2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+专题训练）

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专题01 集合与常用逻辑用语







知识点1 集合的概念与特征
1、集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性、互异性、无序性.
2、集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3、元素和集合的关系：属于（）和不属于（）.
4、常见数集及其记法：
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法

或



5、集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
（2）描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
知识点2 集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，
则称集合是集合的子集，记作.

2、真子集：如果集合，但存在元素，且，则称集合是集合的真子集.
记作：集合(或).

3、空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作：.并规定：空集是任何集合的子集.
4、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
知识点3 集合的基本运算
1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.
记作：，即.
2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：，即.
3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
知识点4 充分条件与必要条件
1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题；
2、充分条件、必要条件与充要条件
（1）如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出，
记作，并且说是的充分条件，是的必要条件；
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件；
（3）如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作
（4）此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件．如果，那么与互为充要条件.
3、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，记为.
（2）存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，记为.
2、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题：，它的否定：
（2）存在量词命题：，它的否定：
3、常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个



考点1 集合中元素的特性

【例1】（2022·全国·高一课时练习）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，
能构成集合.
对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程，，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B


【变式1-1】（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【解析】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合，故选：A


【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，
所以有5个元素．故选：C


【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在集合中，的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】首先确定不可以取的值，由可得或，
由可得，
当可得，
所以的值不能取-1，，，3，
当时有可以取，故选：A


考点2 元素与集合的关系

【例2】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）给出下列关系：① ② ③ ④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，，故②④正确，①③错误.故选：B.


【变式2-1】（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；
－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.故选：B.


【变式2-2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，则与集合的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以，故选：A


【变式2-3】（2021·湖北黄石·高一阶段练习）集合，，，若，，则一定有（ ）．
A． B．
C． D．不属于P，Q，M中任意一个
【答案】B
【解析】若，，则，，，，
所以，，所以．故选：B.

考点3 根据元素与集合的关系求参数

【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．故选：D．


【变式3-1】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【答案】B
【解析】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．故选：B．


【变式3-2】（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．或
【答案】C
【解析】∵，
∴或，
∴或，
经检验得.故选：C.


【变式3-3】（2022·上海·复旦附中高一开学考试）若，则实数______．
【答案】
【解析】当x＝-2时，，与互异性矛盾.
当时，解得x＝-1或x＝-2（舍去）．
当x＝-1时符合题意，
故答案为：.


【变式3-4】（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）己知集合，若，则实数a的值为____________．
【答案】
【解析】由集合中元素的互异性得，故，则，
又，所以，解得．
故答案为：


【变式3-5】（2022·全国·高一课时练习）若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ， .
故答案为： .

考点4 根据集合中元素的个数求参数

【例4】（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，可得.故选：D


【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）如果集合中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当m=0时，显然满足集合有且只有一个元素，
当m≠0时，由集合有且只有一个元素，
可得判别式，解得，
∴实数m的值为0或2，即实数m的所有可能值的和为2.故选：B．


【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知集合A中含有两个元素和，若，则实数______．
【答案】或
【解析】因为，所以或，解得或
故答案为：或


【变式4-3】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）若集合为单元集，则实数的取值集合为_________.
【答案】
【解析】由题可知关于x的方程只有一个解，
方程变形为，
当a=±2时，方程均仅有一个解，满足题意；
当a≠±2时，方程化为，
由得；
综上，实数a的取值集合为．
故答案为：．


【变式4-4】（2022·全国·高一课时练习）若集合不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为集合不含有任何元素，
所以方程无实根，
当时，方程为，可得符合题意；
当时，方程无实根，则，解得，
综上所述，.
故答案为：.

考点5 集合的表示方法

【例5】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：，故选：B


【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）集合是（ ）
A．第一象限的点集 B．第二象限的点集
C．第三象限的点集 D．第四象限的点集
【答案】C
【解析】由，
故集合是第三象限的点集．故选：C.


【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，
即方程组构成的集合为.故选：D．


【变式5-3】（2022·全国·高一课时练习）集合用列举法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，，
因为，所以.故选：C


【变式5-4】（2022·全国·高一专题练习）集合用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，可得，
因为，所以，集合，故选：B.


【变式5-5】（2022·全国·高一课时练习）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为，
所以中含6个元素．故选：C.
考点6 子集（真子集）的个数问题
【例6】（2022·全国·高一学业考试）集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.


【变式6-1】（2022·北京·101中学高一阶段练习）已知集合满足，则满足要求的的个数是______．
【答案】7
【解析】因为，
于是得，且集合M中至少包含集合中的元一个素，
因此，集合的个数就是集合的非空子集个数，
而集合的非空子集个数为，
所以集合的个数为7.
故答案为：7.


【变式6-2】（2022·四川雅安·高一期末）若集合，则满足的集合的个数是___________.
【答案】4
【解析】因为集合，，
因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，
所以或或或
故满足的集合的个数为，
故答案为：．


【变式6-3】（2022·全国·高一专题练习）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【解析】由题意，
因此其真子集个数为．故选：D．


【变式6-4】（2022·江苏·高一单元测试）设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由得，即方程组有2组解，
故有2个元素，故其子集的个数是．故选：C．


【变式6-5】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知，，则的非空子集的个数为（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根据题意可得，则非空子集有个．故选：B．


【变式6-6】（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）满足条件的所有集合的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】因为，所以，且，
所以满足条件的可能为：，
故满足条件的集合的个数是8个，故选：D.
考点7 根据元素与集合的关系求参数
【例7】（2022·河南·邓州春雨国文学校高一阶段练习）设集合，集合，若集合是集合的真子集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，集合，且Ü，
所以；故选：A


【变式7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，故，解得，故选：D


【变式7-2】（2022·全国·高一专题练习）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，所以，
所以实数m的取值集合为.故选：C


【变式7-3】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________.
【答案】或3##3或-2
【解析】，∴或，
解得或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：或3.


【变式7-4】（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.


【变式7-5】（2022·全国·高一专题练习）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.
【答案】
【解析】由题意，集合，
因为，若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
所求实数的取值范围为.

考点8 集合的交并补综合运算

【例8】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】故选：D


【变式8-1】（2022·河南·邓州春雨国文学校高一阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
又，，
所以，所以；故选：C


【变式8-1】（2022·四川泸州·高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以；故选：C


【变式8-2】（2022·河南信阳·高一期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
∴.故选：D.


【变式8-3】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设集合，，．求：
（1）；；（2）；；（3）．
【答案】（1）；（2）或；
（3）或
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）∵，，，
∴，或；
（3）∵，，，
∴或，或，
∴或．
考点9 根据集合的运算结果求参数
【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，
所以当时，，要使，则，即．故选：A．


【变式9-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
当时，的解集为，此时，显然有.
当时，的解集为，由得，所以 .
当时，的解集为，显然有.
综上所述.故选：D.


【变式9-2】（多选）（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）设，．若，则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】ACD
【解析】由得：,
当时，,符合题意；
当时，，若，则；若，则；
由于B中至多有一个元素，故,
所以实数的值可以为，故选：ACD


【变式9-3】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
故答案为：.


【变式9-4】（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知集合，集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，，求实数a的值．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．

考点10 集合在实际问题中的应用

【例10】（多选）（2022·全国·高一单元测试）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
【答案】ACD
【解析】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则，解得，故A正确；
仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；
仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；
同时参加两项比赛的人数为，故D正确；
故选：ACD



【变式10-1】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项．得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中__________；__________；__________．

【答案】 9 8 10
【解析】由题意得，解得.
故答案为：①9；②8；③10.


【变式10-2】（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：
（1）只订日报不订晚报的有多少人？
（2）只订晚报不订日报的有多少人？
（3）至少订一种报纸的有多少人？
（4）有多少人不订报纸？
【答案】（1）184；（2）147；（3）331；（4）19.
【解析】（1）设是被调查的500名市民，是订阅日报的人，订阅晚报的人，则card( U )=500，card()=150，card()=334，card()=297，
所以只订日报不订晚报的人，
只订日报不订晚报的人数为334－150=184(人)；
（2）只订晚报不订日报的人，
只订晚报不订日报的人数为297－150=147(人)；
（3）至少订一种报纸的人，
至少订一种报纸的人数为334+297－150=481(人)；
（4）不订报纸的人，不订报纸的人数为500－481=19(人).
考点11 充分条件、必要条件的判断

【例11】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．


【变式11-1】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由得或
或，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.


【变式11-2】（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，
由，得，即，
；反之，不成立.
“”是“”的必要不充分条件.故选：B


【变式11-3】（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.


【变式11-4】（2022·全国·高一课时练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，
即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B


【变式11-5】（多选）（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】，解得或
又

则p成立的一个充分不必要条件是和故选:CD.
考点12 根据充分性、必要性求参数

【例12】（2022·陕西·定边第四中学高二阶段练习）若“x>1或x<-2”是“x A．2 B．-2 C．-1 D．1
【答案】B
【解析】∵“x>1或x<-2”是“x ∴x1或x<-2，
但x>1或x<-2x 如图所示，

∴，
∴a的最大值为-2.故选：B


【变式12-1】（2022·河南·沁阳市永威中学高一阶段练习）已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，
又或，，
所以，即；
故答案为：


【变式12-2】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，或，
∴．
（2）∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．


【变式12-3】（2022·全国·高一课时练习）设全集，集合，集合.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是的充分条件， ，
又，
，，，
实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，
①当时，，，；
②当时，，且是的子集.
，
，;
综上所述：实数的取值范围.

考点13 含有一个量词的命题的否定

【例13】（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.故选：B.


【变式13-1】（2022·北京·101中学高一阶段练习）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】D
【解析】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定为：
“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.故选：D


【变式13-2】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．故选：B．


【变式13-3】（2022·全国·高一课时练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】命题的否定是，故选：A
考点14 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

【例14】（2022·全国·高一专题练习）若命题“，”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【答案】D
【解析】命题“，”的否定是假命题，
则命题“，”是真命题，
即，
解得a＞3或a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）故选：D


【变式14-1】（2022·全国·高一课时练习）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【解析】由题意，，，
令，则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
所以实数可取的最小整数值是.故选：A


【变式14-2】（多选）（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】解：二次函数的对称轴为，
①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，
且时，即满足题意；

②若时，
如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，
则时，，解得，
此时，，

综上，，
故选：AB．


【变式14-3】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，.
结合选项可得，，
即：是的一个充分不必要条件.故选：C


【变式14-4】（多选）（2022·全国·高一课时练习）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【解析】由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题.
当时，则，令，所以选项A正确；
当时，则，令，所以选项B正确；
当时，则，，不成立，所以选项C错误；
当时，则，，不成立，所以选项D错误.
故选：AB



1．（2022·山西长治·高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
故，故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不属于自然数，故A错误；
不属于正整数，故B正确；
是无理数，不属于有理数集，故C错误；
属于实数，故D错误.故选:B.
3．（2022·全国·高一课时练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】，的否定是，．故选：A．
4．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高一阶段练习）已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为
所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，
所以集合的个数为，故选：C
5．（2022·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件
【答案】B
【解析】由，解得或，
由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
故“”是“”的必要条件但不是充分条件；故选：B
6．（2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ）
A．630 B．690 C．840 D．936
【答案】B
【解析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，
依题意，集合，中元素个数分别为：，
则，
所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有名.故选：B
7．（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知全集U=R，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知阴影部分为，故选：D
8．（2021·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）命题p：，使得成立.若p为假命题，则l的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，p为假命题，故为真命题，故，，
故，，
又当时，，当且仅当时，等号成立，
所以l的取值范围是.故选：A.
9．（2021·安徽·亳州二中高一期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的正整数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】BC
【解析】我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
是不大于3的正整数组成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素；
故选：BC
10．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高一阶段练习）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．“，”是“”的必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件
【答案】CD
【解析】对于A，当，时，成立，而当时，，不一定成立，
如 满足，而不成立，
所以“，”是“”的充分条件，所以A错误，
对于B，若时，，所以由不能得到，所以B错误，
对于C，当时，，而当时，不一定属于，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，
对于D，若，则为无理数，而当时，为有理数，
而为无理数，所以“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，
所以D正确，
故选：CD
11．（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）用列举法表示______．
【答案】
【解析】因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
12．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）方程组的解集是___________.
【答案】
【解析】，则，两式相减有，解得，故，
方程组的解集为.
故答案为：
13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）集合的真子集的个数是___________．
【答案】7
【解析】，
∵A的元素个数为3，故A有个真子集.
故答案为：7.
14．（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）设，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为是的充分非必要条件，是的真子集，
所以，当时，，解得，
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是
故答案为：
15．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）已知全集，求.
【答案】，或，或.
【解析】因为，
所以，或，
因为或，
所以或.
16．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知集合，.
（1）求；
（2）已知，若，求实数的取值集合.
【答案】（1）或；（2）或
【解析】（1）因为，，
所以，
所以或；
（2）因为，且，
①当时，即，解得时，符合题意；
②当时，则，解得，
综上，所求的集合是或.
17．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知集合，.
（1）若，求；
（2）在（1），（2），（3）中任选一个作为已知，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，则
（2）选条件①②③，都有，
∴解得，
∴实数的取值范围为．
18．（2020·广东·汕头市澄海中学高一阶段练习）已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得.
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）∵，
∴，解得，故实数的取值范围是
（2）当q为真命题时，则，解得
∵p，q有且只有一个真命题
当真假时，，解得：
当假真时，，解得：
综上可知，或
故所求实数的取值范围是或.
19．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝∅；（2）（﹣∞，）
【解析】（1）当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，∴A∩B＝∅．
（2）若B⊆A，
①当B＝∅时，则a+2＞3a，∴a＜1，
②当B≠∅时，则，∴1≤a，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）．
20．（2021·山东·山大华特卧龙学校高一阶段练习）已知命题：实数满足集合，：集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】或或
【解析】若是的必要不充分条件，则AÜ，
而，
当时，，符合AÜ；
当时，，若AÜ，则，解得，
当时，，符合题意，即；
当时，，若AÜ，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为或或．