【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第二十一章-一元二次方程-单元过关检测01-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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2022—2023学年九年级上学期第一单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝0 B．x2﹣5x＝2020
C．3x3+6x＝1 D．﹣5x﹣2021＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A．x+2＝0，是一元一次方程，故选项不合题意；
B．x2﹣5x＝2020，符合一元二次方程的定义，选项符合题意；
C．3x3+6x＝1，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不合题意．
D．﹣5x﹣2021＝0，不是整式方程，故选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+11＝0，
∴x2﹣10x＝﹣11，
则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，
故选：A．
3．（4分）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．（4分）一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣16x+55＝0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（　　）
A．11 B．27 C．5或11 D．21或27
【分析】可先解出x的值，然后根据等腰可知三角形三边为5，5，11或11，11，5，然后看两组数是否符合三角形的性质，最后解出周长的值．
【解答】解：x2﹣16x+55＝0，
解得：x1＝11，x2＝5，
如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意；
如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27．
故选：B．
5．（4分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（　　）
A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345，
故选：A．
6．（4分）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
【分析】设a2+b2＝m，则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，解出m的值即可确定a2+b2的值．
【解答】解：设a2+b2＝m，
则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，
解得m＝﹣4（不符合题意，舍去）或m＝12，
∴a2+b2＝12，
故选：A．
7．（4分）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　）
A．2008 B．8002 C．2009 D．2020
【分析】根据m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根据根与系数的关系进一步计算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，
∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，
∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，
∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，
∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）
＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝﹣7+2016﹣1
＝2008，
故选：A．
8．（4分）如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（38﹣x）＝540
B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540
C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540
【分析】由小路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，再利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小路宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．
故选：A．
9．（4分）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．2
【分析】利用根与系数的关系求得ab＝3，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，
∴a+b＝﹣5＜0，ab＝3＞0．
∴a、b同为负数．
∴
＝﹣﹣
＝﹣2
＝﹣2．
故选：A．
10．（4分）不论x、y取何有理数，x2+y2﹣10x+8y+41的值均为（　　）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．
【解答】解：x2+y2﹣10x+8y+41
＝x2﹣10x+25+y2+8y+16
＝（x﹣5）2+（y+4）2，
∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，
∴（x﹣5）2+（y+4）2≥0．
故选：D．
11．（4分）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
12．（4分）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（　　）
A．﹣1 B．+1 C． D．﹣1
【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝＝﹣1，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　．
【分析】根据一元二次方程定义可得：m2+1＝2且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m≠﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（4分）若|b﹣1|+|a﹣4|＝0，且关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0（k≠0）有实数根，则k的取值范围是 　．
【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
【解答】解：∵|b﹣1|+|a﹣4|＝0，
∴b＝1，a＝4，
∴原方程为kx2+4x+1＝0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
15．（4分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　 　．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
16．（4分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 　 　．

【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG＝m，则GC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DG＝m，则GC＝1﹣m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，
根据勾股定理得AF＝．
∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝，
∴取正值为x＝．
∴这条线段是线段DG．
故答案为：DG．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣25＝0． （2）2x2﹣7x﹣2＝0（公式法）．
（3）（x+2）2＝3（x+2）． （4）x2+8x﹣9＝0（配方法）．
【分析】（1）根据方程特点，应采用直接开平方法解答即可．
（2）根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得即可．
（3）可以先移项，然后利用提取公因式法将方程的左边分解因式，利用因式分解法解答即可．
（4）利用配方法解答即可．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
移项得，（2x+3）2＝25，
∴2x+3＝5或2x+3＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣4；
（2）2x2﹣7x﹣2＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（3）（x+2）2＝3（x+2），
移项得，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
因式分解得，（x+2）（x+2﹣3）＝0，
∴x+2＝0或x+2﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（4）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
∴x+4＝5或x+4＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣9．
18．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
19．（10分）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）显然k≠0，用一元二次方程根的判别式Δ＞0，即可求出实数k的取值范围；
（2）存在．我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，即若ax2+bx+c＝0的两根为x1.x2，则cx2+bx+a＝0的两根为，．，与kx2﹣（k﹣2）x+k＝0的根互为倒数关系，根据题意，﹣＝12，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0，Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4k•＝k2﹣4k+4﹣k2＞0，
∴k＜1且k≠0，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0；
（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，即若ax2+bx+c＝0的两根为x1.x2，则cx2+bx+a＝0的两根为，，
∵方程的两个实数根的倒数和等于12，
∴关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x+k＝0，
根据题意有，﹣＝12，
∴，
∴k＝﹣1，显然k＜1且k≠0，
∴存在实数k，k＝﹣1．
20．（10分）某新建公园需要绿化的面积为24000m2，施工队在绿化了12000m2后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程．
（1）求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？
（2）如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为468m2，那么小道的宽应为多少米？

【分析】（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合结果提前5天完成了该项目的绿化工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，根据种植花草的面积为468m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方米，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
答：该公园绿化工程原计划每天完成400平方米．
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，
依题意得：（30﹣2y）（20﹣y）＝468，
整理得：y2﹣35y+66＝0，
解得：y1＝2，y2＝33（不符合题意，舍去）．
答：小道的宽应为2米．
21．（12分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　 　件，每天共盈利 　 　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用学过的Δ判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出k的值？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，
当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝k，
整理得到：2x2﹣70x+k﹣1500＝0．
则Δ＝b2﹣4ac＝4900﹣4×2（k﹣1500）＝16900﹣8k≥0，
解得k≤2112.5．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
22．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）（2分）通过计算，判断下面的方程是否为“邻根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【分析】（1）①解一元二次方程，由两根之差不为1，即可得出一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②解一元二次方程，由两根之差为1，即可得出一元二次方程2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，
即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵3﹣（﹣2）＝5≠1，
∴一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②方程2x2﹣2x+1＝0的两个根是x1＝，x2＝，
即x1＝，x2＝，
∵﹣＝1，
∴一元二次方程2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
即（x+1）（x﹣m）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝m．
∵关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴﹣1﹣m＝1或m﹣（﹣1）＝1，
∴m＝﹣2或m＝0，
∴m的值为﹣2或0．
23．（12分）阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求x y的值；
（3）已知Rt△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据m2+n2﹣4m+4＝0，，应用因式分解的方法，判断出（m﹣2）2+n2＝0，应用非负数的性质便可求得结果；
（2）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求解便可；
（3）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求得a、b的值，最后分两种情况求得三角形的周长．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
当∠C＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+5＝12，
当∠B＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+＝7+，
综上，△ABC的周长为12或7+．

24．（14分）如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如mx2+2t x+n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）填空：①当m＝2，n＝4时，t＝　 　；
②用含m、n的代数式表示t2＝　 　；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+n＝0必有实数根．

【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出AO、DO的长，再利用勾股定理可得AD，从而得出答案；
（2）此方程的判别式Δ＝（2t）2﹣2mn＝4t2﹣2mn，结合t2＝m2+n2可得答案．
【解答】（1）解：①菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，
当m＝2，n＝4时，则AO＝2，DO＝1，
则AD＝＝＝，即t＝，
故答案为：；
②由题意知AO＝AC＝m，DO＝BD＝n，
则AD＝＝＝，
∴t2＝m2+n2，
故答案为：m2+n2；
（2）证明：mx2+2tx+n＝0，
这里，a＝m，b＝2t，c＝n，
∴Δ＝（2t）2﹣4m•n＝4t2﹣2mn，
∵t2＝m2+n2，
∴Δ＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2≥0，
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+n＝0必有实数根．