【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第05课时-正多边形与圆、扇形的弧长与面积-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

第五课时——一正多边形与圆、扇形的弧长与面积

知识点一：正多边形与圆：

1. 正多边形的概念：

       各条边        ，各个角也        的多边形叫做正多边。

2. 圆的内接正多边形的概念：

   把一个圆        分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各        所得的多边

形是这个圆的               ，这个圆叫做这个正多边形的          。

3. 正多边形的有关概念

（1）中心：正多边形的          的圆心叫做正多边形的中心。

即O既是圆心也是正多边形的中心。

（2）正多边形的半径：          的半径叫做正多边形的半径。

即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。

（3）中心角：正多边形每一边所对的           叫做正多边形

的中心角。正多边形的中心角度数为          。

即∠BOC是正多边形的一个中心角。

（4）边心距：        到正多边形的       的距离叫做正多边形的边心距。

即过O做边BC的垂线即为边心距。

【概念理解】

1．下列说法正确的是（　　）

A．各边相等的多边形是正多边形 

B．各角相等的多边形是正多边形 

C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 

D．各角相等的圆内接多边形是正多边形

【与角有关的计算】

2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAE的度数是（　　）

     第2题                                            第3题

A．36° B．26° C．30° D．45°

3．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　）

A．60° B．36° C．76° D．72°

4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 　    　．

      第4题                                             第5题

5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）

A．18° B．30° C．36° D．40°

【与长度有关的计算】

6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　    　．

    第6题                                        第7题

7．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．4cm

8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）

      第8题                                             第9题

A．3 B．9 C．18 D．36

9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为　    　．

10．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（　　）

       第10题                                       第11题

A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）

11．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）

A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米

知识点一：扇形的弧长：

1. 扇形弧长的定义：

  扇形的弧长就是扇形两条  半径  间  圆弧  的长度。

2. 扇形弧长的计算公式：

  在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为    。

  特别说明：在计算过程中180和n均不带度数。

【计算弧长】

12．已知扇形的圆心角为30°，半径为6cm，则扇形的弧长是 　   　cm．

13．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（　　）

A．π cm B．2πcm C．3πcm D．6πcm

14．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在AB⌒上，则BD⌒的长是（　　）

       第14题                             第15题                        第16题

A． B． C． D．

15．如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为　   　．

16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和EF⌒上，且点A是线段OB的中点，则EF⌒的长为（　　）

A． B． C． D．

知识点一：扇形的面积：

1. 扇形的面积公式的计算：

（1）方法一：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为：    。

 特别说明：在计算过程中n与360均不带度数单位。

（2）方法二：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：    。

 特别说明：在计算扇形的面积时，若对精确度没有要求，结果均用π表示。

【求扇形面积】

17．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 　    　cm2．

18．如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为 　   　．

    第18题                     第19题                           第20题

19．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积是        ．

20．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A、⊙B、⊙C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分面积之和等于（　　）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

【扇形面积公式的应用】

21．已知一个扇形的半径为6，面积为10π，该扇形的圆心角是　   　°．

22．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为　   　cm．

23．扇形的面积为6π，半径为4，扇形的弧长l＝　   　．

24．若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（　　）

A．3 B．9 C．2 D．3

【求阴影部分的面积】

25．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．1

26．如图，在边长为的正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长为半径画弧，分别与正方形的边和对角线相交，则图中阴影部分的面积为　    　（结果保留π）．

     第26题                                             第27题

27．如图，以A为圆心、AB为半径作扇形ABC，线段AC恰好与以AB为直径的半圆弧相交于弧的中点D，若AB＝2，则阴影部分图形的面积是 　           　（结果保留π）．

28．如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则CD⌒的长为 　   ．

       第28题                                          第29题

29．在平行四边形ABCD中，P为AD上一点，AP＝4，AB＝4，∠D＝60°，以A为圆心，AP为半径画弧，与BC交于点E，并刚好经过B点，则阴影部分面积为　         　．（结果保留π）

30．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为　       　．

一．选择题（共10小题）

1．在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为（　　）

A．36° B．72° C．144° D．36°或144°

2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（　　）

A．π B．π C．π D．3π

3．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（　　）

A．48π B．24π C．4π D．2π

4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC⌒上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　）

    第4题                                           第5题

A．45° B．36° C．35° D．30°

5．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）

A． B．3 C．6 D．12

6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（　　）

   第6题                                              第7题

A．108° B．118° C．144° D．120°

7．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9

8．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且BC⌒＝2AB⌒．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了66π，则此时与地面相切的弧为（　　）

     第8题                         第9题                           第10题

A．AB⌒ B．BC⌒ C．CD⌒ D．DA⌒

9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．8π B．π C．2π D．48π

10．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　）

A．10cm B．4πcm C．cm D．cm

二．填空题（共6小题）

11．正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是　       　．

12．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为　    　．

13．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为　         　．

14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若CD⌒与AB⌒所在圆的圆心都为点O，则CD⌒与AB⌒的长度之比为　     　．

     第14题                      第15题                            第16题

15．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为　           　（结果保留π）．

16．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　       　．

三．解答题（共4小题）

17．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．

18．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB⌒＝AE⌒，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）证明：FA＝FB；

（2）若BD＝DO＝2，求EC⌒的长度．

19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．

（1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

20．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DE⌒的中点，连接BC，BE．

（1）求证：AE＝BC；

（2）若AE＝2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．