专题05 函数概念与性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题05 函数概念与性质

（一）函数的概念和图象

1．函数与映射的概念

提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射．

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{y| y＝f(x)，x∈A }称为函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

3.函数的图象

将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象.

（二）函数的表示法

（1）表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．

（2）分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

（三）函数的单调性

1.单调函数的定义

2.提醒：

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．

(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为；

设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为

4.函数单调性的结论

(1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．的单调性呢？

(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与的单调性相反．

(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．

5．函数最值存在的两个结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

（四）函数的奇偶性

1.函数的奇偶性

2.提醒：

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔.

②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔.

3．函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.

(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

题型一  求函数的定义域

【典例1】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【典例2】（2021·江苏苏州·高一期中）若函数，则函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【典例3】（2021·江苏·高一课时练习）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域；

（2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域．

【规律方法】

1．已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

2．抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注意：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

题型二  函数的最值(值域)

【典例4】（2021·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（     ）

A． B． C． D．

【典例5】（2022·江苏·高一）函数的值域为___________．

【典例6】（2021·江苏·高一单元测试）函数的值域为_______________．

【特别提醒】

求函数值域（最值）的常用方法：

（1）          配方法；

（2）          图象法

（3）          单调性质法

（4）          基本不等式法

（5）          换元法

题型三  分段函数及其应用

【典例7】（2022·江苏·高一）已知函数，若，则实数a＝（    ）

A． B． C．2 D．9

【典例8】（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____．

【典例9】（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知函数，若，则__________.

【总结提升】

1.分段函数求值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．

(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

2．求参数或自变量的值

解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．

3．分段函数与不等式问题

解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．

题型四  求函数的单调区间

【典例10】（2022·江苏·高一）函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【典例11】（2022·江苏南通·高一期末）函数的单调递减区间为 __．

【方法技巧】

1.求函数单调区间的常用方法

 （1）图象法；（2）函数性质法.

2．求复合函数单调区间的一般步骤

(1)求函数的定义域(定义域先行)．

(2)求简单函数的单调区间．

(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．

题型五：函数单调性的判断与证明

【典例12】（2022·江苏·高一）下列函数在单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【典例13】（2022·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【方法技巧】

1.判断函数单调性的方法

(1)图象法；(2)性质法；(3)定义法．

2．证明函数单调性的定义法：

题型六：函数单调性的应用

【典例14】（2022·江苏·高一单元测试）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【典例15】（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ）

A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）

【典例16】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是__________.

【规律方法】

1.比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

2．求解含“f”的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．

3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．

题型七：函数奇偶性的判断

【典例17】（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【典例18】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B． 

C． D．

【规律方法】

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

题型八：函数奇偶性的应用

【典例19】（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【典例20】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【典例21】（2022·江苏·高一单元测试）若为奇函数，则__________．

【规律方法】

已知函数奇偶性可以解决的三个问题

题型九：函数奇偶性、单调性的综合应用

【典例22】（2021·江苏·高一专题练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【典例23】（2021·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是___________.

【典例24】（2022·江苏·高一）设函数对任意实数，都有，且时，，．

(1)求证：是奇函数；

(2)求在上的最大值与最小值．

一、单选题

1．（2020·江苏镇江·高一期中）函数与函数的图象关于（    ）对称

A．轴 B．轴 C．坐标原点 D．不能确定

2．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列函数：①；②；③ ；④ ，其中与函数 是同一个函数的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·江苏·高一专题练习）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（    ）

A． B．

C． D．

5．（2021·江苏·高一单元测试）设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2021·江苏·南京市东山高级中学高一期中）函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2022·江苏·高一单元测试）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

11．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）给定函数  ， . 表示，中的较小者，记为，则（    ）

A．

B．函数的定义域为

C．函数的值域为

D．函数的单调区间有3个

12．（2022·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（    ）

A．函数在定义域内是减函数

B．若是奇函数，则一定有

C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是

D．若的定义域为，则的定义域为

13．（2021·江苏·南京师大附中高一期中）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

三、填空题

14．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）函数的单调递____（填“增”或“减”）区间为_______；值域为_________.

15.（2021·江苏·高一专题练习）函数 的最大值为________，最小值为________.

16．（2022·江苏·高一）设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．

17．（2021·江苏·高一专题练习）若不等式对恒成立，则实数的最大值为______．

18．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知函数，其中，

（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；

（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.

四、解答题

19．（2021·江苏·高一专题练习）设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．

（1）求及的值；

（2）判断函数的奇偶性．

20．（2022·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

21．（2022·江苏·高一）设函数, ，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．

(1)求函数的解析式；

(2)画出函数的图象并指出的最小值．

22.（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；

(3)求使成立的实数的取值范围．