2022常州金坛区高一上学期期中数学试题含解析

金坛区2021年秋学期期中教学质量调研

高一数学试题

注意事项：

1.本试题由选择题､填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请务必将自己的校名､班级､姓名､学号填写在答题纸上规定的地方.

3.所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位烈无效.

一､单项选择题（本题共8小题，每题5分共40分，每题四个选项中，只有一项是正确的）

1. 设全集.集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：D.

2. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.

【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.

故选：B.

3. 若、都是正实数，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为、都是正实数，若，取，，则，即“”“”；

若，由基本不等式可得，即“”“”.

因此，“”是“” 必要不充分条件.

故选：B.

4. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】利用根式的性质可求的值.

【详解】,

故选：C.

5. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合图象可知，分段函数为减函数，则两段函数都递减，且第一段的右端点不在第二段左端点的下方，然后可得.

【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.

故选：A

6. 若，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.

【详解】由题设，，即，

又，且，

所以.

故选：A.

7. 已知集合，若则实数的取值集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】由知，然后对讨论可得.

【详解】当时，集合B为空集，显然满足题意，故排除A、B；

当时，集合，集合，则有，或，即或.

故选：C

8. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式可得出的范围，由已知可得，取交集可得的取值集合，分析可知为的取值集合的子集，即可得解.

【详解】由可得，因为，则，解得或，

若“，”为假命题，则，

因为或，

由题意可知，.

故选：D.

二､多项选择题（本题共4小恩，每题5分共20分，每题四个选项中，有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知集合，则下列说法中正确的是（    ）

A. 但

B. 若，其中，则

C. 若，其中，则

D. 若，其中，则

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.

【详解】，故，，所以，A错误；

，其中，，故，B正确；

，其中，，故，C正确；

因为，若，此时无意义，故，D错误.

故选：BC

10. 设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.

【详解】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件；

B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件；

C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件；

D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件．

故选：BD.

11. 在下列命题中不正确的是（    ）

A. 当时，则

B. 当时，则

C. 当时，函数的最小值是3

D. 若，则，当且仅当时，等号成立

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式或反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，由基本不等式有，但，故等号不可取，故，

故A正确.

对于B，取，则，此时不成立，故B不正确.

对于C，，

因为，故，故等号不可取，故的最小值不是3，故C错误.

对于D，，故，

当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：BC.

12. 已知函数（其中）.则以下命题正确的是（    ）

A. 若函数的值域为，则

B. 若函数有唯一零点，则

C. 若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是

D. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为3

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简函数，结合二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数，

若函数的值域为，可得，解得，所以A正确；

若函数有唯一零点，可得，所以，所以B正确；

由函数，可得函数在单调递增，

要使得函数在区间上有且仅有一个零点，则满足，可得，

即实数取值范围是，所以C不正确；

由不等式恒成立，即不等式恒成立，

因为，所以的最大值为，

所以，所以的最小值为3，所以D正确.

故选：ABD.

三､填空题（本大题共4小题，每小还5分，共20分）

13. 若，则称的数量级为，已知宇宙中某星球的质量为，且满足，则的数量级为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用对数式与指数式的互化可得出，即可得出的数量级.

【详解】因为，，

，故的数量级为.

故答案为：.

14. 若，且，则的值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据等量关系得到，进而利用对数运算法则进行计算.

详解】由题意得：，即，即，，则

故答案为：2

15. 若实数满足，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件，应用基本不等式可得，即可求目标式的范围，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，

所以，可得.

故答案为：

16. 已知不等式的解集为，则实数的值为_______，函数的所有零点之和等于__________.

【答案】    ①. ；    ②. .

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b，再由根系关系求所有零点之和.

【详解】由题设，易知：是的两个根，则，

所以，

对于，其所有零点之和为.

故答案为：，.

四､解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数的运算法则，准确运算，即可求解；

（2）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.

【小问1详解】

解：根据对数的运算法则，可得

.

【小问2详解】

解：根据指数幂的运算公式，可得

.

18. 已知，且 ，，且或.

（1）若，，求实数的值；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据集合的运算可得出关于实数的等式组，由此可解得实数的值；

（2）由题意可知，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为，或，且，，

所以， ，解得.

【小问2详解】

解：因为是的充分不必要条件，则，则或，解得或.

19. 求解下列问题：

（1）若，且，求的最小值；

（2）若，且，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.

（2）因为，故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.

小问1详解】

因为，且，所以，

则.

当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，

故当时.

【小问2详解】

因为，且，

所以，

当且仅当时，

又，

所以当且仅当时，上式取等号，

故当时，，

20. 已知函数.

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；

（3）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由偶函数性质可得都有成立，即可得的值；

（2）（3）根据二次函数的性质，结合给定区间的单调性求参数范围即可.

【小问1详解】

因为定义在上的函数为偶函数

所以对，都有成立，即对，都有成立，

整理可得：都有成立，则，即所求实数的值为，

【小问2详解】

因为函数的对称轴为，

①当时，即时，此时，二次函数在上递减

②当时，即时，此时，二次函数在上递增，

由①②知：要使函数在上具有单调性，则的取值范围为.

【小问3详解】

因为函数在上不具有单调性，则必有，解得,

所以要使函数在上不具有单调性，则的取值范围为.

21. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的㳖度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？

（2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放约剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.

【答案】（1）21天    （2）

【解析】

【分析】小问1：当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可；

小问2：分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可．

【小问1详解】

当时，，

①当时，恒成立，

即当时，自来水达到有效净化的标准；

②当时，由，解得

即当时，自来水达到有放净化的标准.

由①②可知当时，自来水均能达到有效㓍化的标准

也即自来水达到有效净化一共可持续21天，

【小问2详解】

因为从投放药齐第1天算起到第9天结束，

所以

③当时，，设，

则

，即

则函数在区间上为增函数，

故，即，

④当时，，设

则

，即

则函数在区间上为淢函数，

故，即；

由③④得

又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳浄化标准，

所以必有.解得

即应该投放的药剂质量的取值范围为

22. 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.

（1）求及的值；

（2）求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；

（3）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，结合可求得的值；

（2）在等式中令可证得函数为奇函数，然后任取、，并且，根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数；

（3）利用（2）中的结论将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为对任意的实数、，恒成立，

所以在上式中令得，即，

又在上式中令，得.

又，.

【小问2详解】

证明：在等式中令得.

即，且定义域为，则函数为奇函数.

又由已知可得：当时，，

任取、，并且，则，即，

所以，即，

则函数在区间上为增函数.

【小问3详解】

解：因为对任意的实数、，恒成立，

令，则，即，

又因为，所以，

又由（2）知函数为上的奇函数，则，

即，

又因为，所以，

又由（1）知，即，

则，也即，

又由（2）知函数为上的增函数，

所以，即，解得或，

故所求实数的取值范围为.