. 
3.点与圆的位置关系
点在圆外,则这个点到圆心的距离　　　　半径; 
点在圆上,则这个点到圆心的距离　　　　半径; 
点在圆内,则这个点到圆心的距离　　　　半径. 

圆的概念
[典例1] 孙老师上数学课时忘记带圆规了,但他手里有一根小细绳,你能帮他在黑板上画一个圆吗?若能,请写出操作方法.






[变式1] 如图所示,△ABC1,△ABC2,△ABC3,…,△ABCn是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,Cn是否在同一个圆上?并说明理由.












(1)根据圆的概念,可知要判断几个点是否在同一个圆上,只需证明或计算这几个点到同一点的距离是否相等即可.
(2)确定一个圆的两个要素:①圆心,确定圆的位置;②半径,确定圆的大小.
(3)圆的半径相等,由此可知圆上任意两点及圆心构成的三角形都是等腰三角形.
点与圆的位置关系
[典例2] 已知☉O的半径为4,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-4x+d=0有实数根,则点P在☉O　　　　.(填位置关系) 
[变式2] 以点O为圆心,r为半径作☉O.已知OA=4,若使点A在☉O外,则r的值可以是(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
2　圆的对称性

1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称　　　　.连接圆上任意两点的线段叫做　　　　,经过圆心的弦叫做　　　　.在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做　　　　.圆的任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧,每一条弧都叫做　　　　. 
2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过　　　　的直线,圆也是中心对称图形,对称中心是　　　　. 
3.圆心角、弧、弦之间的关系
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的　　 　　相等,所对的　　　　相等; 
(2)在同圆或等圆中,如果两个　　　 　、两条　　 　　、两条　　 　　中有一组量相等,那么它们所对应的其余量都分别相等. 
4.圆心角的度数与它所对的弧的度数　　　　. 

与圆有关的概念
[典例1] 下列说法:①在同圆或等圆中,能够重合的两条弧是等弧;②长度相等的两条弧是等弧;③优弧大于劣弧;④半径是弦;⑤半圆不是弧.其中错误的是　　　　　　　.(填序号) 
[变式1] 下列由实线组成的图形中,为半圆的是(　　)

ABCD

圆中容易混淆的两组基本概念:
(1)弦与直径:直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径,只有经过圆心的弦才是直径;
(2)弧与半圆:半圆是弧,但弧不一定是半圆,直径所对的弧才是半圆.
圆的对称性
[典例2] 下列语句中,不正确的是(　　)
A.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,但对称中心只有一个





圆心角、弧、弦之间的关系
[典例3] 如图所示,在☉O中,AB=AC,∠ACB=60°.求证:∠AOB=
∠BOC=∠COA.




对在同圆或等圆中的弧与弦的关系理解不透彻.
[典例4] 已知A,B,C是☉O上的三点,如果AC+BC=AB,那么AC+BC
　　　　AB. 
弧的度数
[典例5] 如图所示,AB是☉O的直径,BC,CD,DA是☉O的弦,且BC=CD=DA,则BD的度数为(　　)
A.105° B.120° C.135° D.150°

[典例5]图
[变式2] 如图所示,在☉O中,AB是直径,弦CD∥AB,AC的度数为20°,则圆心角∠COD的度数为　　　　. 


圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.两段弧的度数相等,但它们的长度不一定相等.同样,长度相等的两段弧,它们的度数也不一定相等.两段等弧的长度与度数均相等.
*3　垂径定理

1.垂径定理
垂直于　　　　的直径平分这条　　　　,并且平分　　　　所对的　　　　　　. 
2.垂径定理的推论
平分　　　 　(不是　　 　　)的直径垂直于　　 　　,并且平分　　　　所对的　　　　　　. 

垂径定理及其推论
[典例1] 如图所示,☉O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点P,若AB=63 cm,PD=3 cm,则☉O的半径为(　　)

A.6 cm
B.5 cm
C.32 cm
D.43 cm
[变式1] 如图所示,AB为☉O的直径,且AB平分弦CD,若AB=10, CD=8,则圆心O到弦CD的距离为　　　　. 


垂径定理及其推论的内容可以概括为“知二推三”,即一条直线如果满足以下五个结论中的任意两个,那么就能推出其余的三个结论:
(1)经过圆心;
(2)垂直于弦;
(3)平分非直径的弦;
(4)平分弦所对的劣弧;
(5)平分弦所对的优弧.

垂径定理的应用
[典例2] (2022曲阜模拟)如图①所示,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②所示,筒车盛水筒的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6 m,☉O的半径长为4 m.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)

①②
A.1 m B.(4-7)m
C.2 m D.(4+7)m
[变式2] (2022宁津模拟)排水管的截面为如图所示的☉O,半径为5 m,已知现在水面位于圆心O下方,且水面宽AB=6 m,如果水面上涨后,水面宽为8 m,那么水面上涨了多少米?


4　圆周角和圆心角的关系
第1课时　圆周角定理及其推论1,2

1.顶点在　　　　,并且两边在圆内的部分分别是圆的　　　　,像
这样的角叫做圆周角. 
2.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的　　　　. 
3.圆周角定理的推论1,2
(1)圆周角的度数等于它所对弧的度数的　　　　; 
(2)　　　　或　　　　所对的圆周角相等. 

圆周角定理
[典例1] 如图所示,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于A,B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B不重合),求∠APB的度数.





[变式1] AB是☉O的直径,C,D是圆上两点,∠BDC=32°,则∠AOC的度数为(　　)

A.32° B.64° C.116° D.128°

圆周角定理说明了同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系,切忌粗略地理解为“圆周角等于圆心角的一半”.另外,还需注意,一个圆中一条弧所对的圆周角有无数个,而所对的圆心角只有一个.　
圆周角定理的推论1
[典例2] 如图所示,点P是☉O外一点,PA,PB分别交☉O于C,D两点,已知AB和CD所对的圆心角的度数分别为90°和50°,则∠P的度数为(　　)

A.45° B.40°
C.25° D.20°

注意圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半,圆心角的度数与它所对弧的度数相等.

圆周角定理的推论2
[典例3] 如图所示,四边形ABCD的顶点都在☉O上,BC=CD,
∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为(　　)

A.55° B.60°
C.65° D.70°
[变式2] 如图所示,在☉O中,半径OC垂直弦AB于点D,点E在☉O上,∠E=22.5°,AB=2,则半径OB的长为(　　)

A.1 B.2
C.2 D.22

(1)在同圆或等圆中,要证弧相等,可考虑证明这两条弧所对的圆周角或圆心角相等.反之亦然.
(2)圆周角定理及推论在圆周角、弧、圆心角之间架起了桥梁,使其关系可以互相转化,为证明角相等、线段相等、弧相等提供了重要 依据.

第2课时　圆周角定理的推论3

圆周角定理的推论3
　　　 　所对的圆周角是直角;　　 　　的圆周角所对的弦是直径. 

直径所对的圆周角是直角
[典例1] 如图所示,AB是☉O的直径.若∠BAC=43°,则∠ABC的度数是(　　)

A.43° B.47° C.53° D.57°
[变式1] 如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在☉O上,∠1=∠BCD.
(1)求证:CB∥PD.
(2)若BC=3,sin∠BPD=35,求☉O的直径.




圆周角定理的推论3
[典例2] 如图所示,已知☉O的直径为10,点A,B,C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D.若∠CAB=90°,AB=6,求AC,BD,CD的长.







[变式2] 如图所示,把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的直径是(　　)

A.10 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm

圆周角定理的推论3将“直角”与“直径”紧密联系起来,必要时,可添加辅助线,构造直径所对的圆周角,将问题转化为直角三角形的问题去研究;或添加直径,证明垂直或形成直角.
5　确定圆的条件
第1课时　确定圆的条件与三角形的外接圆

1.确定圆的条件
不在　　　　　　上的三个点确定一个圆. 
2.三角形的外接圆的相关概念
三角形的　　　　　　确定一个圆.经过三角形各　　　　的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边　　　　　　的交点,叫做三角形的　　　　,这个三角形叫做这个圆的　　　　　　. 

确定圆的条件
[典例1] 某地出土了一个明代残破圆形瓷盘,为复制该瓷盘需确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.(不要求写作法,但要保留作图痕迹).



[变式] 如图所示,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,则过这4个点中的任意3个点,能画出　　　　个圆. 


过已知点A作圆,可作无数个,其圆心是除点A外的任意一点;过已知点A,B作圆,可作无数个,其圆心在线段AB的垂直平分线上;不在同一条直线上的三个点确定一个圆,不存在过同一直线上三个点的圆;过任意四点不一定能作出圆.
三角形的外接圆
[典例2] 如图所示,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.连接BD.
(1)求证:DE=DB.
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC的外接圆的半径.





忽略了圆内接三角形的多样化致错.
[典例3] 已知点O为△ABC的外心,且∠BOC=70°,求∠BAC的度数.




第2课时　圆内接四边形的性质

1.圆的内接多边形和多边形的外接圆的概念
如果一个多边形的所有　　　　都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. 
2.圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角　　　　,圆内接四边形的任何一个外角都等于它的　　　　. 

圆内接四边形的对角互补
[典例1] 如图所示,已知四边形ABCD内接于☉O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD.(2)若☉O的半径为3,求BC的长.



[变式1] 如图所示,在☉O中,四边形OABC为菱形,点D在AmC上,则∠ADC的度数是　　　　. 

圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
[典例2] 如图所示,已知等边三角形ABC是☉O的内接三角形,点D在BC上,延长CD到点E,使DE=DB.连接AD,BE.求证:AD=CE.





[变式2] 如图所示,已知四边形ABCD内接于☉O,点A是BDC的中点,AE⊥AC于点A,与☉O及CB的延长线分别交于点F,E,且BF=AD.
(1)求证:△ADC∽△EBA.
(2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.




圆内接四边形的性质是建立圆内接四边形外角与内对角相等关系的重要依据,准确分清内对角、外角是解题的关键.注意,一条弦所对的两个圆周角有两种数量关系:相等或互补.
6　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系

1.直线和圆的位置关系
(1)当直线和圆有　　　　个公共点时,直线和圆相交; 
(2)当直线和圆有　　　　个公共点时,直线和圆相切; 
(3)当直线和圆有　　　　个公共点时,直线和圆相离. 
2.当直线l分别与☉O相交、相切、相离时,圆心O到直线l的距离d与☉O的半径r的大小关系:
(1)直线和圆相交时,d　　　　r; 
(2)直线和圆相切时,d　　　　r; 
(3)直线和圆相离时,d　　　　r. 

直线和圆的位置关系
[典例] 已知∠AOB=30°,点P是OA上的一点,OP=24 cm,以r为半径作☉P.
(1)若r=12 cm,试判断☉P与OB的位置关系;
(2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.



[变式1] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,试判断当半径r取下列各值时,☉C与直线AB的位置关系.
(1)r=2 cm;(2)r=2.4 cm;(3)r=3 cm.





[变式2] 在Rt△ABC中,AB=10 cm,AC=6 cm,若以点C为圆心、半径分别为2 cm和6 cm画两个圆,则这两个圆与直线AB有怎样的位置关系?当半径为多长时,直线AB与☉C相切?



判断直线和圆的位置关系“三步曲”:
求值→根据题意求出圆心到直线的距离d和圆的半径r;
比较→比较d与r的大小;
结论→根据大小关系判断直线和圆的位置关系.

第2课时　切线的性质

切线的性质
(1)圆的切线垂直于　　　　的半径; 
(2)圆的切线与圆只有　　　　个公共点; 
(3)圆心到切线的距离等于　　　　. 

切线的性质
[典例] 如图所示,在☉O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB.
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度数.









[变式1] 如图所示,AB是☉O的直径,PB与☉O相切于点B,连接PA交☉O于点C,连接BC.
(1)求证:∠BAC=∠CBP.(2)求证:PB2=PC·PA.
(3)当AC=6,CP=3时,求sin∠PAB的值.








[变式2] (2021泰山模拟)如图所示,△ACD内接于☉O,CB垂直于过点D的切线,垂足为点B.已知☉O的半径为83,BC=3,那么sin A的值是(　　)

A.89 B.19 C.35 D.34

已知圆的切线时,常常连接圆心和切点(这是圆中常作的辅助线之一),得到半径垂直于切线,从而通过构造直角三角形来解决问题.
第3课时　切线的判定

1.切线的判定定理
过半径　　　　且垂直于　　　　的直线是圆的切线. 
2.过一点画圆的切线
(1)过圆上一点能画圆的　　　　条切线; 
(2)过圆外一点能画圆的　　　　条切线. 

切线的判定
[典例] 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=42,O是AC上一点,CO=3,☉O过点C且与BC交于点E.连接AE.
(1)求弦CE的长.
(2)求证:AE是☉O的切线.







[变式1] (2021临沭期末)如图所示,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.






[变式2] 如图所示,在△ABO中,AB=12,OA=13,OB=5,以点O为圆心,OB为半径的☉O交OA于点C.过点C作弦CD∥OB.
(1)求证:AB是☉O的切线.
(2)求弦CD的长.







判定直线与圆相切的方法:
当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;
当直线和圆的公共点不明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.
第4课时　三角形的内切圆

三角形的内切圆
与三角形三边都　　　　的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条　　　　　　的交点,叫做三角形的　　　　. 

三角形的内切圆
[典例] 如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=7,BC=8,求其内切圆的半径.







[变式1] 《九章算术》中有这样一个问题:今有勾八步,股十五步.问勾中容圆径几何?其意思是今有直角三角形(如图所示),勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径为(　　)

A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
[变式2] 如图所示,在直角坐标系中,直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点B,点C和点B关于y轴对称,连接AC.求△ABC内切圆的半径.












(1)三角形任意两内角平分线的交点即为内心,三角形的内心到三边的距离相等.
(2)如果三角形的三边长分别为a,b,c,内切圆的半径为r,那么三角形的面积为S=12r(a+b+c).
(3)直角三角形内切圆半径长的求解方法:设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,内切圆半径为r,则根据三角形面积等于三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半,得12ab=12(a+b+c)r,从而r=aba+b+c.
*7　切线长定理

1.点到圆的切线长
过圆外一点作圆的切线,这点和　　　　之间的　　　　叫做这点到圆的切线长. 
2.切线长定理
从　　　　一点引圆的两条切线,它们的　　　　相等. 

切线长及切线长定理
[典例1] 如图所示,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)☉O的半径.









利用切线长定理得线段、角的关系时出错.
[典例2] 如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,连接PO,交☉O于点D,交AB于点C,连接AO,BO,根据以上条件,判断下列结论是否正确,并选取一个正确的结论给予证明.
①∠3=∠4,或∠7=∠8,或∠1=∠5,或∠2=∠6;②OP⊥AB;③AC=BC.





[变式] (2021龙凤期末)如图所示,四边形ABCD是☉O的外切四边形,已知AB=9,CD=15,则四边形ABCD的周长为　　　　. 


(1)如图所示是满足切线长定理的一个基本图形,从中可以得出很多结论,如PA⊥OA,PB⊥OB,OP⊥AB,AD=BD,AC=BC,∠1=∠2=∠3=∠4等.

(2)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么此直角三角形内切圆的半径r=12(a+b-c);
(3)圆外切四边形的两组对边之和相等.
8　正多边形和圆

1.圆内接正n边形
把圆分成　　　　,顺次连接这　　　　,得到的多边形是圆内接正n边形. 
2.正多边形的对称性
正多边形都是　　　　图形,一个正n边形共有　　　　条对称轴.如果正多边形有　　　　条边,那么它又是中心对称图形,其对称中心是　　　　的交点. 
3.正多边形的中心
正n边形的n条对称轴交于一点,这个点到正n边形各顶点的距离都　　　　,到各边的距离也都　　　　,我们把这个点叫做正多边形的中心. 
4.正多边形的半径
以正多边形的　　　　为圆心,以　　　　到一个顶点的距离为半径作圆,便得到这个正多边形的外接圆,正多边形外接圆的　　　　叫做正多边形的半径. 
5.正多边形的边心距
以正多边形的　　　　为圆心,以　　　　到一条边的距离为半径作圆,便得到这个正多边形的内切圆,正多边形内切圆的　　　　叫做正多边形的边心距.正多边形的　　　　与　　　　是同心圆. 
6.正多边形的中心角
正多边形每一条边所对的外接圆的　　　　叫做正多边形的中心角.正n边形的每个　　　　都相等,等于　　　　. 
7.正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的　　　　三角形,每个　 　　三角形又被相应的边心距分成两个全等的　　　　三角形. 

正多边形的画法
[典例1] 如图所示,AE是☉O的直径,请用直尺和圆规作☉O的内接正八边形 ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)



正多边形的有关概念与计算
[典例2] 如图①所示,正六边形螺帽的边长a=12 mm,可用它来固定航天飞机的某个部位,现在宇航员要将其加固拧紧,则选择的这个扳手的开口b应是多少毫米?请结合图②算一算.













(1)正n边形的内角为(n-2)·180°n=180°-360°n;正n边形的外角为360°n;正n边形的中心角为360°n.
(2)正n边形的其他计算一般都利用半径与边心距将计算转化到直角三角形中进行,正n边形的半径R,边长a,边心距r的数量关系是R2=r2+(a2)2.
(3)正n边形的周长为l=na,面积为S=12arn=12lr.(其中a表示边长,r表示边心距)
9　弧长及扇形的面积

1.一条　　　　和经过这条　　　　端点的两条半径所组成的图形为扇形. 
2.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长计算公式为　　　　.
3.在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形的面积计算公式为(1)　　　　　　;(2)　　　　　　. 

弧长
[典例1] 如图所示,☉O的半径为2,AB=AC,∠C=60°,求AC的长.


对弧长公式中字母的含义理解错误.
[典例2] 如图所示,在扇形AOB中,∠AOB=140°,∠CAO=60°,OA=4,求BC的长.







扇形面积
[典例3] 如图所示,AC是☉O的直径,AB,BD是弦,AC⊥BD于点F,∠A=30°,OF=3 cm,求图中阴影部分的面积.






[变式] 如图所示,一只小羊被主人用绳子拴在长为5 m,宽为2 m的长方形水泥台的一个顶点上,水泥台的周围都是草地.
(1)若绳子长为4 m,求这只羊能吃到草的区域的最大面积.(结果保留π)
(2)为增加小羊吃草的范围,现决定把绳子的长度增加到6 m,求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积.(结果保留π)








(1)扇形面积公式S扇形=12lR与三角形的面积公式有些类似,只需把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看成底,半径R看成高即可.
(2)已知S扇形,n,R中的任意两个,求第三个时,用公式S扇形=nπR2360;已知S扇形,l,R中的任意两个,求第三个时,用公式S扇形=12lR.
(3)求不规则图形的面积时,可将不规则图形转化为与其面积相等的规则图形进行求解,或将不规则图形转化为规则图形的面积的和(或差)的形式进行求解.
10　圆锥的侧面积

1.圆锥的有关概念
连接圆锥　　　　和底面圆周上　　　　的线段叫做圆锥的母线.圆锥的侧面展开图是一个　　　　.从圆锥的　　　　到底面的　　　　叫做圆锥的高. 
2.圆锥的基本特征
(1)圆锥的母线长都　　　　; 
(2)圆锥的侧面展开图是扇形,其半径等于圆锥的　　　　、其弧长等于圆锥的　　　　. 
3.圆锥的侧面积和全面积:设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么S侧=　,S全=　　　　+　　　　=　 . 

圆锥的侧面积与全面积
[典例] 已知Rt△ABC的斜边AB=13 cm,一条直角边AC=5 cm,如图所示是以斜边AB为轴旋转一周得到的几何体.求这个几何体的表面积.




[变式1] 在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AB=7 cm,BC=CD=4 cm,如图所示是以AB所在直线为轴旋转一周得到的一个几何体,求它的表面积.









[变式2] 如图所示,已知圆锥的高为33 cm,侧面展开图是一个半圆形,求:
(1)圆锥母线与底面半径的比值;
(2)圆锥的全面积.


第六章　对概率的进一步认识
1　用树状图或表格求概率
第1课时　用树状图或表格求概率

1.列表法
用　　 　　的形式反映事件发生的各种结果出现的　　 　　和　　　　,以及某一事件发生的　　　　和　　　　,并求出概率. 
2.画树状图法
用　　 　　的形式反映事件发生的各种结果出现的　　　　和　　　　,以及某一事件发生的　　　　和　　　　,
并求出概率. 

用树状图或表格求概率
[典例] 有一首《对子歌》中唱到:天对地,雨对风,大陆对长空.现将“天、雨、大、空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上,放到暗箱里搅匀后先后随机抽取两张,请用画树状图的方法求恰为“天”“空”两字的概率.




[变式] 小明和小亮进行摸牌游戏,如图所示,有三张除牌面数字不同外,其他完全相同的纸牌,牌面数字分别为4,6,7,他们把纸牌背面朝上,充分洗匀后,从这三张纸牌中随机摸出一张,记下数字后放回,再次重新洗匀,再随机摸出一张,再次记下数字.若两次数字之和大于11,则小明胜,否则小亮胜.请用列表格的方法求小明获胜的概率.











(1)随机事件要经过两步完成或涉及两个因素时,一般需要通过画树状图或列表格,不重复,不遗漏地列举出所有等可能的结果,再利用概率公式计算概率.
(2)随机事件要经过三步及以上步骤完成或涉及三个及以上因素时,通常需要通过画树状图列举出所有等可能的结果.
第2课时　用树状图或表格求概率——游戏的公平性

1.游戏的公平性
游戏是否公平,关键要看游戏双方获胜的　　　　是否一样,即判断双方获胜的　　　　是否相等,或转化为在总结果数明确的前提下,判断双方取胜所包含的　　　　是否相等. 
2.把不公平的游戏变公平的方法
(1)若游戏中不涉及得分情况,则可直接改变游戏规则,使双方获胜的
　　　　相等; 
(2)若游戏中涉及得分情况,先计算出概率,再根据游戏规则,改变游戏得分,使双方平均每次游戏所得的　　　　相等. 

用树状图或表格求概率判断游戏的公平性
[典例] 小华和小军做摸球游戏.A袋装有编号为1,2,3的三个小球,B袋装有编号为4,5,6的三个小球,两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小球,若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数,则小华胜,否则小军胜.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.




[变式1] 现有三张大小、形状完全一样的扑克牌,正面分别标有数字2,3,5.甲、乙两人做摸牌游戏,将三张扑克牌洗匀后背面朝上放在桌子上,甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.
(1)请用列表法或画树状图法求两人抽取相同数字的概率.
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜,若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜,这个游戏公平吗?请说明理由.














[变式2] (2021青岛模拟)如图所示,有两个可以自由转动的转盘A,B,转盘A被分成4等份,每份标上数字1,2,3,4;转盘B被分成6等份,每份分别标上数字1,2,3,4,5,6.有人为甲、乙两人设计了一个游戏,其规则如下:
(1)同时转动转盘A与B;
(2)转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分界线上,那么重转一次,直到指针指向一个数字为止),用所指的两个数字求积,如果所得的积是偶数,那么甲胜,如果所得的积是奇数,那么乙胜.
这样的规则是否公平?请说明理由.如果不公平,请设计一个公平的规则,并说明理由.





第3课时　用树状图或表格求概率——转盘游戏

1.用画树状图和列表的方法求概率时,应注意各种结果出现的
　　　　必须相同. 
2.红色和蓝色在一起可以配成　　　　色. 

转盘游戏中事件发生的概率
[典例1] 游戏者用如图所示的两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.转动两个转盘各一次,若两次数字之积大于3,则游戏者获胜.
(1)请用画树状图法表示游戏可能出现的所有结果;
(2)求游戏者获胜的概率.

A盘B盘







“配紫色”游戏
[典例2] (2021垦利期末)小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏,配成紫色小英胜,否则小丽胜,请用树状图或表格说明这个游戏对双方是否公平.







[变式] 请设计一个“配紫色”的游戏,使配成紫色的概率是13,且每个转盘要分成两份以上.







“配紫色”游戏体现了概率模型的应用,它启示我们概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.
2　生活中的概率

1.对于生活中的随机事件,我们求概率的方法有　　　　、　　　.
2.随机事件发生的可能性有大小,可能性较小的不一定　　　　,可能性较大的不一定　　　　. 

概率在生活中的应用
[典例] 小明、小亮、小红三个人从三张编号为1,2,3的卡片中各抽一张,谁抽得1号卡片谁就得一张电影票,抽签前三个人有些争议:小明认为谁先抽谁赢的概率大,谁最后抽谁赢的概率小,所以他要求先抽;小亮认为先后抽签赢的概率一样大,所以他无所谓;小红认为最先抽的人赢的概率较大,后面两个赢的概率一样,所以她要先抽.你认为谁说得有道理?并说明理由.





[变式1] 根据气象台预报获知“某市明天降雨的概率是80%”,对此信息,下面的说法正确的是(　　)
A.该市明天将有80%的地区降雨
B.该市明天将有80%的时间降雨
C.该市明天肯定下雨
D.该市明天降雨的可能性比较大
[变式2] 小明、小亮和小颖三人做“石头、剪刀和布”的游戏,并制定了如下的游戏规则:如果小明、小亮的手势相同,那么小颖获胜;如果小明、小亮的手势不同,那么按“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定获胜者.假设小明与小亮每次出这三种手势的可能性相同,请通过列表或画树状图的方法,分析这个游戏规则是否公平.











(1)抓阄或抽签时,第一个人相当于无放回试验的第一步,第二个人相当于无放回试验的第二步,第三个人相当于无放回试验的第三步……依此类推,这样我们便可以用画树状图的方法求出每个人赢的概率.
(2)利用概率可以估计随机事件发生的可能性大小,一般来说,概率大,事件发生的可能性就大;概率小,事件发生的可能性就小. 值得注意的是,随机事件发生的概率无论多大,也不一定发生,这是由随机事件的属性决定的.
*3　用频率估计概率
第1课时　用频率估计概率

1.频率
在某一不确定事件中,所考察对象出现的　　　　与　　　　　　的比叫做频率. 
2.概率
一般地,在大量重复进行同一试验时,某事件的频率总接近于某个　　 　　,并在它附近摆动,这时就把这个常数叫做这一事件的概率. 
3.频率与概率的关系
当试验的次数比较多时,用某种情况发生的　　 　　去估计这种情况发生的　　　　. 

用频率估计概率
[典例] 某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如表所示:
移植总
数n
400
750
1 500
3 500
7 000
9 000
14 000
成活数
m
369
662
1 335
3 203
6 335
8 073
12 628
成活的
频率mn
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
(1)根据表中数据,估计这种幼树的移植成活率是多少.(精确到0.1)
(2)该地区已经移植这种幼树4万棵,那么这种幼树大约能成活多 少棵?
(3)在(2)的条件下,如果该地区计划成活 9万棵幼树,那么还需要移植这种幼树多少棵?










[变式] 一个箱子里有红、白两种颜色的球共四个,它们除颜色外,其他都相同,小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球,记下颜色后把它放回.小明不断重复该试验,并利用多次试验的结果画出如下所示的频率统计图.
(1)当摸球次数很大时,摸到白球的频率将会接近　　　　(精确到0.01),从箱子中摸一次球,摸到红球的概率是　　　　. 
(2)从该箱子里随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球.请用画树状图法或列表法求摸出一个红球和一个白球的概率.













频率与概率的区别:
(1)频率是一个试验值或使用时的统计值,而概率则是事件发生的理论值;
(2)频率与试验次数的变化有关,而概率与试验次数的变化无关;
(3)频率与试验人、试验时间与地点有关,而概率则与这些因素无关.
频率与概率的联系:试验次数越多,频率越趋向于概率.


第2课时　设计模拟试验估计概率

1.模拟试验
在用试验法求某些事件发生的概率时,往往受　　　　　　的限制,使试验具有一定的难度或者所得的结果　　　　较大,或者试验次数　　　　,或者试验具有一定的　　　　,导致完成起来比较困难,这时我们可以采用　　　　　　的方法估计事件发生的概率. 
2.模拟试验的两种方法
(1)利用　　　　模拟实际事物进行试验; 
(2)利用　　　　产生的随机数进行试验. 

设计模拟试验估计概率
[典例] 在课本中学习了利用摸球试验模拟调查6个人中有2个人生肖相同的概率,小颖想用转盘来模拟试验.
(1)请替她设计一个合适的转盘;
(2)简要说说试验过程.





[变式1] 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次网球单打比赛,现要从中先后选出两位同学打第一场比赛.
(1)请用画树状图法或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率;
(2)请你设计一个以摸球为背景的试验(至少摸2次),并根据该试验写出一个发生概率与(1)所求概率相同的事件.








[变式2] 课题学习:设计概率模拟试验.
在学习概率时,老师说:“掷一枚质地均匀的硬币,大量重复试验后,正面朝上的概率约是12.”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟试验:
小海找来一个啤酒瓶盖(如图①所示)进行大量重复抛掷,然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值;
小东用硬纸片做了一个圆形转盘,把转盘分成8个大小一样的扇形区域,并依次标上数字1至8(如图②所示),转动转盘10次,然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值;
小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子(如图③所示),其中有三枚是白子,一枚是黑子,从中随机同时摸出两枚棋子,并大量重复上述试验,然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值.

根据以上材料回答问题.
小海、小东、小英三人中,哪一位同学的试验设计比较合理?并简要说明其他两位同学试验设计的不足之处.




参考答案
第一章　反比例函数
1　反比例函数

1.kx　2.y=kx　xy=k　y=kx-1　3.0

[典例1]B　[典例2]B　
[典例3]解:(1)由x与y成反比例,可设y=kx(k≠0),
∵当x=-92时,y=2,∴2=k-92,∴k=-9,
∴y=-9x.
(2)当x=-32时,y=-9-32=6,∴y=6.
[变式1]解:(1)∵y是x的反比例函数,
∴设这个函数的表达式为y=kx(k≠0).
∵当x=-1时,y=3,
∴3=k-1,解得k=-3,
∴这个函数的表达式为y=-3x.
(2)根据表达式y=-3x,
补全表格如下:
x
-1
-2
　-3　 
1
2
　-12　 
y
3
　32　 
1
　-3　 
　-32　 
6
[典例4]A　[变式2]y=20x
2　反比例函数的图象与性质
第1课时　反比例函数的图象

1.曲线　2.一　三　二　四　3.列表　描点　连线

[典例1]解:(1)列表:
x
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
y
…
12
34
1
32
3
-3
-32
-1
-34
-12
…
描点、连线,画出函数图象如图所示:

(2)由图象(或列表),可知当1≤x≤3时,函数值y的取值范围为-3≤y≤-1.
[典例2]D　[变式1]m<-2
[典例3](-3,-4)　[变式2]13π2
第2课时　反比例函数的性质

1.一、三　减小　二、四　增大　2.|k|　12|k|

[典例1]B　[变式1]B
[典例2]B　[变式2]B　[典例3]-5
3　反比例函数的应用

2.(1)①两　原点　②无　(2)①两　②一　③无

[典例1]解:(1)5
(2)能.理由如下:
设直线AB的函数关系式为yAB=kx+b,
把(10,50)和(0,30)代入,得10k+b=50,b=30,
解得k=2,b=30,
∴直线AB的函数关系式为yAB=2x+30.
设双曲线CD的函数关系式为yCD=ax,
把(20,50)代入,得50=a20,
∴a=1 000,
∴双曲线CD的函数关系式为yCD=1 000x.
当y=40时,2x+30=40,解得x=5;
当y=40时,1 000x=40,解得x=25.
∵25-5=20>18,
∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题.
[变式]解:(1)设双曲线CD的函数表达式为
y=kx(k≠0),
∵C(10,20),∴k=200,
∴y与x的函数表达式为y=200x(10≤x≤24).
(2)把y=10代入y=200x中,得x=20,
∵20-10=10,∴恒温系统最多可以关闭10 h,才能使蔬菜避免受到 伤害.
[典例2]解:(1)把B(4,2)代入y2=k2x,得
k2=4×2=8,
∴反比例函数的表达式为y2=8x.
把A(m,8)代入y2=8x,得8=8m,解得m=1.
∴点A的坐标为(1,8).
把A(1,8),B(4,2)代入y1=k1x+b,得
k1+b=8,4k1+b=2,解得k1=-2,b=10.
∴一次函数的表达式为y1=-2x+10.
(2)∵k1x+b-k2x<0,
∴k1x+b 由图象,知当04时,y1 ∴当04时,k1x+b-k2x<0.
[典例3]x≤-2或0 第二章　直角三角形的边角关系
1　锐角三角函数
第1课时　正切

1.对边　邻边　∠A的对边∠A的邻边
2.(1)铅直高度　水平宽度　(2)坡面　水平面
3.正切　大　陡

[典例1]52　[变式1]5　[典例2]C　[典例3]A
[变式2]解:(1)在Rt△BCE中,
CE=45 m,BC=90 m,
∴EB=BC2-CE2=902-452=453(m).
∴斜坡BC的坡度为
tan B=CEEB=45453=1∶3.
(2)如图所示,过点D作DF⊥AB于点F,则

DF=CE=45 m.
∵斜坡AD的坡度为1∶2,
∴tan A=DFAF=12 .∴AF=452 m.
∴AB=EF+AF+BE=(25+452+453)m,
即坝底AB的长为(25+452+453)m.
第2课时　正弦、余弦

1.对边　斜边　2.邻边　斜边

[典例1]解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,b=6,c=10,
∴a=c2-b2=102-62=8.
∴sin A=ac=810=45,
cos A=bc=610=35.
∴∠A的正弦值为45,∠A的余弦值为35.

[变式]解:如图所示,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
由勾股定理可得
AB=32+32=32,
∵AD=3,∴sin B=332=22.
[典例2]解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,
∴BC=AB2-AC2=32-22=5.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=5,
∴sin A=BCAB=53.
[典例3]解:如图①所示,
∵BC=6,BD∶CD=2∶1,
∴BD=4.
∵AD⊥BC,tan B=23,∴ADBD=23,
∴AD=23BD=83,
∴S△ABC=12BC·AD=12×6×83=8.

① ②
如图②所示,∵BC=6,BD∶CD=2∶1,
∴BD=12.
∵AD⊥BC,tan B=23,
∴ADBD=23,∴AD=23BD=8,
∴S△ABC=12BC·AD=12×6×8=24.
综上,△ABC的面积为8或24.
2　30°,45°,60°角的三角函数值

度数
sin α
cos α
tan α
30°
　12　 
　32　 
　33　 
45°
　22　 
　22　 
　1　 
60°
　32　 
　12　 
　3　 

[典例1]解:(1)原式=3-2×1+2×32
=3-2+3
=23-2.
(2)原式=3×33+(22)2-2×32
=3+12-3
=12.
[变式1]B
[典例2]解:在Rt△CDB中,∠CDB=90°,∠CBD=60°,BC=20 m,
∴CD=BCsin∠CBD=20sin 60°=20×32=103(m).
∵DE=AB=1.5 m,
∴CE=CD+DE=103+1.5≈18.8(m).
∴此时风筝离地面的高度约为18.8 m.
[变式2]解:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,
则∠ABD=∠BAD=45°,∠ACD=30°.
在Rt△ABD中,BD=AD=20 m,
在Rt△ACD中,CD=3AD=203 m,
∴BC=BD+CD=(20+203)m,
即B,C两点之间的距离为(20+203)m.

3　用计算器求锐角的三角函数值

1.sin　cos　tan
2.sin　cos　tan　sin-1　cos-1　tan-1　2ndF
3.度　DMS　度　分　秒

[典例1]解:按键顺序为

显示结果为0.924 811 845,
∴sin 67°38′24″≈0.924 8.
[变式1]D
[典例2]解:按键顺序为
,
得∠A≈27°5′3″.
[变式2]27.8°
4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形

1.五　三　两　已知　未知
2.两　一　一

[典例1]解:(1)在Rt△ABC中,∵a2+b2=c2,
∴c=a2+b2=12+(3)2=2.
由tan B=ba=3,得∠B=60°.
∴∠A=90°-∠B=30°.
∴c=2,∠A=30°,∠B=60°.
(2)由勾股定理,得
b=c2-a2=(2)2-12=1.
由sin A=ac=22,得∠A=45°.
∴∠B=90°-∠A=45°.
∴b=1,∠A=∠B=45°.
[典例2]解:(1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.
由tan B=ba,得
b=atan B=4tan 60°=4×3=43.
由cos B=ac,得c=acosB=4cos60°=8.
∴b=43,c=8,∠A=30°.
(2)∵cos A=12,∴∠A=60°.
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
∵cos A=bc=b3=12,∴b=32.
∴a=c2-b2=32-(32) 2=332.
∴a=332,b=32,∠A=60°,∠B=30°.
[变式]解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD=30°,
∴∠ABD=∠A,
∴AD=BD=20,∴CD=12BD=10,
∴BC=BD2-CD2=202-102=103.
第2课时　解简单的斜三角形

高　直角

[典例1]解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D.

在Rt△ACD中,
AC=8 km,∠CAD=30°,∠CDA=90°,
∴CD=ACsin∠CAD=8sin 30°=8×12=4(km),
AD=ACcos∠CAD=8cos 30°=43(km).
在Rt△BCD中,
CD=4 km,∠BDC=90°,∠CBD=45°,
∴∠BCD=45°.
∴BD=CD=4 km.
∴AB=AD+BD=43+4≈11(km).
∴A,B两点间的距离约为11 km.
[变式]解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠B=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°.
∵BC=6,∴CD=BD=32.
在Rt△ACD中,∠ACD=75°-45°=30°,
∴tan 30°=AD32,∴AD=6,
∴S△ABC=12·AB·CD=12·(32+6)·32=9+33,
∴△ABC的面积为9+33.

[典例2]解:如图所示,延长AD,BC交于点E.

在Rt△ABE中,AB=200 m,∠A=60°,
∴BE=ABtan A=200tan 60°=2003(m),
AE=ABcosA=200cos60°=20012=400(m).
在Rt△CDE中,CD=100 m,∠CED=90°-∠A=90°-60°=30°,
∴CE=2CD=200 m,
DE=CDtan∠CED=100tan30°=10033=1003(m).
∴AD=AE-DE=400-1003≈227(m),
BC=BE-CE=2003-200≈146(m).
答:AD的长约为227 m,BC的长约为146 m.
5　三角函数的应用
第1课时　仰角、俯角与方向角问题

1.视线　水平线　2.视线　水平线
3.观察点　正北　正南　观察目标

[典例1]解:设BC=x m,则AC=(x+5)m,
在Rt△BDC中,∠BDC=45°,
∴DC=BC=x m.
在Rt△ADC中,tan∠ADC=ACDC,
即x+5x≈1.2,解得x≈25.
故建筑物BC的高度约为25 m.
[典例2]解:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,
由题意,得PA=70×6=420(m),∠A=60°,∠B=37°,

在Rt△PAC中,∠A=60°,
∴PC=PA·sin 60°=420×32=2103(m),
AC=PA·cos 60°=210 m.
在Rt△BPC中,∠B=37°,tan B=PCBC,
∴BC=PCtanB≈21030.75=2803(m),
∴小明步行的总路程为PA+AC+CB≈420+210+2803≈1 106(m).
[变式]103
第2课时　坡度、坡角问题

坡面　水平面　角　正切　比　1∶m(m>0)

[典例1]解:(1)如图所示,过点C作CF⊥AB于点F,过D作DH⊥AB于点H,
则四边形CDHF是矩形,
∴CD=HF=4 m,DH=CF=3 m.
在Rt△ADH中,坡度i=1∶1=DH∶AH,
∴AH=DH=3 m.
在Rt△BCF中,∠B=60°,CF=3 m,
∵tan B=CFBF,∴BF=CFtan60°=33=3(m).
∴AB=AH+HF+FB≈7+1.732≈8.7(m),
即坝底AB的长约为8.7 m.

(2)此加固工程对古树没有影响,理由如下:
由题意,得DH∶EH=1∶3,
∴EH=3DH=33 m,
∴AE=EH-AH=(33-3)m.
∵33-3<2.5,∴此加固工程对古树没有影响.
[典例2]解:(1)如图所示,过点B作BE⊥AD于点E.
在Rt△AEB中,sin α=BEAB,即BE65=413,
解得BE=20 m.
答:小明从点A到点B上升的竖直高度是20 m.
(2)如图所示,过点B作BF⊥CD于点F,

则四边形BEDF为矩形,
∴DF=BE=20 m.
设CF=x m,
在Rt△CBF中,BC的坡度i=1∶3,
∴BF=3x m.
由勾股定理,得BF2+CF2=BC2,
即(3x)2+x2=502,
解得x=510,
∴CD=(510+20)m.
答:小明从点A到点C上升的高度CD是(510+20)m.
[典例3]解:(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶3,
∴tan α=13=33,∴α=30°.
[变式]解:∵这段坡坡角的正切值tan α=1∶3=33=tan 30°> tan 28°,
∴这辆汽车不能爬过此坡.
6　利用三角函数测高

1.锐角的度数　直角边的长　2.仰角　距离　高度

[典例1]A
[典例2]解:根据题意,知∠ACB=45°,∠ADB=60°,DC=50 m.
在Rt△ABC中,∠BAC=∠BCA=45°,
∴BC=AB.
在Rt△ABD中,tan∠ADB=ABBD,
∴BD=ABtan∠ADB=ABtan60°=33AB.
∵BC-BD=DC,
∴AB-33AB=50,
∴AB=1503-3≈118(m).
∴该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB约为118 m.
[典例3]解:在Rt△ACG中,tan 22°=AGCG≈25,
∴CG≈52AG.
在Rt△AEG中tan 39°=AGEG≈45,
∴EG≈54AG.
∵CG-EG=CE,
∴52AG-54AG≈63,∴AG≈50.4.
∵GH=CD=1.1,BH=13,
∴BG=13-1.1=11.9,
∴AB=AG-BG≈50.4-11.9=38.5(m).
故“八卦楼”的高度约为38.5 m.
[变式]解:设BC为x m,则AC=(20+x)m,
由条件,知∠DBC=∠AEC=60°,DE=80 m.
在Rt△DBC中,tan 60°=DCBC=DCx,
则DC=3x m.
∴CE=(3x-80)m.
在Rt△ACE中,tan 60°=ACCE=20+x3x-80=3,
解得x=10+403.
答:小山BC的高度为(10+403)m.
第三章　二次函数
1　对函数的再认识
第1课时　函数与函数值

1.每一个确定值　唯一确定的值　自变量　因变量
2.确定的值a　对应值　对应值　x=a

[典例1]C　[变式1]B
[典例2]解:(1)y=4x+60
(2)由y=4x+60,知当x每增加1时,y就增加4.
(3)当x=0时,y=60.此时梯形的上底就变为0,梯形就变为三角形,∴当x=0时,y表示的是一个三角形的面积.
[变式2]解:(1)∵当x=-1时,y=0,
∴-(a-1)+2a-4=0,解得a=3.
(2)由(1)知函数表达式为y=2x+2,
∴当x=1时,y=2+2=4.
第2课时　函数的表示方法

1.函数关系　解析法　表格　图象　列表法　图象法
2.(1)全体实数　(2)使分母不为零　(3)使被开方数为非负数　(4)自变量　公共部分　(5)实际问题

[典例1]解:(1)由表格可以发现规律:
每放水10 min,水量便减少250 m3.
∵放水到第80 min,
即放水到第40 min再放水40 min,
∴3 000-4010×250=2 000(m3).
∴当放水到第80 min时,池内还有水2 000 m3.
(2)∵游泳池有水4 000 m3,
每放1 min,水量减少25 m3,
∴y与x的函数表达式为y=-25x+4 000.
[变式1]D
[典例2]解:(1)x是任意实数.
(2)根据题意,得x-2≥0,x-3≠0,解得x≥2且x≠3.
(3)根据题意,得x-1≠0,解得x≠1.
[变式2]解:(1)能,l=5+3(n-1)=3n+2,
自变量n的取值范围是n为正整数.
(2)当n=11时,l=3×11+2=35.
2　二次函数

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
ax2　bx　c　a　b

[典例1]A
[变式1]解:(1)∵函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1是一次函数,
∴m2+2m=0,m≠0,解得m=-2.
∴当m=-2时,此函数是一次函数.
(2)∵函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1是二次函数,∴m2+2m≠0,解得m≠-2且m≠0.
∴当m≠-2且m≠0时,此函数是二次函数.
[典例2]C
[典例3]解:(1)∵直角三角形另一条直角边长为
20-8=12(cm),
∴这个直角三角形的面积为
12×8×12=48(cm2).
(2)根据直角三角形的面积公式可得S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为
S=12x(20-x)=-12x2+10x.
自变量x的取值范围是0 [变式2]A
3　二次函数y=ax2的图象与性质
第1课时　二次函数y=±x2的图象与性质

1.列表　描点　连线　2.(0,0)
3.抛物线　向上　y轴　最低

[典例]解:(1)列表如下所示:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y1=x2
…
4
1
0
1
4
…
y2=-x2
…
-4
-1
0
-1
-4
…
画图象如图所示.

(2)①函数y1=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);
函数y2=-x2的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0).
②由图象,知当x>0时,随着x值的增大,y1的值也增大.
[变式]解:∵二次函数y=x2的图象经过点A(-5,a),
∴a=25.
∵y=x2,∴该二次函数图象的对称轴为y轴.
∵A(-5,25),点A与点B关于该二次函数图象的对称轴对称,∴点B的坐标为(5,25).
第2课时　二次函数y=ax2的图象与性质

抛物线　y轴　坐标原点　向上　低　向下　高

[典例1]解:(1)填表如下所示:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=12x2
…
92
2
12
0
12
2
92
…
(2)画图如下所示:

[变式1]C
[典例2]解:由题意,知y1=4a,y2=9a,y3=a,
又∵a>0,
∴y2>y1>y3.
[变式2]解:由y=(m+2)xm2-3是二次函数且当x<0时,y随x的增大而增大,得m2-3=2,m+2<0,
解得m=±5,m<-2,∴m=-5.
4　二次函数y=ax2+bx+c的
图象与性质
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象与性质

1.相同　上　下　|k|
2.向上　y轴　(0,k)　增大　减小　向下　y轴　(0,k)　减小　 增大

[典例1]解:在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象如图 所示:

(1)抛物线y=x2的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);
抛物线y=x2-1的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1).
(2)抛物线y=x2-1可由抛物线y=x2向下平移1个单位得到.
[变式1]-1　[典例2]B
[变式2]解:(1)由题意,得9a-1=2,解得a=13,
则函数表达式为y=13x2-1;
(2)∵与y=12x2图象的开口大小相同,方向相反,
∴函数表达式为y=-12x2-1;
(3)当x=0时,y=-1,当x=2时,y=4a-1,
由题意,得-1-(4a-1)=4,解得a=-1,
∴函数表达式为y=-x2-1.
第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

1.右　h　左　|h|
2.x=h　(h,0)　上　增大　减小　下　减小　增大

[典例1]解:y=12(x-3)2的图象是由y=12x2的图象向右平移3个单位得到的;
y=12(x+1)2的图象是由y=12x2的图象向左平移1个单位得到的.
[变式1]C
[典例2]解:根据题意,得y=a(x-2)2,
把(1,-3)代入,得a=-3,
∴二次函数的关系式为y=-3(x-2)2.
∵抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线开口向下,
∴当x<2时,y随x的增大而增大.
[变式2]D
第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的
图象与性质

h　k　x=h　(h,k)　上　下

[典例1]B　[典例2]右　3　上　2
[典例3]解:(1)函数y=12x2的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);
函数y=12(x+2)2+2的图象开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,2);
函数y=12(x+2)2-3的图象开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,-3).
(2)当x>-2时,函数值y随x的增大而增大;
当x<-2时,函数值y随x的增大而减小.
当x=-2时,函数值y取最小值,为-3.
[典例4](-12,-2)
第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的
图象与性质

x=-b2a　(-b2a,4ac-b24a)　上　4ac-b24a　增大　减小　下　4ac-b24a　减小　增大

[典例1]①②
[变式1]解:y=-x2-2x-32
=-(x2+2x+1-1)-32
=-(x2+2x+1)+1-32
=-(x+1)2-12,
∴函数图象的顶点坐标是(-1,-12),对称轴是直线x=-1.
[典例2]D
[变式2]②③④
5　确定二次函数的表达式

1.顶点　坐标　y=a(x-h)2+k
2.三　y=ax2+bx+c

[典例1]解:∵二次函数图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,
∴设该二次函数的表达式为y=-2(x-h)2+k,
∴该函数图象的顶点坐标为(h,k).
∵当x=1时,y有最大值8,∴该函数图象的顶点坐标为(1,8),∴h=1, k=8,
∴该二次函数的表达式为y=-2(x-1)2+8,
即y=-2x2+4x+6.
[变式]解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),且对称轴为直线x=1,
∴点B坐标为(3,0).
设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3),
将C(0,-3)代入,得-3a=-3,解得a=1,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).
(2)∵当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-4;
当x=3时,y=0.
∴当0 [典例2]解:根据题意,得c=1,a-b+c=6,a+b+c=0,
解得a=2,b=-3,c=1,
∴二次函数的表达式为y=2x2-3x+1.
[典例3]y=-16x2+23x或y=12x2+2x
6　二次函数的应用
第1课时　用二次函数解决面积最值问题

两　自变量　等量关系　自变量　未知量　二次函数表达式　最值　最值

[典例]解:设运动时间为t s,
则AP=t cm,CQ=2t cm.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC=AB2-BC2=102-82=6(cm),
∴CP=AC-AP=(6-t)cm.
∴△PCQ的面积为
12PC·CQ=12(6-t)2t=-t2+6t.
设四边形PABQ的面积为S cm2,
则S=S△ABC-S△PCQ
=12×6×8-(-t2+6t)
=(t-3)2+15(0≤t≤4).
∴当t=3时,S取得最小值,为15.
∴四边形PABQ面积的最小值为15 cm2.
[变式]解:∵tan∠C=34,AB=6 cm,
∴ABBC=6BC=34,∴BC=8 cm.
设运动时间为t s.由题意,得
AP=t cm,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm,
设△PBQ的面积为S cm2,则S=12×BP×BQ=12×(6-t)×2t=-t2+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,
P:0≤t≤6,Q:0≤t≤4,
∴当t=3时,S有最大值为9,
即△PBQ的最大面积为9 cm2.
第2课时　用二次函数解决最大利润问题

(1)销售价　销售量　销售收入　(2)成本
(3)销售利润　(4)最值　最值　实际意义　题意

[典例1]解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将(60,100),(70,80)代入,得
100=60k+b,80=70k+b,解得k=-2,b=220,
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+220.
(2)设药店每天获得的利润为w元,
由题意,得
w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800.
∵-2<0,∴函数有最大值,
∴当x=80时,w有最大值,为1 800.
∴当销售单价定为80元时,药店每天获得的利润最大,最大利润为1 800元.
[典例2]解:(1)将(3,25),(4,24)代入y2=18x2+bx+c,得98+3b+c=25,2+4b+c=24,解得b=-158,c=592.
(2)由(1),得y2=18x2-158x+592,
则y=y1-y2=(-38x+36)-(18x2-158x+592)=-18(x-6)2+11.
(3)∵y=-18(x-6)2+11,-18<0,当x<6时,y随x的增大而增大,
∴“五一”之前,四月份利润最大,
最大利润为-18(4-6)2+11=10.5(元).
第3课时　用二次函数解决抛物线形问题

直角坐标系　函数表达式　未知系数

[典例]解:(1)①把(0,1),a=-124代入y=a(x-4)2+h,得1=-124×16+h,解得h=53.
∴h的值为53.
②把x=5代入y=-124(x-4)2+53,得
y=-124(5-4)2+53=1.625.
∵1.625>1.55,∴此球能过网.
(2)把(0,1),7,125代入y=a(x-4)2+h,得
16a+h=1,9a+h=125,解得a=-15,h=215.
∴a的值为-15.
[变式]解:(1)如图所示,以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,
根据题意,知A(-4,2),D(4,2),E(0,6),
∴设抛物线的表达式为y=ax2+6(a≠0),
把A(-4,2)(或D(4,2))代入,得16a+6=2,
解得a=-14,
∴抛物线的表达式为y=-14x2+6.(答案不唯一)

(2)能通过,证明如下:
取x=2.4,代入(1)所求得的表达式中,得
y=-14×2.42+6=4.56>4.5.
故这辆货运卡车能通过该隧道.
7　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程的关系

1.横坐标
2.有两个交点　有一个交点　没有交点　
(1)两个交点　(2)一个交点　(3)没有交点

[典例1]D
[典例2]C　解析:∵抛物线的对称轴为直线x=-b2=1,
解得b=-2,
∴抛物线表达式为y=x2-2x,顶点坐标为(1,-1),
当x=-1时,y=3,当x=4时,y=8.
∵一元二次方程x2+bx-2t=0(t为实数)在-1 ∴直线y=2t与二次函数y=x2+bx的图象在-1 ∴-1≤2t≤8,
∴-0.5≤t≤4.
故选C.
[典例3]解:由抛物线与直线的表达式,可得
x2-3x=2x,
解得x1=0,x2=5,故交点坐标为(0,0),(5,10).
[变式]x1=-2,x2=1
[典例4]C
第2课时　利用二次函数图象
求一元二次方程的近似根

(2)哪两个数
(3)两个数　正、负

[典例1]B
[变式1]解:∵二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-2,1),
∴-b2a=-2.
∴关于x的方程ax2+bx+c=3的两根之和为-ba=-4,
∴方程的另一个根为0.
[典例2]解:(1)填表如下所示:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-6
-1
2
3
2
-1
-6
…
所画图象如图所示:

(2)由图象,可知方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3～-2之间和0～1之间.
[变式2]C
第四章　投影与视图
1　投影
第1课时　投影与中心投影

1.光线　投影面
2.一个点

[典例]解:(1)如图所示,线段AC是小敏的影子.

(2)如图所示,过点Q作QE⊥MO于点E,过点P作PF⊥AB于点F,交EQ于点D,则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中,∠PQD=55°,
DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3(m).
∵tan 55°=PDDQ,∴PD=3tan 55°≈4.28(m).
∵DF=QB=1.6 m,
∴PF=PD+DF≈4.28+1.6≈5.9(m).
∴照明灯P到地面的距离约为5.9 m.
[变式]解:如图所示,

∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,
∴△MAC∽△MOP,
∴MAMO=ACOP,
即MA20+MA=1.68,解得MA=5 m.
同理,由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5 m.
∵5-1.5=3.5(m),
∴小红的影子变短了,变短了3.5 m.
第2课时　平行投影、正投影

1.平行　平行　高度　影长　高度　影长
2.投影面　投影面

[典例1] 解:(1)如图所示,连接AC,过点D作DF∥AC,交BE所在的直线于点F,则线段EF就是DE的影子.

(2)∵DF∥AC,
∴∠ACB=∠DFE.
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF,∴ABDE=BCEF.
∵AB=5 m,BC=3 m,EF=6 m,
∴5DE=36,解得DE=10 m.
∴DE的长为10 m.

[变式]解:如图所示,连接AB,∵阳光是平行光线,
∴AE∥BD,
∴∠AEC=∠BDC.
又∵∠C是公共角,
∴△AEC∽△BDC,
∴ACBC=ECDC.
∵AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,ED=2.1 m,BC=1.2 m,
∴AB+1.21.2=3.93.9-2.1,解得AB=1.4 m.
故窗口的高度为1.4 m.
[典例2]解:正投影如图所示,

面A1B1C1D1与ABCD的正投影是正方形A2B2C2D2;面A1ABB1的正投影是线段A2B2;面D1DCC1的正投影是线段D2C2;面A1ADD1的正投影是线段A2D2;面B1BCC1的正投影是线段B2C2;棱A1A的正投影是点A2;棱C1D1的正投影是线段C2D2.
2　视图
第1课时　三种视图及其画法

1.平面图形
2.正面　左面　上面
3.(1)正下方　长对正
(2)正右方　高平齐　宽相等
4.实线　虚线

[典例1]A
[变式1]A
[典例2]解:三种视图如图所示.

[变式2]解:三种视图如图所示:

第2课时　由三种视图判断几何体及其相关计算

正面　上面　左面　长　宽　高　看得见　看不见

[典例1]D
[变式1]B
[典例2]48π+64
[变式2]解:(1)这个几何体是由圆柱和长方体组成的.
(2)几何体的体积=8×5×2+π(42)2×6=(80+24π)(cm3).
第五章　圆
1　圆

1.等于　圆　圆心　半径　2.半径
3.大于　等于　小于

[典例1]解:能.将小细绳的一个端点固定在黑板上,另一端绑一根粉笔.绳子拉直,绕着固定的端点旋转一周,粉笔画出的图形即为一个圆.
[变式1]解:点C1,C2,C3,…,Cn在同一个圆上.
理由如下:
取AB的中点D,分别连接C1D,C2D,C3D,…,CnD(图略),
则C1D,C2D,C3D,…,CnD分别表示对应直角三角形斜边上的中线.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知C1D=C2D=C3D=…=CnD=12AB.
∴点C1,C2,C3,…,Cn在以点D为圆心,12AB的长为半径的圆上,
即点C1,C2,C3,…,Cn在同一个圆上.
[典例2]内或上　解析:∵方程x2-4x+d=0有实数根,
∴Δ=b2-4ac=16-4d≥0,∴d≤4,∴d≤r.
∵当d 当d=r时,点P在☉O上,
∴点P在☉O内或点P在☉O上.
[变式2]D
2　圆的对称性

1.弧　弦　直径　等弧　半圆
2.圆心　圆心
3.(1)弧　弦
(2)圆心角　弧　弦
4.相等

[典例1]②③④⑤
[变式1]B
[典例2]C
[典例3]证明:∵AB=AC,
∴AB=AC.
又∵∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC.
∴∠AOB=∠BOC=∠COA.
[典例4]>
[典例5]B
[变式2]140°
*3　垂径定理

1.弦　弦　弦　两条弧
2.弦　直径　弦　弦　两条弧

[典例1]A　[变式1]3　
[典例2]B
[变式2]解:设上涨后的水面宽为MN=8 m,当MN与AB在圆心的同 侧时,
如图所示,过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,OC与MN交于点D,

∴AB=2BC.
在Rt△OBC中,
BC2+OC2=OB2,
∵OB=5 m,BC=3 m,
∴OC=OB2-BC2=52-32=4(m).
∵MN∥AB,∴OD⊥MN,
连接ON,
OD=ON2-DN2=52-42=3(m),
CD=4-3=1(m).
同理,当MN与AB在圆心的两侧时,
CD=3+4=7(m).
故水面上涨了1 m或7 m.
4　圆周角和圆心角的关系
第1课时　圆周角定理及其推论1,2

1.圆上　弦　2.一半
3.(1)一半　(2)同弧　等弧

[典例1]解:由题意,得∠AOB=60°,
则∠APB=12∠AOB=30°.
[变式1]C　[典例2]D
[典例3]C　[变式2]B
第2课时　圆周角定理的推论3

直径　90°

[典例1]B
[变式1](1)证明:∵∠D=∠1,∠1=∠BCD,
∴∠D=∠BCD,∴CB∥PD.
(2)解:如图所示,连接AC,∵AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,∴BD=BC,
∴∠BPD=∠CAB,
∴sin∠CAB=sin∠BPD=35,即BCAB=35.
∵BC=3,∴AB=5,
即☉O的直径是5.
[典例2]解:∵∠CAB=90°,
∴BC为☉O的直径,
∴∠BDC=90°.
在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,
∴AC=BC2-AB2=102-62=8.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∴CD=BD.
在Rt△BCD中,
BC=10,CD2+BD2=BC2,
∴BD=CD=52.
∴AC的长为8,BD,CD的长均为52.
[变式2]D
5　确定圆的条件
第1课时　确定圆的条件与三角形的外接圆

1.同一条直线
2.三个顶点　顶点　垂直平分线　外心　内接三角形

[典例1]解:如图所示,点O即为所求.

[变式]3
[典例2](1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠CBD.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABE.
∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.
∴∠DBE=∠BED.∴DE=DB.
(2)解:如图所示,连接CD.

∵∠BAC=90°,∴BC是直径,
∴∠BDC=90°.
∵AD平分∠BAC,BD=4,
∴CD=BD=4,
∴BC=BD2+CD2=42.
∴△ABC的外接圆的半径为22.
[典例3]解:①如图所示,当点O在三角形的内部时,

∠BAC=12∠BOC=35°;
②如图所示,当点O在三角形的外部时,
∠BA′C=12(360°-∠BOC)=12(360°-70°)=145°.
综上所述,∠BAC的度数为35°或145°.
第2课时　圆内接四边形的性质

1.顶点　2.互补　内对角

[典例1](1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,∠BAD=105°,
∴∠DCB=180°-105°=75°.
∵∠DBC=75°,
∴∠DBC=∠DCB,∴BD=CD.

(2)解:如图所示,连接OB,OC,
则OB=OC.
∵∠DBC=∠DCB=75°,
∴∠BDC=180°-75°-75°=30°.
由圆周角定理,得∠BOC=60°,
∴△BOC为等边三角形,∴BC=OB=3.
[变式1]60°
[典例2]证明:∵四边形ABDC是☉O的内接四边形,
∴∠BDE=∠BAC.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BDE=∠BAC=60°,AB=BC.
又∵DE=DB,∴△BDE是等边三角形,
∴BD=BE,∠EBD=∠ABC,
∴∠ABD=∠EBC,
∴△DBA≌△EBC,∴AD=CE.
[变式2](1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠CDA=∠ABE.
∵AD=BF,
∴∠DCA=∠BAE.
∴△ADC∽△EBA.
(2)解:∵点A是BDC的中点,
∴AB=AC.
∴AC=AB=8.
∵△ADC∽△EBA,
∴∠CAD=∠AEC,DCAB=ACAE,
即58=8AE,
解得AE=645.
∴tan∠CAD=tan∠AEC=ACAE=58.
6　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系

1.2　1　0　2.<　=　>

[典例]解:

如图所示,过点P作PC⊥OB,垂足为点C,则∠OCP=90°.
∵∠AOB=30°,
OP=24 cm,
∴PC=12OP=12 cm.
(1)当r=12 cm时,r=PC,
∴☉P与OB相切.
(2)当☉P与OB相离时,r ∴r需满足的条件是0 cm [变式1]解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,

在Rt△ABC中,
AB=AC2+BC2=5 cm.
∵12AB·CD=12AC·BC,
∴CD=AC·BCAB=3×45=2.4(cm),
即圆心C到直线AB的距离d=2.4 cm.
(1)当r=2 cm时,有d>r,
∴☉C与直线AB相离.
(2)当r=2.4 cm时,有d=r,
∴☉C与直线AB相切.
(3)当r=3 cm时,有d ∴☉C与直线AB相交.
[变式2]解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC=AB2-AC2=102-62=8(cm),
∵△ABC的面积=12AB·CD=12AC·BC,

∴AB·CD=AC·BC,
即10×CD=6×8,
解得CD=4.8 cm,
即圆心到直线AB的距离d=4.8 cm.
∵4.8 cm>2 cm,
∴半径为2 cm的圆与直线AB相离;
∵4.8 cm<6 cm,
∴半径为6 cm的圆与直线AB相交.
当半径为4.8 cm时,直线AB与☉C相切.
第2课时　切线的性质

(1)过切点　(2)一　(3)半径

[典例](1)证明:∵AB,CD是直径,
∴∠ADB=∠CBD=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中,AB=CD,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
(2)解:∵BE是切线,
∴AB⊥BE,∴∠ABE=90°.
∵∠DBE=37°,∴∠ABD=53°.
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ODA=90°-53°=37°,
∴∠ADC的度数为37°.
[变式1](1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠CBA=90°.
∵PB与☉O相切于点B,
∴∠PBA=90°,
∴∠CBP+∠CBA=90°,
∴∠BAC=∠CBP.
(2)证明:∵∠ABP=∠PCB=90°,
∠PAB=∠PBC,
∴△ABP∽△BCP,
∴PAPB=PBPC,∴PB2=PC·PA.
(3)解:∵AC=6,CP=3,∴PA=6+3=9.
∴PB2=PC·PA=3×9=27,
∴PB=33.
∴在Rt△APB中,
sin∠PAB=PBPA=339=33.
[变式2]D　解析:如图所示,作☉O的直径DK,连接CK,

则∠KDB=90°,∠KCD=90°,
∴∠CDB=90°-∠KDC=∠K.
又∵∠KCD=∠B=90°,
∴△KCD∽△DBC,
∴CDDK=BCCD,
∴CD163=3CD,
解得CD=4.
∴sin A=sin K=CDDK=34.故选D.
第3课时　切线的判定

1.外端　这条半径
2.(1)一　(2)两

[典例](1)解:如图所示,过点O作OF⊥BC于点F,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
∴AC=AB2+BC2=42+(42)2=43.
∵OF∥AB,∴△OFC∽△ABC,
∴OCAC=OFAB,∴343=OF4,∴OF=1.
在Rt△OFC中,CF2=OC2-OF2,
∴CF=3-1=2,
∴CE=2CF=22.
(2)证明:如图所示,连接OE,
∵CE=22,∴BE=BC-CE=22.
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,∴AE=26.
∵AO=AC-OC=43-3=33,
OE=OC=3,
∴AE2+OE2=AO2,∴∠AEO=90°,
即OE⊥AE.
又∵点E在☉O上,∴AE是☉O的切线.

[变式1]证明:如图所示,过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,

∵AB与☉O相切于点D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线,
∴OE=OD,
即OE是☉O的半径.
∵AC经过☉O半径OE的外端点且垂直于OE,
∴AC是☉O的切线.
[变式2](1)证明:∵AB=12,OA=13,OB=5,
∴OA2=OB2+AB2,
∴∠ABO=90°.
∵OB是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)解:如图所示,过点O作 OE⊥CD于点E.

∵CD∥OB,∴∠ECO=∠AOB,
∴cos∠ECO=cos∠AOB=513,
即CEOC=513.
∵OC=OB=5,∴CE=2513.
∴CD=2CE=5013.
第4课时　三角形的内切圆

相切　角平分线　内心

[典例]解:如图所示,过A作AD⊥BC,垂足为点D,设内切圆圆心为O,连接OA,OB,OC,
设BD=x,则CD=8-x,
由勾股定理,可知
AB2-BD2=AC2-DC2,
即25-x2=49-(8-x)2,
解得x=52,
∴AD=532,
∴S△ABC=12BC·AD=12×8×532=103.
设内切圆的半径为r,
由三角形的内切圆性质,可得
S△ABC=12r(AB+BC+AC)=103,
∴r=2035+7+8=3,
即内切圆的半径为3.

[变式1]C
[变式2]解:当x=0时,y=1;
当y=0时,x+1=0,解得x=-1.
∴A(0,1),B(-1,0).
∵点C和点B关于y轴对称,∴C(1,0).
∴OA=OB=OC=1,
∴BC=OB+OC=1+1=2.
∵∠AOB=∠AOC=90°,
∴AC=AB=OA2+OB2=2.
设△ABC内切圆的半径为r,
∵△ABC的面积为12×2×1=12r×(2+2+2),∴r=2-1,
∴△ABC内切圆的半径为2-1.
*7　切线长定理

1.切点　线段长
2.圆外　切线长

[典例1]解:(1)如图所示,连接OF,

根据切线长定理,得
BE=BF,CF=CG,
∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.
(2)由(1),知∠BOC=90°.
∵OB=6 cm,OC=8 cm,
∴由勾股定理,得BC=OB2+OC2=10 cm,
∴BE+CG=BC=10 cm.
(3)∵OF⊥BC,
∴S△OBC=12OF×BC=12OB×OC,
即12OF×10=12×6×8,∴OF=4.8 cm,
即☉O的半径为4.8 cm.
[典例2]解:结论都正确.选②证明.
证明:∵PA,PB是☉O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,PA=PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
在Rt△OAP与Rt△OBP中,
∵OA=OB,OP=OP,∴△OAP≌△OBP,
∴∠1=∠2,∴OP⊥AB.
[变式]48
8　正多边形和圆

1.n等份　n个分点
2.轴对称　n　偶数　对称轴
3.相等　相等
4.中心　中心　半径
5.中心　中心　半径　内切圆　外接圆
6.圆心角　中心角　360°n
7.等腰　等腰　直角

[典例1]解:如图所示,正八边形ABCDEFGH即为所求.

[典例2]解:易得b=2OG.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=12 mm.
∵OG⊥AB,
∴AG=BG=12AB=6 mm,
∴OG=122-62=63(mm),
∴b=2OG=123 mm,
即扳手的开口b应是123 mm.
9　弧长及扇形的面积

1.弧　弧　2.l=nπR180
3.(1)S扇形=n360πR2　(2)S扇形=12lR


[典例1]解:如图所示,连接OA,OC.∵AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠B=60°,∴∠AOC=120°,
∴AC的长为120π×2180=43π.
[典例2]解:如图所示,连接OC,
∵OA=OC,∠CAO=60°,

∴△AOC为等边三角形,∴∠AOC=60°,
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=140°-60°=80°,
∴BC的长为80π×4180=169π.
[典例3]解:∵AC⊥BD于点F,∠A=30°,
∴∠BOC=60°,∴∠OBF=30°,∠BOD=120°.
∵OF=3 cm,∴OB=23 cm,
∴S阴影=120π(23)2360=4π(cm2).
[变式]解:(1)当绳子长为4 m时,这只羊能吃到草的区域的最大面积
S=270π×42360+90π×(4-2)2360=13π(m2).
答:这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π m2.
(2)当绳子长为6 m时,这只羊能吃到草的区域的最大面积S=270π×62360+90π×(6-2)2360+90π×(6-5)2360=125π4(m2).
答:这只羊能吃到草的区域的最大面积是125π4m2.
10　圆锥的侧面积

1.顶点　任意一点　扇形　顶点　距离
2.(1)相等　(2)母线长　底面周长
3.πrl　S侧　S底　πr(l+r)

[典例]解:∵Rt△ABC的斜边AB=13 cm,一条直角边AC=5 cm,
∴另一条直角边BC=12 cm.
由图,可知以斜边AB为轴旋转一周得到一个由两个圆锥组成的几何体,
直角三角形的斜边上的高OC为
5×1213=6013(cm),
即这两个圆锥的底面半径都为6013 cm,
则这个几何体的表面积为
6013π×(5+12)=1 02013π(cm2).
[变式1]解:在Rt△AOD中,
∵AO=7-4=3(cm),OD=4 cm,
∴AD=42+32=5(cm),
∴所得到的几何体的表面积为
π×4×5+π×4×2×4+π×4×4=68π(cm2).
故它的表面积为68π cm2.
[变式2]解:(1)根据题意,得2πr=180πl180,
∴lr=2,即圆锥母线与底面半径的比值为2.
(2)∵l2=h2+r2,且l=2r,h=33,
∴4r2=27+r2,解得r=3,∴l=6.
∴S全=S侧+S底=πrl+πr2=18π+9π=27π(cm2),
即圆锥的全面积为27π cm2.
第六章　对概率的进一步认识
1　用树状图或表格求概率
第1课时　用树状图或表格求概率

1.表格　次数　方式　次数　方式
2.树状图　次数　方式　次数　方式

[典例]解:画树状图如图所示,由树状图,知共有12种等可能的结果,
其中恰为“天”“空”两字的结果有2种,
则恰为“天”“空”两字的概率为212=16.

[变式]解:根据题意列表如下所示,由表可知共有9种等可能的结果,其中小明获胜的结果有4种,
则小明获胜的概率是49.
第一次
第二次
4
6
7
4
8
10
11
6
10
12
13
7
11
13
14
第2课时　用树状图或表格求概率
——游戏的公平性

1.机会　概率　结果数
2.(1)概率　(2)分数

[典例]解:这个游戏对双方是不公平的,理由如下:
根据题意画表格如下所示:
A袋
B袋
4
5
6
1
3
4
5
2
2
3
4
3
1
2
3
由表格,可知一共有9种等可能的结果,B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数的结果有4种,
∴P(小华获胜)=49,P(小军获胜)=59.
∵49<59,∴游戏不公平.
[变式1]解:(1)所有可能出现的结果如表所示:
第一张
第二张
2
3
5
2
(2,2)
(2,3)
(2,5)
3
(3,2)
(3,3)
(3,5)
5
(5,2)
(5,3)
(5,5)
可以看出,总共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人抽取相同数字的结果有3种,
∴两人抽取相同数字的概率为39=13.
(2)不公平.理由:
从表格可以看出,两人抽取的数字和为2的倍数的结果有5种,两人抽取的数字和为5的倍数的结果有3种,故甲获胜的概率为59,乙获胜的概率为13.
∵59>13,∴甲获胜的概率大,游戏不公平.
[变式2]解:不公平.理由如下:
画树状图如图所示.

∴甲胜的概率为1824=34,
乙胜的概率为624=14.
∴这样的规则不公平.
公平的规则如下:
转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分界线上,那么重转一次,直到指针指向一个数字为止),用所指的两个数字求和,如果得到的和是偶数,那么甲胜;如果得到的和是奇数,那么乙胜.(答案不唯一)
理由:甲胜的概率为1224=12,
乙胜的概率为1224=12,
∴这样的规则公平.
第3课时　用树状图或表格求概率——转盘游戏

1.可能性　2.紫

[典例1]解:(1)画树状图如图所示,共有6种等可能的结果.

(2)共有6种等可能的结果,数字之积大于3的结果有2种,
∴游戏者获胜的概率为26=13.
[典例2]解:依题意列表如下所示:
第一个
转盘
第二个转盘
红
红
黄
蓝
红
(红,红)
(红,红)
(红,黄)
(红,蓝)
黄
(黄,红)
(黄,红)
(黄,黄)
(黄,蓝)
蓝
(蓝,红)
(蓝,红)
(蓝,黄)
(蓝,蓝)
共有12种等可能的结果,其中能配成紫色的有3种,
∴P(小英胜)=312=14,P(小丽胜)=912=34.
∵14<34,∴这个游戏对双方是不公平的.
[变式]解:答案不唯一,如图①所示,A,B是两个可以自由转动的转盘,每个转盘都被分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么可以配成紫色.

①
画树状图如图②所示,

②
所有可能的结果为(红,红),(红,蓝),(红,黄),(红,红),(红,蓝),(红,黄),(蓝,红),(蓝,蓝),(蓝,黄),共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的结果有3种,∴P(配成紫色)=39=13,
即配成紫色的概率是13.
2　生活中的概率

1.列表法　画树状图法
2.不发生　发生

[典例]解:小亮说得有道理.理由:
按抽签先后顺序画树状图如图所示,

可以看出共有6种等可能的结果,第一个人、第二个人与第三个人抽签抽到1的概率均为13,故三个人获胜的概率相同,赢的概率与抽签顺序无关.
[变式1]D
[变式2]解:这个游戏规则公平,理由如下:
依题意列表如下所示:
小明
小亮
石头
剪刀
布
石头
(石头,石头)
(剪刀,石头)
(布,石头)
剪刀
(石头,剪刀)
(剪刀,剪刀)
(布,剪刀)
布
(石头,布)
(剪刀,布)
(布,布)
所有等可能的结果有9种,其中小颖获胜的结果有3种,小明获胜的结果有3种,小亮获胜的结果有3种,
∴小颖获胜的概率为39=13,小明获胜的概率为39=13,小亮获胜的概率为39=13,
∴小颖获胜的概率=小明获胜的概率=小亮获胜的概率,∴这个游戏规则公平.
*3　用频率估计概率
第1课时　用频率估计概率

1.次数　试验次数　2.常数　3.频率　概率

[典例]解:(1)观察题中表格数据,估计这种幼树的移植成活率约是0.9.
(2)4×0.9=3.6(万棵),
∴这种幼树大约能成活3.6万棵.
(3)9÷0.9=10(万棵),10-4=6(万棵),
∴还需要移植这种幼树6万棵.
[变式]解:(1)0.75　0.25
(2)由(1),知箱子中白球的个数约为4×0.75=3(个),
红球的个数约为4-3=1(个),
列表如下所示:
第一个
第二个
白
白
白
红
白
—
(白,白)
(白,白)
(红,白)
白
(白,白)
—
(白,白)
(红,白)
白
(白,白)
(白,白)
—
(红,白)
红
(白,红)
(白,红)
(白,红)
—
由表知共有12种等可能的结果,
其中摸出一个红球和一个白球的结果有6种.
∴摸出一个红球和一个白球的概率为612=12.
第2课时　设计模拟试验估计概率

1.试验条件　误差　太多　破坏性　模拟试验
2.(1)替代物　(2)计算器


[典例]解:(1)如图所示,可把一个转盘等分成12个扇形,并分别标上12种不同的生肖.
(2)转动一次转盘,记下它停止后指针所指的生肖,这样连续转动6次,并记录结果,此为一次试验.重复多次试验,即可估计6人中2人生肖相同的概率.
[变式1]解:(1)画树状图如图所示,

由图可知恰好选中甲、乙两位同学的概率是212=16.
(2)有红、黑、白、黄各一个球,从中摸出一个,接着又摸出一个,两次摸到的球是一个红球和一个黑球.
[变式2]解:小英设计的模拟试验比较合理.
小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀,不能进行模拟试验.
小东试验次数太少,没有进行大量重复试验,不能用频率估计概率.