专题03幂、指数与对数（5个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

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专题03幂、指数与对数（5个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．对数的概念
【知识点的认识】
1．对数的定义
如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a（a＞0且a≠1）
logaN
常用对数
底数为10
lgN
自然对数
底数为e
lnN
三．指数式与对数式的互化
【知识点归纳】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）
四．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
五．换底公式的应用
【知识点归纳】
换底公式及换底性质：
（1）logaN＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．
（2）logab＝，
（3）logab•logbc＝logac，
（4）loganbm＝logab．
【专题过关】
一．有理数指数幂及根式（共8小题）
1．（2022•杨浦区校级开学）使等式成立的x的取值范围是 　x≤3　．
【分析】将已知等式化简，即可求解x的取值范围．
【解答】解：可化为＝3﹣x，即|x﹣3|＝3﹣x，
所以3﹣x≥0，所以x≤3，
即使等式成立的x的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查根式的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2022•杨浦区校级开学）已知x∈R，使代数式的值为有理数的x的集合是（　　）
A．R B．Q
C．使的集合 D．使的集合
【分析】分母有理化之后即可得出，从而可得出答案．
【解答】解：∵＝∈Q，
∴x∈Q．
故选：B．
【点评】本题考查了分母有理化的方法，考查了计算能力，属于基础题．
3．（2022•徐汇区校级开学）分解因式：x3﹣4xy2＝　x（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣4xy2＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式，属于基础题．
4．（2022•杨浦区校级开学）若对任意的x均有（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9（a、b为常数），则a+b＝　±45　．
【分析】可得出49x2﹣14ax+a2＝49x2﹣bx+9，从而得出a，b的值，进而得出a+b的值．
【解答】解：因为（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9，
所以49x2﹣14ax+a2＝49x2﹣bx+9，
所以b＝14a，a2＝9，
所以或，所以a+b＝±45．
故答案为：±45．
【点评】本题考查了多项式相等的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2022•杨浦区校级开学）设，则用含a的最简分式形式表示代数式的值为 　　．
【分析】根据即可求出，而，从而得出答案．
【解答】解：由得，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，考查了计算能力，属于基础题．
6．（2022•徐汇区校级开学）已知a，b为正数，化简＝　　．
【分析】利用有理数指数幂的性质求解．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
7．（2022•杨浦区校级开学）解方程：．
【分析】可讨论x≥1和x＜1，去绝对值号，然后即可解出方程．
【解答】解：由得，
当x≥1时，，所以x2﹣8x+16＝x2﹣7x+16，
所以x＝0（舍去）；
当x＜1时，，所以9x2﹣36x+36＝x2﹣7x+16，
所以8x2﹣29x+20＝0，又x＜1，所以．
【点评】本题考查了含绝对值号的方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2022•徐汇区校级开学）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】利用因式分解先化简，再求值．
【解答】解：∵（1﹣）÷＝•＝，
当x＝，原式＝．
【点评】本题考查因式分解化简求值，属于基础题．
二．对数的概念（共1小题）
9．（2004秋•浦东新区校级期末）若lga＝﹣3.1476，则关于lga的首数与尾数的叙述中正确的是（　　）
A．首数为﹣3，尾数为0.1476
B．首数为﹣3，尾数为0.8524
C．首数为﹣4，尾数为0.8524
D．首数为﹣4，尾数为0.1476
【分析】根据对数的运算规则lgN＝lg（a×10n）＝lga+lg10n＝n+lga，n叫做首数，lga叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项．
【解答】解：lga＝lg（10﹣4×100.8524）＝lg100.8524+lg10﹣4＝﹣4+lg100.8524
，n＝﹣4叫做首数，lg100.8524＝0.8524叫做尾数，他是一个纯小数
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数的概念，以及首数和尾数的概念，属于基础题．
三．指数式与对数式的互化（共4小题）
10．（2021秋•浦东新区校级期中）若2x＝3，则实数x的值为 　log23　．
【分析】根据指数式与对数式之间转化的方法可解决此题．
【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23．
故答案为：log23．
【点评】本题考查指数式与对数式之间转化，考查数学运算能力，属于基础题．
11．（2021秋•金山区校级期中）若3a＝7b＝63，则＝　1　．
【分析】指数式3a＝7b＝63可化为对数式＝log633，＝log637，从而利用对数运算化简即可．
【解答】解：∵3a＝7b＝63，
∴＝log633，＝log637，
∴＝2log633+log637＝log6363＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
12．（2020秋•浦东新区校级期末）若2a＝5b＝M，且，则M＝　5　．
【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式计算即可．
【解答】解：2a＝5b＝M，
则a＝log2M，b＝log5M，
∴＝logM2，＝logM5，
∵，
∴logM2+2logM5＝logM50＝2，
∴M＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题．
13．（2020秋•徐汇区校级期中）若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为 　7　．
【分析】先把指数式化为对数式，求出a，b的值，代入＝2，再利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵2a＝72b＝m，
∴a＝log2m，2b＝log7m，
∴b＝＝＝log49m，
∴+＝2，
∴logm2+logm49＝2，
∴logm98＝2，
∴m2＝98，
∴m＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
四．对数的运算性质（共13小题）
14．（2021秋•杨浦区期末）已知a＝lg5，用a表示lg20＝　2﹣a　．
【分析】根据对数的运算即可得出lg20＝2﹣lg5＝2﹣a．
【解答】解：∵a＝lg5，
∴lg20＝1+lg2＝1+1﹣lg5＝2﹣a．
故答案为：2﹣a．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15．（2021秋•宝山区校级期中）已知P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}，Q＝{（x，y）|2x•2y＝2x+y，x∈R，y∈R}，S＝，则下列关于集合P，Q，S关系的表述正确的是（　　）
A．P＝Q B．Q＝S C．Q⊂P D．P⊂S
【分析】分别求出集合P，Q，S中的元素满足的条件，进而得出结论．
【解答】解：∵P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x＞0，y＞0}，
Q＝{（x，y）|2x•2y＝2x+y，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，
S＝＝{（x，y）|x≥0，y≥0}，
∴P⊂S⊂Q，
故选：D．
【点评】本题考查了集合间的关系及运算能力，是基础题．
16．（2021秋•闵行区期末）已知10p＝3，用p表示log310＝　　．
【分析】先把指数式化为对数式，求出p的值，再利用换底公式结合对数的运算性质进行求解．
【解答】解：∵10p＝3，∴p＝lg3，
∴log310＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
17．（2021秋•长宁区期末）已知5a＝2，5b＝3，则＝　b﹣a　（用a、b表示）．
【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵5a＝2，5b＝3，
∴a＝log52，b＝log53，
∴＝＝log53﹣log52＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
18．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝　5　．
【分析】进行对数的运算即可．
【解答】解：原式＝2+log28＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
19．（2021秋•徐汇区校级期末）已知lg2＝a，10b＝3，试用a、b表示log1225＝　　．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：log1225＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．
20．（2021秋•黄浦区校级期末）已知lg2＝a，则log225＝　　．（用含a的代数式表示）
【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质运算即可．
【解答】解：∵lg2＝a，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的换底公式和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
21．（2021秋•金山区期末）若，则a+8b的最小值为 　25　．
【分析】推导出a＞0，b＞0，＝1，由a+8b＝（a+8b）（）＝+17，利用基本不等式，求出a+8b的最小值．
【解答】解：∵＝log9ab，
∴，∴a＞0，b＞0，＝1，
∴a+8b＝（a+8b）（）＝+17≥2+17＝25，
当且仅当时，取等号，
∴a+8b的最小值为25．
故答案为：25．
【点评】本题考查对数的定义、运算法则、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22．（2021秋•杨浦区期末）里氏震级M的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为　6　倍．
【分析】根据题意中的假设，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝6．
【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，
测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
则M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．
23．（2021秋•普陀区校级期末）已知log163＝m，则用m表示log916＝　　．
【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．
【解答】解：∵log163＝m，
∴log916＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．
24．（2021秋•黄浦区校级期末）（1）化简：；
（2）令lg2＝a，用a表示．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．
（2）利用对数的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式＝＝＝a﹣1．
（2）∵lg2＝a，
∴＝lg8﹣lg5﹣3lg2＝3lg2﹣lg5﹣3lg2＝﹣lg5＝lg2﹣1＝a﹣1．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．
25．（2021秋•浦东新区期末）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件可求出log182＝1﹣a，b＝log185，从而得出．
【解答】解：∵log189＝1﹣log182＝a，
∴log182＝1﹣a，且b＝log185，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．
26．（2021秋•普陀区校级期末）已知实数x、y满足lgx+lgy＝lg（x+y），则x+2y的最小值为 　2+3　．
【分析】利用对数的运算法则得到+＝1，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵实数x、y满足lgx+lgy＝lg（x+y），
∴xy＝x+y，且x＞0，y＞0，
∴+＝1，
∴x+2y＝（x+2y）（+）＝++3≥2+3，
当且仅当＝，即x＝+1，y＝1+时取等号，
则x+2y的最小值为2+3，
故答案为：2+3．
【点评】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，属于中档题．
五．换底公式的应用（共4小题）
27．（2021秋•金山区校级期中）若lg2＝a，lg3＝b，则log1225＝　　（用含a，b的代数式表示）．
【分析】利用换底公式和对数的运算性质求解．
【解答】解：log1225＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质和换底公式，是基础题．
28．（2021秋•嘉定区校级期中）已知log189＝a，18b＝5．则log3645等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用对数的换底公式即可得出，．对再利用对数的换底公式即可得出．
【解答】解：∵18b＝5，∴＝，又，联立解得．
∴＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．
29．（2021秋•长宁区期末）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝　　．
【分析】利用换底公式以及对数的运算性质求解．
【解答】解：log1815＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了换底公式的应用，考查了对数的运算性质，是基础题．
30．（2021秋•虹口区校级期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝　　（用a，b表示）．
【分析】利用对数的换底公式即可求出．
【解答】解：∵log189＝a，b＝log185，
∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a；
∴log3645＝＝．
故答案为．
【点评】熟练掌握对数的换底公式是解题的关键．要善于观察恰当找出底数