2020-2021学年4 圆周角和圆心角的关系习题

5.4 圆周角和圆心角的关系

一．选择题

1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°

2．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠CAB的度数为（　　）

A．63° B．45° C．30° D．27°

3．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，弧AB的度数为（　　）

A．80° B．40° C．20° D．60°

4．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

5．如图，AB是⊙O的直径，A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝110°，则∠D的度数为（　　）

A．25° B．35° C．55° D．70°

6．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上的一点，∠AOP＝45°，则∠BOP的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．75°

7．如图，在⊙O中，弦AB所对的圆周角∠C＝45°，AB＝，BC＝1，则∠A度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．60°

8．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（　　）

A． B．2 C． D．

9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．65° C．115° D．130°

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°

11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）

A．36° B．54° C．62° D．72°

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（　　）

A．15° B．30° C．60° D．120°

二．填空题

13．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　   　．

14．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为　   　．

15．如图，弦AB与CD交于点E，AE＝3，BE＝2，DE＝，则CE＝　   　．

16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数是　   　．

17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是　   　度．

三．解答题

18．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．

（1）试说明：△PAC∽△PDB；

（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．

19．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．

（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；

（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．

20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AE垂直，且交AE的延长线与点D，连接AC．

（1）求证：CE＝CB；

（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．

21．已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．

（1）求证：AC＝AB；

（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．

22．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）求证：OE＝AC．

参考答案

一．选择题

1．解：∵对的圆心角为∠BOC，对的圆周角为∠BAC，∠BAC＝50°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，

故选：A．

2．解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∵∠CAD＝∠COD＝×126°＝63°，

∴∠CAB＝∠BAD﹣∠CAD＝90°﹣63°＝27°．

故选：D．

3．解：∵∠ACB＝40°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，

∴弧AB的度数为80°，

故选：A．

4．解：连接OC，如图，

∵CD＝OD＝OC，

∴△ODC为等边三角形，

∴∠DOC＝60°，

∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+60°＝100°，

∴∠B＝∠AOC＝50°．

故选：C．

5．解：∵∠AOC＝110°，

∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°，

∴∠D＝∠BOC＝35°，

故选：B．

6．解：∵对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，

∴∠AOB＝2∠ACB，

∵∠ACB＝50°，

∴∠AOB＝100°，

∵∠AOP＝45°，

∴∠BOP＝∠AOB﹣∠AOP＝55°，

故选：C．

7．解：连接OA、OB、OC，如图所示：

∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴OB＝OA＝AB＝1，

∴OC＝OB＝1，

∵BC＝1，

∴OB＝OC＝BC，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴∠BAC＝∠BOC＝30°，

故选：A．

8．解：连接OD交AC于H，如图，

∵点D是的中点，

∴OD⊥AC，AH＝CH＝2，

∴PH＝1，

∵AP•PC＝BP•PD，

∴PD＝＝，

在Rt△PDH中，DH＝＝，

在Rt△DCH中，CD＝＝．

故选：A．

9．解：∵＝，

∴∠C＝∠DOB＝×130°＝65°，

∵∠A+∠C＝180°，

∴∠A＝180°﹣65°＝115°，

故选：C．

10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C＝180°，∠A＝110°，

∴∠C＝180°﹣110°＝70°．

故选：A．

11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠D＝180°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°．

故选：D．

12．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，

∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，

故选：D．

二．填空题

13．解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，

∴5×4＝3×DP，

解得，DP＝，

故答案为：．

14．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，

∴AE＝1，EB＝3，

由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，

∴1×3＝CE×（CE+2），

解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），

则CE＝1，DE＝2，

∴CD＝1+3＝4，

故答案为：4．

15．解：由相交弦定理得，AE•BE＝DE•CE，

∴3×2＝×CE，

解得，CE＝4，

故答案为：4．

16．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝100°，

故答案为：100°．

17．解：∵＝，

∴∠ABC＝∠BDC＝50°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，

故答案为：130．

三．解答题

18．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，

∴△PAC∽△PDB；

（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），

解得，PC＝2或6，

则PD＝6或2，

∵PC＞PD，

∴PC＝6，PD＝2．

19．解：（1）∵OD⊥AB，

∴＝，

∴∠BOD＝∠AOD＝60°，

∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；

（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，

∵OD⊥AB，

∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，

在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，

解得：r＝5，

即⊙O的半径长为5．

20．（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1＝∠3．

又∵OA＝OC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴CE＝CB；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝2，CB＝CE＝，

∴，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

即，

∴AD＝4，DC＝2，

在Rt△DCE中，DE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3．

21．（1）证明：连接AE，如图，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵BE＝CE，

∴AE垂直平分BC，

∴AC＝AB；

（2）解：∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，

∴△CDE∽△CBA，

∴CD：BC＝CE：CA，即CD：4＝2：（CD+6），

∴CD＝4，

∴AC＝AD+AC＝6+4＝10，

∴AB＝10，

∴⊙O半径为5．

22．证明：（1）∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵AO＝DO，

∴∠BAD＝∠ADO，

∴∠CAD＝∠ADO，

∴AC∥OD；

（2）过O作OF⊥AC于F

∵DE⊥AB，OF⊥AC，

∴∠AFO＝∠DEO＝90°，

∵AC∥OD，

∴∠FOD＝∠AFO＝90°，

∴∠FAO+∠FOA＝90°，∠FOA+∠EOD＝90°，

∴∠FAO＝∠EOD，

在△AFO和△OED中，

，

∴△AFO≌△OED（AAS），

∴AF＝OE，

∵OF⊥AC，OF过O，

∴AF＝CF＝AC，

∴OE＝AC．